Matrix is een speciaal object in de wiskunde. Het wordt afgebeeld in de vorm van een rechthoekige of vierkante tafel, samengesteld uit een bepaald aantal rijen en kolommen. In de wiskunde is er een grote verscheidenheid aan soorten matrices, die verschillen in grootte of inhoud. De nummers van de rijen en kolommen worden orders genoemd. Deze objecten worden in de wiskunde gebruikt om het schrijven van stelsels van lineaire vergelijkingen te organiseren en gemakkelijk naar hun resultaten te zoeken. Vergelijkingen met behulp van een matrix worden opgelost met behulp van de methode van Carl Gauss, Gabriel Cramer, minderjarigen en algebraïsche optellingen, en vele andere manieren. De basisvaardigheid bij het werken met matrices is om ze tot een standaardvorm te brengen. Laten we echter eerst eens kijken welke soorten matrices door wiskundigen worden onderscheiden.
Null-type
Alle componenten van dit soort matrix zijn nullen. Ondertussen is het aantal rijen en kolommen compleet anders.
Vierkant type
Het aantal kolommen en rijen van dit type matrix is hetzelfde. Met andere woorden, het is een tafel in "vierkante" vorm. Het aantal kolommen (of rijen) wordt de volgorde genoemd. Speciale gevallen zijn het bestaan van een matrix van de tweede orde (matrix 2x2), vierde orde (4x4), tiende (10x10), zeventiende (17x17) enzovoort.
Kolomvector
Dit is een van de eenvoudigste soorten matrices, die slechts één kolom bevat, die drie numerieke waarden bevat. Het vertegenwoordigt een reeks vrije termen (getallen onafhankelijk van variabelen) in stelsels van lineaire vergelijkingen.
Rij vector
Bekijk vergelijkbaar met de vorige. Bestaat uit drie numerieke elementen, op hun beurt georganiseerd in één regel.
Diagonaal type
Alleen componenten van de hoofddiagonaal (groen gemarkeerd) nemen numerieke waarden aan in de diagonale vorm van de matrix. De hoofddiagonaal begint respectievelijk met het element in de linkerbovenhoek en eindigt met het element rechtsonder. De rest van de componenten zijn nul. Het diagonale type is slechts een vierkante matrix van een bepaalde orde. Onder matrices van de diagonale vorm kan men een scalaire uitkiezen. Alle componenten hebben dezelfde waarden.
Identiteitsmatrix
Een ondersoort van de diagonale matrix. Alle numerieke waarden zijn eenheden. Gebruik een enkel type matrixtabellen, voer de basistransformaties uit of zoek een matrix die omgekeerd is aan de originele.
Canoniek type
De canonieke vorm van een matrix wordt als een van de belangrijkste beschouwd; casten is vaak nodig om te werken. Het aantal rijen en kolommen in de canonieke matrix is anders, het behoort niet per se tot het vierkante type. Het lijkt enigszins op de identiteitsmatrix, maar in dit geval nemen niet alle componenten van de hoofddiagonaal een waarde aan die gelijk is aan één. Er kunnen twee of vier diagonale hoofdeenheden zijn (het hangt allemaal af van de lengte en breedte van de matrix). Of er zijn helemaal geen eenheden (dan wordt het als nul beschouwd). De overige componenten van het canonieke type, evenals de elementen van de diagonaal en identiteit, zijn gelijk aan nul.
Driehoektype
Een van de belangrijkste soorten matrix, gebruikt bij het zoeken naar de determinant en bij het uitvoeren van eenvoudige bewerkingen. Het driehoekige type komt van het diagonale type, dus de matrix is ook vierkant. Het driehoekige aanzicht van de matrix is verdeeld in bovenste driehoekige en onderste driehoekige.
In de bovenste driehoekige matrix (Fig. 1) nemen alleen elementen die zich boven de hoofddiagonaal bevinden een waarde aan die gelijk is aan nul. De componenten van de diagonaal zelf en het deel van de matrix eronder bevatten numerieke waarden.
In de onderste driehoekige matrix (Fig. 2) daarentegen zijn de elementen in het onderste deel van de matrix gelijk aan nul.
Step Matrix
De weergave is nodig voor het vinden van de rangorde van een matrix, evenals voor elementaire bewerkingen erop (samen met het driehoekige type). De stappenmatrix wordt zo genoemd omdat deze karakteristieke "stappen" van nullen bevat (zoals weergegeven in de afbeelding). In het getrapte type wordt een diagonaal van nullen gevormd (niet noodzakelijk de belangrijkste), en alle elementen onder deze diagonaal hebben ook waarden die gelijk zijn aan nul. Een vereiste is de volgende: als er een nulrij in de stappenmatrix staat, dan bevatten de overige rijen eronder ook geen numerieke waarden.
