De vooruitgang van de mensheid is grotendeels te danken aan de ontdekkingen van genieën. Een van hen is Blaise Pascal. Zijn creatieve biografie bevestigt nogmaals de waarheid van Lion Feuchtwanger's uitdrukking "Een getalenteerd persoon, getalenteerd in alles." Alle wetenschappelijke prestaties van deze grote wetenschapper zijn moeilijk te tellen. Onder hen is een van de meest elegante uitvindingen in de wereld van de wiskunde - de driehoek van Pascal.
Een paar woorden over genialiteit
Blaise Pascal stierf vroeg naar moderne maatstaven, op 39-jarige leeftijd. In zijn korte leven onderscheidde hij zich echter als een uitmuntend natuurkundige, wiskundige, filosoof en schrijver. Dankbare afstammelingen noemden de eenheid van druk en de populaire programmeertaal Pascal ter ere van hem. Het wordt al bijna 60 jaar gebruikt om verschillende codes te leren schrijven. Met zijn hulp kan elke student bijvoorbeeld een programma schrijven om het gebied van een driehoek in Pascal te berekenen, en de eigenschappen van het circuit verkennen, ongeveerdie hieronder zal worden besproken.
De activiteit van deze wetenschapper met buitengewoon denkvermogen omvat een breed scala aan wetenschapsgebieden. Blaise Pascal is met name een van de grondleggers van hydrostatica, wiskundige analyse, sommige gebieden van geometrie en kansrekening. Ook hij:
- heeft een mechanische rekenmachine gemaakt die bekend staat als het Pascal-wiel;
- leverde experimenteel bewijs dat lucht elasticiteit en gewicht heeft;
- vastgesteld dat een barometer kan worden gebruikt om het weer te voorspellen;
- heeft de kruiwagen uitgevonden;
- vond de omnibus uit - paardenkoetsen met vaste routes, die later het eerste type regulier openbaar vervoer werden, enz.
De rekenkundige driehoek van Pascal
Zoals eerder vermeld, heeft deze grote Franse wetenschapper een enorme bijdrage geleverd aan de wiskundige wetenschap. Een van zijn absolute wetenschappelijke meesterwerken is de "Verhandeling over de rekenkundige driehoek", die bestaat uit binomiale coëfficiënten die in een bepaalde volgorde zijn gerangschikt. De eigenschappen van dit schema vallen op in hun diversiteit en het bevestigt zelf het spreekwoord "Alles vernuftig is eenvoudig!".
Een beetje geschiedenis
Om eerlijk te zijn, moet worden gezegd dat de driehoek van Pascal al in het begin van de 16e eeuw in Europa bekend was. Zijn afbeelding is met name te zien op de omslag van een rekenboek van de beroemde astronoom Peter Apian van de Universiteit van Ingolstadt. Ter illustratie wordt ook een soortgelijke driehoek getoond.in een boek van de Chinese wiskundige Yang Hui, gepubliceerd in 1303. De opmerkelijke Perzische dichter en filosoof Omar Khayyam was zich aan het begin van de 12e eeuw ook bewust van zijn eigenschappen. Bovendien wordt aangenomen dat hij hem ontmoette uit de eerder geschreven verhandelingen van Arabische en Indiase wetenschappers.
Beschrijving
Alvorens de meest interessante eigenschappen van de driehoek van Pascal te verkennen, mooi in zijn perfectie en eenvoud, is het de moeite waard om te weten wat het is.
Wetenschappelijk gezien is dit numerieke schema een eindeloze driehoekige tabel gevormd uit binomiale coëfficiënten die in een bepaalde volgorde zijn gerangschikt. Bovenaan en aan de zijkanten staan de nummers 1. De overige posities worden ingenomen door nummers die gelijk zijn aan de som van de twee nummers erboven naast elkaar. Bovendien zijn alle lijnen van de driehoek van Pascal symmetrisch om zijn verticale as.
Basisfuncties
Pascals driehoek v alt op door zijn perfectie. Voor elke regel genummerd n (n=0, 1, 2…) waar:
- eerste en laatste cijfers zijn 1;
- tweede en voorlaatste - n;
- het derde getal is gelijk aan het driehoeksgetal (het aantal cirkels dat in een gelijkzijdige driehoek kan worden gerangschikt, d.w.z. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Het vierde getal is tetraëdrisch, d.w.z. het is een piramide met een driehoek aan de basis.
Bovendien werd relatief recent, in 1972, een ander eigendom van de driehoek van Pascal opgericht. Om voor hemom erachter te komen, moet je de elementen van dit schema in de vorm van een tabel schrijven met een rijverschuiving met 2 posities. Noteer vervolgens de getallen die deelbaar zijn door het regelnummer. Het blijkt dat het nummer van de kolom waarin alle getallen zijn gemarkeerd een priemgetal is.
