Beweging van het lichaam onder een hoek met de horizon: formules, berekening van vliegbereik en maximale starthoogte

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 05:37

Bij het bestuderen van mechanische beweging in de natuurkunde, nadat ze kennis hebben gemaakt met de uniforme en uniform versnelde beweging van objecten, gaan ze verder met het beschouwen van de beweging van een lichaam onder een hoek met de horizon. In dit artikel zullen we dit probleem in meer detail bestuderen.

Wat is de beweging van een lichaam onder een hoek met de horizon?

Dit type objectbeweging vindt plaats wanneer een persoon een steen in de lucht gooit, een kanon een kanonskogel afvuurt of een keeper een voetbal uit het doel trapt. Al dergelijke gevallen worden door de ballistiekwetenschap beschouwd.

Het bekende type beweging van objecten in de lucht vindt plaats langs een parabolische baan. In het algemeen is het uitvoeren van de bijbehorende berekeningen geen gemakkelijke taak, omdat er rekening moet worden gehouden met de luchtweerstand, de rotatie van het lichaam tijdens de vlucht, de rotatie van de aarde om zijn as en enkele andere factoren.

In dit artikel zullen we niet al deze factoren in aanmerking nemen, maar de kwestie vanuit een puur theoretisch oogpunt bekijken. De resulterende formules zijn echter best goedbeschrijf de banen van lichamen die over korte afstanden bewegen.

Verkrijgen van formules voor het overwogen type beweging

Laten we de formules afleiden voor de beweging van het lichaam onder een hoek naar de horizon. In dit geval houden we rekening met slechts één enkele kracht die op een vliegend object inwerkt - zwaartekracht. Aangezien het verticaal naar beneden werkt (parallel aan de y-as en ertegen), kunnen we, gezien de horizontale en verticale componenten van de beweging, zeggen dat de eerste het karakter zal hebben van een uniforme rechtlijnige beweging. En de tweede - even langzame (gelijkmatig versnelde) rechtlijnige beweging met versnelling g. Dat wil zeggen, de snelheidscomponenten via de waarde v₀ (beginsnelheid) en θ (de hoek van de bewegingsrichting van het lichaam) worden als volgt geschreven:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ)-gt

De eerste formule (voor v_x) is altijd geldig. Wat de tweede betreft, moet hier één nuance worden opgemerkt: het minteken voor het product gt wordt alleen geplaatst als de verticale component v₀sin(θ) naar boven is gericht. In de meeste gevallen gebeurt dit echter, als je een lichaam van een hoogte gooit en het naar beneden richt, dan moet je in de uitdrukking voor v_y een "+" teken voor g plaatsen t.

Door de formules voor de snelheidscomponenten in de tijd te integreren en rekening te houden met de initiële hoogte h van de lichaamsvlucht, verkrijgen we de vergelijkingen voor de coördinaten:

x=v₀cos(θ)t

y=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Bereken vliegbereik

Als je in de natuurkunde kijkt naar de beweging van een lichaam naar de horizon onder een hoek die handig is voor praktisch gebruik, blijkt het vliegbereik te berekenen. Laten we het definiëren.

Aangezien deze beweging een uniforme beweging is zonder versnelling, volstaat het om de vliegtijd erin te vervangen en het gewenste resultaat te krijgen. Het vliegbereik wordt uitsluitend bepaald door beweging langs de x-as (parallel aan de horizon).

De tijd dat het lichaam in de lucht is, kan worden berekend door de y-coördinaat gelijk te stellen aan nul. We hebben:

0=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Deze kwadratische vergelijking wordt opgelost door de discriminant, we krijgen:

D=b²- 4ac=v₀²sin ²(θ) - 4(-g/2)h=v₀² sin²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sin(θ)±√(v₀ ²sin²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(v₀sin(θ)+√(v₀² sin²(θ) + 2gh))/g.

In de laatste uitdrukking wordt één wortel met een minteken weggegooid vanwege de onbeduidende fysieke waarde. Als we de vliegtijd t in de uitdrukking voor x invullen, krijgen we het vluchtbereik l:

l=x=v₀cos(θ)(v₀sin(θ)+√(v ₀²sin²(θ) + 2gh))/g.

De gemakkelijkste manier om deze uitdrukking te analyseren is als de initiële hoogtegelijk is aan nul (h=0), dan krijgen we een simpele formule:

l=v ₀²sin(2θ)/g

Deze uitdrukking geeft aan dat het maximale vliegbereik kan worden verkregen als het lichaam wordt gegooid onder een hoek van 45^o(sin(245^o )=m1).

Max lichaamslengte

Naast het vliegbereik is het ook handig om de hoogte boven de grond te vinden waar het lichaam tot kan stijgen. Aangezien dit type beweging wordt beschreven door een parabool, waarvan de takken naar beneden zijn gericht, is de maximale hefhoogte het uiterste. Dit laatste wordt berekend door de vergelijking voor de afgeleide op te lossen met betrekking tot t voor y:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=v₀sin(θ)-gt=0=>

=>t=v₀sin(θ)/g.

Vervang deze keer in de vergelijking voor y, we krijgen:

y=h+v₀sin(θ)v₀sin(θ)/g-g(v ₀sin(θ)/g)²/2=h + v₀ ²sin²(θ)/(2g).

Deze uitdrukking geeft aan dat het lichaam tot de maximale hoogte zal stijgen als het verticaal omhoog wordt gegooid (sin²(90^o)=1).