Dus we hebben de belangrijkste soorten matrices overwogen die nodig zijn om ermee te werken. Laten we nu de taak behandelen om een matrix in de vereiste vorm om te zetten.
Verkleinen tot driehoekige vorm
Hoe breng je de matrix in een driehoekige vorm? Meestal moet je bij opdrachten een matrix in een driehoekige vorm omzetten om de determinant ervan te vinden, ook wel de determinant genoemd. Bij het uitvoeren van deze procedure is het uiterst belangrijk om de hoofddiagonaal van de matrix te "behouden", omdat de determinant van een driehoekige matrix exact het product is van de componenten van zijn hoofddiagonaal. Laat me je ook herinneren aan alternatieve methoden om de determinant te vinden. De determinant van het vierkante type wordt gevonden met behulp van speciale formules. U kunt bijvoorbeeld de driehoeksmethode gebruiken. Voor andere matrices wordt de ontledingsmethode per rij, kolom of hun elementen gebruikt. Je kunt ook de methode van minderjarigen en algebraïsche complementen van de matrix toepassen.
DetailsLaten we het proces analyseren om een matrix in een driehoekige vorm te brengen aan de hand van voorbeelden van enkele taken.
Taak 1
Het is noodzakelijk om de determinant van de gepresenteerde matrix te vinden, met behulp van de methode om deze in een driehoekige vorm te brengen.
De aan ons gegeven matrix is een vierkante matrix van de derde orde. Daarom moeten we, om het in een driehoekige vorm te veranderen, twee componenten van de eerste kolom en één component van de tweede tenietdoen.
Om het naar een driehoekige vorm te brengen, start u de transformatie vanuit de linkerbenedenhoek van de matrix - vanaf het getal 6. Om het naar nul te veranderen, vermenigvuldigt u de eerste rij met drie en trekt u deze af van de laatste rij.
Belangrijk! De bovenste regel verandert niet, maar blijft hetzelfde als in de oorspronkelijke matrix. U hoeft een string niet vier keer de originele te schrijven. Maar de waarden van de strings waarvan de componenten moeten worden vernietigd, veranderen voortdurend.
Laten we nu de volgende waarde behandelen - het element van de tweede rij van de eerste kolom, nummer 8. Vermenigvuldig de eerste rij met vier en trek deze af van de tweede rij. We krijgen nul.
Alleen de laatste waarde blijft over - het element van de derde rij van de tweede kolom. Dit is het nummer (-1). Om het op nul te zetten, trekt u de tweede af van de eerste regel.
Laten we eens kijken:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Dus het antwoord op de taak is -22.
Taak 2
We moeten de determinant van de matrix vinden door deze in een driehoekige vorm te brengen.
Vertegenwoordigde matrixbehoort tot het vierkante type en is een matrix van de vierde orde. Dit betekent dat drie componenten van de eerste kolom, twee componenten van de tweede kolom en één component van de derde kolom op nul moeten worden gesteld.
Laten we beginnen met de reductie van het element in de linker benedenhoek - vanaf het getal 4. We moeten dit getal op nul zetten. De eenvoudigste manier om dit te doen, is door de bovenste rij met vier te vermenigvuldigen en deze vervolgens van de vierde rij af te trekken. Laten we het resultaat van de eerste fase van de transformatie opschrijven.
Dus, de component van de vierde regel wordt op nul gezet. Laten we verder gaan met het eerste element van de derde regel, naar nummer 3. We voeren een vergelijkbare bewerking uit. Vermenigvuldig de eerste regel met drie, trek deze af van de derde regel en schrijf het resultaat.
Vervolgens zien we het nummer 2 in de tweede regel. We herhalen de bewerking: vermenigvuldig de bovenste rij met twee en trek deze af van de tweede.
We zijn erin geslaagd om alle componenten van de eerste kolom van deze vierkante matrix op nul te zetten, behalve nummer 1, het element van de hoofddiagonaal dat geen transformatie vereist. Nu is het belangrijk om de resulterende nullen te behouden, dus we zullen transformaties uitvoeren met rijen, niet met kolommen. Laten we verder gaan met de tweede kolom van de gepresenteerde matrix.
Laten we weer onderaan beginnen - vanaf het element van de tweede kolom van de laatste rij. Dit is het getal (-7). In dit geval is het echter handiger om te beginnen met het nummer (-1) - het element van de tweede kolom van de derde rij. Om het op nul te zetten, trekt u de tweede rij af van de derde rij. Dan vermenigvuldigen we de tweede rij met zeven en trekken deze af van de vierde. We hebben nul in plaats van het element in de vierde rij van de tweede kolom. Laten we nu verder gaan met de derdekolom.