Dezelfde truc kan op een andere manier worden gedaan. Om dit te doen, worden in de driehoek van Pascal de getallen vervangen door de resten van hun deling door het rijnummer in de tabel. Vervolgens worden de lijnen in de resulterende driehoek gerangschikt, zodat de volgende twee kolommen naar rechts begint vanaf het eerste element van de vorige. Dan zullen de kolommen met getallen die priemgetallen zijn alleen uit nullen bestaan, en die met samengestelde getallen zullen ten minste één nul bevatten.
Verbinding met de binomiaal van Newton
Zoals je weet, is dit de naam van de formule voor de uitbreiding in termen van een niet-negatief geheel getal van de som van twee variabelen, die eruitziet als:
De aanwezige coëfficiënten zijn gelijk aan C m =n! / (m! (n - m)!), waarbij m het rangtelwoord is in rij n van de driehoek van Pascal. Met andere woorden, als je deze tabel bij de hand hebt, kun je gemakkelijk alle getallen tot een macht verheffen, nadat je ze eerder in twee termen hebt ontleed.
Zo zijn de driehoek van Pascal en de binomiaal van Newton nauw verwant.
Math Wonders
Een nauwkeurig onderzoek van de driehoek van Pascal onthult dat:
- de som van alle getallen in de regel metserienummer n (geteld vanaf 0) is 2;
- als de lijnen links uitgelijnd zijn, dan zijn de sommen van de getallen die zich langs de diagonalen van de driehoek van Pascal bevinden, van onder naar boven en van links naar rechts, gelijk aan Fibonacci-getallen;
- de eerste "diagonaal" bestaat uit natuurlijke getallen in volgorde;
- elk element uit de driehoek van Pascal, verminderd met één, is gelijk aan de som van alle getallen binnen het parallellogram, dat wordt begrensd door de linker en rechter diagonalen die elkaar snijden op dit getal;
- in elke regel van het diagram is de som van de getallen op de even plaatsen gelijk aan de som van de elementen op de oneven plaatsen.
Sierpinski-driehoek
Zo'n interessant wiskundig schema, veelbelovend voor het oplossen van complexe problemen, wordt verkregen door de even getallen van het Pascal-beeld in de ene kleur te kleuren en de oneven getallen in een andere.
De Sierpinski-driehoek kan op een andere manier worden gebouwd:
- in het gearceerde Pascal-schema is de middelste driehoek opnieuw geverfd in een andere kleur, die wordt gevormd door de middelpunten van de zijkanten van de originele te verbinden;
- doe precies hetzelfde met drie ongeverfde in de hoeken;
- als de procedure voor onbepaalde tijd wordt voortgezet, moet het resultaat een tweekleurig figuur zijn.
De meest interessante eigenschap van de Sierpinski-driehoek is zijn zelfgelijkenis, aangezien deze uit 3 van zijn kopieën bestaat, die met 2 keer worden verkleind. Het stelt ons in staat om dit schema toe te schrijven aan fractale krommen, en zij, zoals blijkt uit de laatsteonderzoek is het meest geschikt voor wiskundige modellering van wolken, planten, rivierdelta's en het universum zelf.
Diverse interessante taken
Waar wordt de driehoek van Pascal gebruikt? Voorbeelden van taken die met zijn hulp kunnen worden opgelost, zijn behoorlijk divers en behoren tot verschillende wetenschapsgebieden. Laten we eens kijken naar enkele van de interessantere.
Probleem 1. Een grote stad omringd door een vestingmuur heeft maar één toegangspoort. Bij de eerste kruising splitst de hoofdweg zich in tweeën. Hetzelfde gebeurt op elk ander. 210 mensen komen de stad binnen. Op elk van de kruispunten die ze ontmoeten, zijn ze in tweeën gedeeld. Hoeveel mensen zullen er op elk kruispunt te vinden zijn wanneer delen niet meer mogelijk is. Haar antwoord is regel 10 van de driehoek van Pascal (de coëfficiëntenformule is hierboven weergegeven), waar de getallen 210 zich aan beide zijden van de verticale as bevinden.
Taak 2. Er zijn 7 namen van kleuren. Je moet een boeket van 3 bloemen maken. Het is nodig om uit te zoeken op hoeveel verschillende manieren dit kan. Dit probleem komt uit de combinatoriek. Om het op te lossen, gebruiken we opnieuw de driehoek van Pascal en krijgen op de 7e regel op de derde positie (nummering in beide gevallen vanaf 0) het getal 35.
Nu weet je wat de grote Franse filosoof en wetenschapper Blaise Pascal heeft uitgevonden. Zijn beroemde driehoek kan, indien correct gebruikt, een echte redder in nood worden voor het oplossen van veel problemen, vooral uit het veldcombinatoriek. Bovendien kan het worden gebruikt om talloze mysteries met betrekking tot fractals op te lossen.
