Kinematica is een onderdeel van de natuurkunde dat rekening houdt met de bewegingswetten van lichamen. Het verschil met dynamiek is dat het geen rekening houdt met de krachten die op een bewegend lichaam werken. Dit artikel is gewijd aan de kwestie van de kinematica van rotatiebeweging.
Rotatiebeweging en het verschil met voorwaartse beweging
Als je op de omringende bewegende objecten let, kun je zien dat ze ofwel in een rechte lijn bewegen (de auto rijdt op de weg, het vliegtuig vliegt in de lucht), of in een cirkel (de dezelfde auto het invoeren van een bocht, de rotatie van het wiel). Complexere typen beweging van objecten kunnen, bij wijze van eerste benadering, worden teruggebracht tot een combinatie van de twee genoemde typen.
Progressieve beweging omvat het veranderen van de ruimtelijke coördinaten van het lichaam. In dit geval wordt het vaak beschouwd als een materieel punt (er wordt geen rekening gehouden met geometrische afmetingen).
Rotatiebeweging is een soort beweging waarbijhet systeem beweegt in een cirkel rond een as. Bovendien wordt het object in dit geval zelden als een materieel punt beschouwd, meestal wordt een andere benadering gebruikt - een absoluut stijf lichaam. Dit laatste betekent dat de elastische krachten tussen de atomen van het lichaam worden verwaarloosd en aangenomen wordt dat de geometrische afmetingen van het systeem niet veranderen tijdens rotatie. Het eenvoudigste geval is een vaste as.
Kinematica van translatie- en rotatiebeweging gehoorzaamt aan dezelfde wetten van Newton. Vergelijkbare fysieke grootheden worden gebruikt om beide soorten bewegingen te beschrijven.
Welke grootheden beschrijven beweging in de natuurkunde?
Kinematica van roterende en translatiebewegingen gebruikt drie basisgrootheden:
- Het pad dat is afgelegd. We zullen het aanduiden met de letter L voor translatie en θ - voor rotatiebeweging.
- Snelheid. Voor een lineair geval wordt het meestal geschreven met de Latijnse letter v, voor beweging langs een cirkelvormig pad - met de Griekse letter ω.
- Versnelling. Voor een lineair en cirkelvormig pad worden respectievelijk de symbolen a en α gebruikt.
Het concept van een traject wordt ook vaak gebruikt. Maar voor de soorten beweging van objecten die worden overwogen, wordt dit concept triviaal, omdat de translatiebeweging wordt gekenmerkt door een lineair traject en rotatie door een cirkel.
Lineaire en hoeksnelheden
Laten we beginnen met de kinematica van de rotatiebeweging van een materieel puntgezien vanuit het begrip snelheid. Het is bekend dat deze waarde voor de translatiebeweging van lichamen beschrijft welk pad per tijdseenheid wordt overwonnen, namelijk:
v=L / t
V wordt gemeten in meter per seconde. Voor rotatie is het onhandig om rekening te houden met deze lineaire snelheid, omdat deze afhangt van de afstand tot de rotatie-as. Er wordt een iets ander kenmerk geïntroduceerd:
ω=θ / t
Dit is een van de belangrijkste formules van de kinematica van rotatiebeweging. Het laat zien onder welke hoek θ het hele systeem om een vaste as zal draaien in de tijd t.
Beide bovenstaande formules weerspiegelen hetzelfde fysieke proces van bewegingssnelheid. Alleen voor het lineaire geval is de afstand belangrijk, en voor het cirkelvormige geval de rotatiehoek.
Beide formules werken met elkaar samen. Laten we deze verbinding krijgen. Als we θ in radialen uitdrukken, dan zal een materieel punt dat op een afstand R van de as roteert, één omwenteling hebben gemaakt, het pad L=2piR afleggen. De uitdrukking voor de lineaire snelheid zal de vorm aannemen:
v=L / t=2piR / t
Maar de verhouding van 2pi radialen tot tijd t is niets anders dan hoeksnelheid. Dan krijgen we:
v=ωR
Vanaf hier is te zien dat hoe groter de lineaire snelheid v en hoe kleiner de rotatiestraal R, hoe groter de hoeksnelheid ω.
