Op de middelbare school gaan ze, na het bestuderen van de eigenschappen van figuren in het vliegtuig, over naar ruimtelijke geometrische objecten zoals prisma's, bollen, piramides, cilinders en kegels. In dit artikel geven we de meest volledige beschrijving van een recht driehoekig prisma.
Wat is een driehoekig prisma?
Laten we het artikel beginnen met de definitie van de figuur, die verder zal worden besproken. Een prisma vanuit het oogpunt van geometrie is een figuur in de ruimte gevormd door twee identieke n-gons die zich in evenwijdige vlakken bevinden, waarvan dezelfde hoeken zijn verbonden door rechte lijnsegmenten. Deze segmenten worden laterale ribben genoemd. Samen met de zijkanten van de basis vormen ze een zijvlak, dat meestal wordt weergegeven door parallellogrammen.
Twee n-gons zijn de basis van de figuur. Als de zijranden er loodrecht op staan, is er sprake van een recht prisma. Dienovereenkomstig, als het aantal zijden n van de veelhoek aan de basis drie is, wordt zo'n figuur een driehoekig prisma genoemd.
Het driehoekige rechte prisma wordt hierboven in de afbeelding getoond. Dit cijfer wordt ook regelmatig genoemd, omdat de basissen gelijkzijdige driehoeken zijn. De lengte van de zijrand van de figuur, aangegeven door de letter h in de figuur, wordt de hoogte genoemd.
De afbeelding laat zien dat een prisma met een driehoekige basis wordt gevormd door vijf vlakken, waarvan twee gelijkzijdige driehoeken en drie identieke rechthoeken. Naast de vlakken heeft het prisma zes hoekpunten aan de basis en negen randen. De aantallen beschouwde elementen zijn aan elkaar gerelateerd door de stelling van Euler:
aantal randen=aantal hoekpunten + aantal zijden - 2.
Gebied van een rechts driehoekig prisma
We hebben hierboven ontdekt dat de figuur in kwestie wordt gevormd door vijf vlakken van twee typen (twee driehoeken, drie rechthoeken). Al deze vlakken vormen het volledige oppervlak van het prisma. Hun totale oppervlakte is het gebied van de figuur. Hieronder ziet u een driehoekig prisma dat zich ontvouwt, dat kan worden verkregen door eerst twee bases van de figuur af te snijden en vervolgens langs één rand te snijden en het zijoppervlak uit te vouwen.
Laten we formules geven voor het bepalen van het oppervlak van deze sweep. Laten we beginnen met de basis van een rechthoekig driehoekig prisma. Omdat ze driehoeken vertegenwoordigen, kan het gebied S3 van elk van hen als volgt worden gevonden:
S3=1/2aha.
Hier is a de zijde van de driehoek, ha is de hoogte verlaagd vanaf het hoekpunt van de driehoek naar deze zijde.
Als de driehoek gelijkzijdig (regelmatig) is, hangt de formule voor S3 af van slechts één parameter a. Het ziet eruit als:
S3=√3/4a2.
Deze uitdrukking kan worden verkregen door een rechthoekige driehoek te beschouwen die wordt gevormd door de segmenten a, a/2, ha.
De oppervlakte van de basen So voor een normaal cijfer is tweemaal de waarde van S3:
So=2S3=√3/2a2.
Wat betreft het laterale oppervlak Sb, het is niet moeilijk om het te berekenen. Om dit te doen, volstaat het om het gebied van een rechthoek gevormd door zijden a en h met drie te vermenigvuldigen. De bijbehorende formule is:
Sb=3ah.
Het gebied van een regelmatig prisma met een driehoekige basis wordt dus gevonden met de volgende formule:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
Als het prisma recht maar onregelmatig is, moet u om de oppervlakte te berekenen de oppervlakten van rechthoeken die niet gelijk zijn aan elkaar afzonderlijk optellen.
Het volume van een figuur bepalen
Het volume van een prisma wordt opgevat als de ruimte die wordt beperkt door de zijkanten (vlakken). Het berekenen van het volume van een rechthoekig driehoekig prisma is veel gemakkelijker dan het berekenen van het oppervlak. Om dit te doen, volstaat het om het gebied van de basis en de hoogte van de figuur te kennen. Aangezien de hoogte h van een rechte figuur de lengte is van de zijrand, en hoe het basisgebied te berekenen, hebben we in de vorigepunt, dan blijft het over om deze twee waarden met elkaar te vermenigvuldigen om het gewenste volume te verkrijgen. De formule ervoor wordt:
V=S3h.
Merk op dat het product van de oppervlakte van één basis en de hoogte het volume zal geven van niet alleen een recht prisma, maar ook een schuine figuur en zelfs een cilinder.
Probleemoplossing
Glazen driehoekige prisma's worden in de optica gebruikt om het spectrum van elektromagnetische straling als gevolg van het fenomeen dispersie te bestuderen. Het is bekend dat een gewoon glazen prisma een lengte van de basiszijde heeft van 10 cm en een randlengte van 15 cm. Wat is de oppervlakte van de glazen vlakken en welk volume bevat het?
Om het gebied te bepalen, gebruiken we de formule die in het artikel is geschreven. We hebben:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536,6 cm2.
Om het volume V te bepalen, gebruiken we ook de bovenstaande formule:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649,5 cm3.
Ondanks het feit dat de randen van het prisma 10 cm en 15 cm lang zijn, is het volume van de figuur slechts 0,65 liter (een kubus met een zijde van 10 cm heeft een inhoud van 1 liter).