In deze kolom hoeven we slechts één getal naar nul te draaien - 4. Het is gemakkelijk om te doen: voeg gewoon de derde toe aan de laatste regel en zie de nul die we nodig hebben.
Na alle transformaties hebben we de voorgestelde matrix in een driehoekige vorm gebracht. Nu, om de determinant te vinden, hoef je alleen de resulterende elementen van de hoofddiagonaal te vermenigvuldigen. We krijgen: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Daarom is de oplossing het getal 160.
Dus nu zal de kwestie om de matrix in een driehoekige vorm te brengen het niet moeilijk voor je maken.
Reductie tot getrapte vorm
Bij elementaire bewerkingen op matrices is de getrapte vorm minder "gevraagd" dan de driehoekige. Het wordt meestal gebruikt om de rangorde van een matrix te vinden (d.w.z. het aantal rijen die niet nul zijn) of om lineair afhankelijke en onafhankelijke rijen te bepalen. De getrapte matrixweergave is echter veelzijdiger, omdat deze niet alleen geschikt is voor het vierkante type, maar voor alle andere.
Om een matrix te reduceren tot een getrapte vorm, moet je eerst de determinant ervan vinden. Hiervoor zijn bovenstaande methoden geschikt. Het doel van het vinden van de determinant is om erachter te komen of deze kan worden omgezet in een stappenmatrix. Als de determinant groter of kleiner is dan nul, kunt u veilig doorgaan met de taak. Als het gelijk is aan nul, zal het niet werken om de matrix te reduceren tot een getrapte vorm. In dit geval moet u controleren of er fouten in het record of in de matrixtransformaties zitten. Als dergelijke onnauwkeurigheden niet aanwezig zijn, kan de taak niet worden opgelost.
Laten we eens kijken hoebreng de matrix naar een getrapte vorm met behulp van voorbeelden van verschillende taken.
Taak 1. Zoek de rang van de gegeven matrixtabel.
Voor ons is een vierkante matrix van de derde orde (3x3). We weten dat om de rangorde te vinden, deze moet worden teruggebracht tot een getrapte vorm. Daarom moeten we eerst de determinant van de matrix vinden. Met behulp van de driehoeksmethode: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Het is groter dan nul, wat betekent dat de matrix kan worden teruggebracht tot een getrapte vorm. Laten we beginnen met de transformaties.
Laten we beginnen met het element van de linkerkolom van de derde rij - het getal 2. Vermenigvuldig de bovenste rij met twee en trek deze af van de derde. Dankzij deze bewerking zijn zowel het element dat we nodig hebben als het getal 4 - het element van de tweede kolom van de derde rij - in nul veranderd.
Draai vervolgens het element van de tweede rij van de eerste kolom naar nul - het getal 3. Om dit te doen, vermenigvuldigt u de bovenste rij met drie en trekt u deze af van de tweede.
We zien dat de reductie resulteerde in een driehoekige matrix. In ons geval kan de transformatie niet worden voortgezet, omdat de overige componenten niet op nul kunnen worden gezet.
Dus we concluderen dat het aantal rijen met numerieke waarden in deze matrix (of de rangorde ervan) 3 is. Antwoord op de taak: 3.
Taak 2. Bepaal het aantal lineair onafhankelijke rijen van deze matrix.
We moeten strings vinden die niet kunnen worden teruggedraaid door transformatiesnaar nul. In feite moeten we het aantal niet-nul rijen vinden, of de rangorde van de weergegeven matrix. Laten we het hiervoor vereenvoudigen.
We zien een matrix die niet bij het vierkante type hoort. Het heeft afmetingen 3x4. Laten we de cast ook starten vanaf het element in de linker benedenhoek - het nummer (-1).
Voeg de eerste regel toe aan de derde. Trek vervolgens de seconde ervan af om het getal 5 in nul te veranderen.
Verdere transformaties zijn onmogelijk. We concluderen dus dat het aantal lineair onafhankelijke lijnen erin en het antwoord op de taak 3. is.
Het is nu geen onmogelijke taak om de matrix naar een getrapte vorm te brengen.
Op de voorbeelden van deze taken analyseerden we de reductie van een matrix tot een driehoekige vorm en een getrapte vorm. Om de gewenste waarden van matrixtabellen teniet te doen, is het in sommige gevallen vereist om verbeeldingskracht te tonen en hun kolommen of rijen correct te transformeren. Veel succes met rekenen en werken met matrices!
