Triangle is de eenvoudigste figuur die in het vliegtuig is gesloten en bestaat uit slechts drie onderling verbonden segmenten. Bij geometrieproblemen is het vaak nodig om het gebied van deze figuur te bepalen. Wat moet je hiervoor weten? In het artikel zullen we de vraag beantwoorden hoe we de oppervlakte van een driehoek aan drie zijden kunnen vinden.
Algemene formule
Elke student weet dat het gebied van een driehoek wordt berekend als het product van de lengte van een van zijn zijden - a met de helft van de hoogte - h, verlaagd naar de gekozen zijde. Hieronder staat de bijbehorende formule: S=ah/2.
Deze uitdrukking kan worden gebruikt als ten minste twee zijden en de waarde van de hoek ertussen bekend zijn. In dit geval is de hoogte h eenvoudig te berekenen met goniometrische functies, zoals de sinus. Maar niet iedereen weet het gebied aan drie zijden van een driehoek te vinden.
Heron's Formula
Deze formule is het antwoord op de vraag hoedrie zijden vinden het gebied van de driehoek. Laten we, voordat we het opschrijven, de lengtes van de segmenten van een willekeurige figuur aanduiden als a, b en c. De formule van Heron is als volgt geschreven: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Waar p de halve omtrek van de figuur is, d.w.z.: p=(a+b+c)/2.
Ondanks de schijnbare omslachtigheid, is de bovenstaande uitdrukking voor het gebied S gemakkelijk te onthouden. Om dit te doen, moet u eerst de halve omtrek van de driehoek berekenen, deze vervolgens aftrekken met één lengte van de zijde van de figuur, alle verkregen verschillen vermenigvuldigen en de halve omtrek zelf. Neem ten slotte de vierkantswortel van het product.
Deze formule is vernoemd naar Reiger van Alexandrië, die aan het begin van onze jaartelling leefde. De moderne geschiedenis gelooft dat het deze filosoof was die deze uitdrukking voor het eerst toepaste om de bijbehorende berekeningen uit te voeren. Deze formule is gepubliceerd in zijn Metrica, die dateert uit 60 na Christus. Merk op dat sommige werken van Archimedes, die twee eeuwen eerder leefde dan Heron, tekenen bevatten dat de Griekse filosoof de formule al kende. Bovendien wisten de oude Chinezen ook hoe ze het gebied van een driehoek konden vinden, waarbij ze drie zijden kenden.
Het is belangrijk op te merken dat het probleem kan worden opgelost zonder het bestaan van de formule van Heron te kennen. Om dit te doen, tekent u een aantal hoogten in de driehoek en gebruikt u de algemene formule uit de vorige paragraaf, waarmee u het juiste systeem van vergelijkingen samenstelt.
Herons uitdrukking kan worden gebruikt om de oppervlakten van willekeurige veelhoeken te berekenen, nadat ze zijn opgesplitst indriehoeken en het berekenen van de lengtes van de resulterende diagonalen.
Voorbeeld van probleemoplossing
Weten hoe we het gebied van een driehoek aan drie zijden kunnen vinden, laten we onze kennis consolideren door het volgende probleem op te lossen. Laat de zijkanten van de figuur 5 cm, 4 cm en 3 cm zijn. Bepaal het gebied.
Er zijn drie zijden van een driehoek bekend, dus je kunt de formule van Heron gebruiken. We berekenen de halve omtrek en de nodige verschillen, we hebben:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Dan krijgen we de oppervlakte: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
De driehoek die in de toestand van het probleem wordt gegeven, is rechthoekig, wat gemakkelijk te controleren is als je de stelling van Pythagoras gebruikt. Aangezien de oppervlakte van zo'n driehoek de helft is van het product van de benen, krijgen we: S=43/2=6 cm2.
De resulterende waarde is dezelfde als voor de formule van Heron, die de geldigheid van de laatste bevestigt.
