Goldbachs probleem is een van de oudste en meest gehypte problemen in de geschiedenis van alle wiskunde.
Dit vermoeden is bewezen waar te zijn voor alle gehele getallen kleiner dan 4 × 1018, maar blijft onbewezen ondanks aanzienlijke inspanningen van wiskundigen.
Nummer
Het Goldbachgetal is een positief even geheel getal dat de som is van een paar oneven priemgetallen. Een andere vorm van het vermoeden van Goldbach is dat alle even gehele getallen groter dan vier Goldbach-getallen zijn.
Scheiding van zulke getallen wordt Goldbach's partitie (of partitie) genoemd. Hieronder staan voorbeelden van vergelijkbare secties voor sommige even getallen:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Ontdekking van de hypothese
Goldbach had een collega genaamd Euler, die graag telde, complexe formules schreef en onoplosbare theorieën naar voren bracht. Daarin leken ze op Goldbach. Euler maakte al voor Goldbach een soortgelijk wiskundig raadsel, met wie hijconstante correspondentie. Vervolgens stelde hij een tweede suggestie voor in de kantlijn van zijn manuscript, volgens welke een geheel getal groter dan 2 kan worden geschreven als de som van drie priemgetallen. Hij beschouwde 1 als een priemgetal.
Het is nu bekend dat de twee hypothesen vergelijkbaar zijn, maar dit leek destijds geen probleem. De moderne versie van het probleem van Goldbach stelt dat elk geheel getal groter dan 5 kan worden geschreven als de som van drie priemgetallen. Euler antwoordde in een brief van 30 juni 1742 en herinnerde Goldbach aan een eerder gesprek dat ze hadden ("… dus we hebben het over de oorspronkelijke (en niet marginale) hypothese die voortvloeit uit de volgende verklaring").
Euler-Goldbach-probleem
2 en zijn even getallen kunnen worden geschreven als de som van twee priemgetallen, wat ook het vermoeden van Goldbach is. In een brief van 30 juni 1742 verklaarde Euler dat elk even geheel getal het resultaat is van de toevoeging van twee priemgetallen, die hij beschouwt als een goed gedefinieerde stelling, hoewel hij het niet kan bewijzen.
Derde versie
De derde versie van het probleem van Goldbach (gelijk aan de andere twee versies) is de vorm waarin het vermoeden tegenwoordig gewoonlijk wordt gegeven. Het is ook bekend als het "sterke", "even" of "binaire" vermoeden van Goldbach om het te onderscheiden van de zwakkere hypothese die tegenwoordig bekend staat als het "zwakke", "oneven" of "ternaire" vermoeden van Goldbach. Het zwakke vermoeden stelt dat alle oneven getallen groter dan 7 de som zijn van drie oneven priemgetallen. Het zwakke vermoeden werd in 2013 bewezen. De zwakke hypothese is:een gevolg van een sterke hypothese. Het omgekeerde gevolg en het sterke vermoeden van Goldbach zijn tot op de dag van vandaag niet bewezen.
Controleer
Voor kleine waarden van n kan het Goldbach-probleem (en dus het vermoeden van Goldbach) worden geverifieerd. Zo testte Nils Pipping in 1938 de hypothese zorgvuldig tot n 105. Met de komst van de eerste computers werden veel meer waarden van n berekend.
Oliveira Silva voerde een gedistribueerde computerzoekopdracht uit die de hypothese voor n ≦ 4 × 1018 bevestigde (en dubbel gecontroleerd tot 4 × 1017) vanaf 2013. Eén invoer uit deze zoekopdracht is dat 3.325.581.707.333.960.528 het kleinste getal is dat geen Goldbach-splitsing heeft met een priemgetal onder 9781.
Heuristieken
De versie voor de sterke vorm van het vermoeden van Goldbach is als volgt: aangezien de hoeveelheid naar oneindig neigt naarmate n toeneemt, verwachten we dat elk groot even geheel getal meer dan één representatie heeft als de som van twee priemgetallen. Maar in feite zijn er veel van dergelijke voorstellingen. Wie loste het Goldbach-probleem op? Helaas, nog steeds niemand.
Dit heuristische argument is eigenlijk wat onnauwkeurig, omdat het ervan uitgaat dat m statistisch onafhankelijk is van n. Als m bijvoorbeeld oneven is, dan is n - m ook oneven, en als m even is, dan is n - m even, en dit is een niet-triviale (complexe) relatie, want behalve het getal 2, alleen oneven getallen kunnen priem zijn. Evenzo, als n deelbaar is door 3 en m al een priemgetal anders was dan 3, dan is n - m ook onderlingpriemgetal met 3, dus waarschijnlijker een priemgetal dan een totaal getal. Door dit soort analyse zorgvuldiger uit te voeren, maakten Hardy en Littlewood in 1923, als onderdeel van hun beroemde Hardy-Littlewood eenvoudige tupel-gissing, de bovenstaande verfijning van de hele theorie. Maar het heeft tot nu toe niet geholpen om het probleem op te lossen.
Sterke hypothese
Het sterke vermoeden van Goldbach is veel ingewikkelder dan het zwakke vermoeden van Goldbach. Shnirelman bewees later dat elk natuurlijk getal groter dan 1 kan worden geschreven als de som van ten hoogste C-priemgetallen, waarbij C een effectief berekenbare constante is. Veel wiskundigen probeerden het op te lossen door getallen te tellen en te vermenigvuldigen, complexe formules aan te bieden, enz. Maar dat is nooit gelukt, omdat de hypothese te ingewikkeld is. Geen enkele formule hielp.