Lineaire en hoekversnelling
Een ander belangrijk kenmerk in de kinematica van de rotatiebeweging van een materieel punt is de hoekversnelling. Laten we, voordat we hem leren kennen,formule voor een vergelijkbare lineaire waarde:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
De eerste uitdrukking geeft de momentane versnelling weer (dt ->0), terwijl de tweede formule geschikt is als de snelheid gelijkmatig verandert in de tijd Δt. De versnelling die in de tweede variant wordt verkregen, wordt gemiddeld genoemd.
Gezien de gelijkenis van grootheden die lineaire en roterende beweging beschrijven, kunnen we voor hoekversnelling schrijven:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
De interpretatie van deze formules is precies hetzelfde als voor het lineaire geval. Het enige verschil is dat a aangeeft hoeveel meter per seconde de snelheid verandert per tijdseenheid, en α toont hoeveel radialen per seconde de hoeksnelheid verandert over dezelfde tijdsperiode.
Laten we het verband tussen deze versnellingen vinden. Als we de waarde voor v, uitgedrukt in termen van ω, vervangen door een van de twee gelijkheden voor α, krijgen we:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Hieruit volgt dat hoe kleiner de rotatiestraal en hoe groter de lineaire versnelling, hoe groter de waarde van α.
Afgelegde afstand en draaihoek
Het blijft om formules te geven voor de laatste van de drie basisgrootheden in de kinematica van rotatiebeweging rond een vaste as - voor de rotatiehoek. Net als in de vorige paragrafen, schrijven we eerst de formule op voor eenparig versnelde rechtlijnige beweging, we hebben:
L=v0 t + a t2 / 2
Volledige analogie met roterende beweging leidt tot de volgende formule ervoor:
θ=ω0 t + αt2 / 2
Met de laatste uitdrukking kun je de rotatiehoek voor elke tijd t krijgen. Merk op dat de omtrek 2pi radialen is (≈ 6,3 radialen). Als, als resultaat van het oplossen van het probleem, de waarde van θ groter is dan de opgegeven waarde, dan heeft het lichaam meer dan één omwenteling om de as gemaakt.
De formule voor de relatie tussen L en θ wordt verkregen door de overeenkomstige waarden te vervangen door ω0en α door lineaire kenmerken:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
De resulterende uitdrukking geeft de betekenis van de hoek θ zelf weer in radialen. Als θ=1 rad, dan is L=R, dat wil zeggen, een hoek van één radiaal rust op een boog met een lengte van één straal.
Voorbeeld van probleemoplossing
Laten we het volgende probleem van rotatiekinematica oplossen: we weten dat de auto met een snelheid van 70 km/u rijdt. Wetende dat de diameter van het wiel D=0,4 meter is, is het noodzakelijk om de waarde van ω ervoor te bepalen, evenals het aantal omwentelingen dat het zal maken wanneer de auto een afstand van 1 kilometer aflegt.
Om de hoeksnelheid te vinden, volstaat het om de bekende gegevens in de formule te vervangen om deze te relateren aan de lineaire snelheid, we krijgen:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Hetzelfde geldt voor de hoek θ waarnaar het wiel zal draaien na het passeren1 km krijgen we:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Gegeven dat één omwenteling 6.2832 radialen is, krijgen we het aantal wielomwentelingen dat overeenkomt met deze hoek:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 beurten.
We hebben de vragen beantwoord met behulp van de formules in het artikel. Het was ook mogelijk om het probleem op een andere manier op te lossen: bereken de tijd waarover de auto 1 km zal afleggen en vervang deze door de formule voor de rotatiehoek, waaruit we de hoeksnelheid ω kunnen verkrijgen. Antwoord gevonden.