Maar het is de moeite waard om afstand te nemen van de kwestie om het probleem van Goldbach een beetje te bewijzen. De Shnirelman-constante is het kleinste C-getal met deze eigenschap. Shnirelman kreeg zelf C <800 000. Dit resultaat werd vervolgens aangevuld door vele auteurs, zoals Olivier Ramaret, die in 1995 aantoonde dat elk even getal n ≧ 4 eigenlijk de som is van maximaal zes priemgetallen. Het meest bekende resultaat dat momenteel wordt geassocieerd met de Goldbach-theorie door Harald Helfgott.
Verdere ontwikkeling
In 1924 namen Hardy en Littlewood G. R. H. toonde aan dat het aantal even getallen tot X, in strijd met het binaire Goldbach-probleem, veel minder is dan voor kleine c.
In 1973 Chen JingyunIk heb geprobeerd dit probleem op te lossen, maar het lukte niet. Hij was ook een wiskundige, dus hij was dol op het oplossen van raadsels en het bewijzen van stellingen.
In 1975 toonden twee Amerikaanse wiskundigen aan dat er positieve constanten c en C zijn - die waarvoor N voldoende groot is. Vooral de verzameling even gehele getallen heeft een dichtheid van nul. Dit alles was nuttig voor het werk aan de oplossing van het ternaire Goldbach-probleem, dat in de toekomst zal plaatsvinden.
In 1951 bewees Linnik het bestaan van een constante K zodat elk voldoende groot even getal het resultaat is van het optellen van een priemgetal en een ander priemgetal bij elkaar. Roger Heath-Brown en Jan-Christoph Schlage-Puchta ontdekten in 2002 dat K=13 werkt. Dit is erg interessant voor alle mensen die graag bij elkaar optellen, verschillende getallen optellen en kijken wat er gebeurt.
Oplossing van het Goldbach-probleem
Zoals met veel bekende gissingen in de wiskunde, zijn er een aantal vermeende bewijzen van het vermoeden van Goldbach, die geen van alle worden geaccepteerd door de wiskundige gemeenschap.
Hoewel het vermoeden van Goldbach impliceert dat elk positief geheel getal groter dan één kan worden geschreven als de som van maximaal drie priemgetallen, is het niet altijd mogelijk om zo'n som te vinden met behulp van een hebzuchtig algoritme dat het grootst mogelijke priemgetal gebruikt bij elke stap. De Pillai-reeks houdt de getallen bij die de meeste priemgetallen nodig hebben in hun hebzuchtige representaties. Daarom is de oplossing voor het Goldbach-probleemnog in vraag. Desalniettemin zal het vroeg of laat hoogstwaarschijnlijk worden opgelost.
Er zijn theorieën vergelijkbaar met het probleem van Goldbach waarin priemgetallen worden vervangen door andere specifieke reeksen getallen, zoals vierkanten.
Christian Goldbach
Christian Goldbach was een Duitse wiskundige die ook rechten studeerde. Hij wordt vandaag herinnerd voor het vermoeden van Goldbach.
Hij werkte zijn hele leven als wiskundige - hij was dol op het toevoegen van getallen en het bedenken van nieuwe formules. Hij kende ook verschillende talen, in elk waarvan hij zijn persoonlijke dagboek bijhield. Deze talen waren Duits, Frans, Italiaans en Russisch. Ook sprak hij volgens sommige bronnen Engels en Latijn. Hij stond tijdens zijn leven bekend als een redelijk bekende wiskundige. Goldbach was ook vrij nauw verbonden met Rusland, omdat hij veel Russische collega's had en de persoonlijke gunst van de koninklijke familie.
Hij bleef werken aan de pas geopende Academie van Wetenschappen in St. Petersburg in 1725 als hoogleraar wiskunde en historicus van de academie. In 1728, toen Peter II tsaar van Rusland werd, werd Goldbach zijn mentor. In 1742 ging hij naar het Russische ministerie van Buitenlandse Zaken. Dat wil zeggen, hij heeft echt in ons land gewerkt. In die tijd kwamen veel wetenschappers, schrijvers, filosofen en militairen naar Rusland, omdat Rusland in die tijd een land van kansen was zoals Amerika. Velen hebben hier carrière gemaakt. En onze held is geen uitzondering.
Christian Goldbach was meertalig - hij schreef een dagboek in het Duits en Latijn, zijn brievenwaren geschreven in het Duits, Latijn, Frans en Italiaans, en voor officiële documenten gebruikte hij Russisch, Duits en Latijn.
Hij stierf op 20 november 1764 op 74-jarige leeftijd in Moskou. De dag waarop het probleem van Goldbach is opgelost, zal een passend eerbetoon zijn aan zijn nagedachtenis.
Conclusie
Goldbach was een geweldige wiskundige die ons een van de grootste mysteries van deze wetenschap heeft gegeven. Het is niet bekend of het ooit zal worden opgelost of niet. We weten alleen dat de veronderstelde resolutie ervan, zoals in het geval van de stelling van Fermat, nieuwe perspectieven voor de wiskunde zal openen. Wiskundigen zijn dol op het oplossen en analyseren ervan. Het is erg interessant en nieuwsgierig vanuit een heuristisch oogpunt. Zelfs wiskundestudenten vinden het leuk om het Goldbach-probleem op te lossen. Hoe anders? Jonge mensen voelen zich immers voortdurend aangetrokken tot alles wat helder, ambitieus en onopgelost is, omdat men door het overwinnen van moeilijkheden zichzelf kan laten gelden. Laten we hopen dat dit probleem spoedig wordt opgelost door jonge, ambitieuze, leergierige geesten.
