Cirkel is de belangrijkste figuur in de geometrie, waarvan de eigenschappen op school in de 8e klas worden overwogen. Een van de typische problemen van een cirkel is om het gebied van een deel ervan te vinden, dat een cirkelvormige sector wordt genoemd. Het artikel biedt formules voor het gebied van een sector en de lengte van de boog, evenals een voorbeeld van hun gebruik voor het oplossen van een specifiek probleem.
Het concept van een cirkel en een cirkel
Voordat we de formule voor het gebied van een sector van een cirkel geven, laten we eens kijken wat de aangegeven figuur is. Volgens de wiskundige definitie wordt een cirkel opgevat als zo'n figuur op een vlak, waarvan alle punten op gelijke afstand van een bepaald punt (middelpunt) liggen.
Bij het overwegen van een cirkel wordt de volgende terminologie gebruikt:
- Radius - een segment dat wordt getrokken van het centrale punt naar de kromming van de cirkel. Het wordt meestal aangeduid met de letter R.
- Diameter is een segment dat twee punten van de cirkel verbindt, maar ook door het midden van de figuur gaat. Het wordt meestal aangeduid met de letter D.
- Arc maakt deel uit van een gebogen cirkel. Het wordt gemeten in lengte-eenheden of met hoeken.
Cirkel is een ander belangrijk meetkundig figuur, het is een verzameling punten die wordt begrensd door een gebogen cirkel.
Cirkelgebied en omtrek
De waarden die in de titel van het item worden vermeld, worden berekend met behulp van twee eenvoudige formules. Ze worden hieronder vermeld:
- Omtrek: L=2piR.
- Gebied van een cirkel: S=piR2.
In deze formules is pi een constante die Pi wordt genoemd. Het is irrationeel, dat wil zeggen, het kan niet precies als een eenvoudige breuk worden uitgedrukt. Pi is ongeveer 3.1416.
Zoals je kunt zien aan de hand van de bovenstaande uitdrukkingen, is het voldoende om alleen de straal van de cirkel te kennen om de oppervlakte en lengte te berekenen.
Het gebied van de sector van de cirkel en de lengte van zijn boog
Alvorens de corresponderende formules in overweging te nemen, herinneren we ons dat de hoek in de geometrie gewoonlijk op twee manieren wordt uitgedrukt:
- in sexagesimale graden, en een volledige rotatie om zijn as is 360o;
- in radialen, uitgedrukt als fracties van pi en gerelateerd aan graden door de volgende vergelijking: 2pi=360o.
De sector van een cirkel is een figuur begrensd door drie lijnen: een cirkelboog en twee stralen aan de uiteinden van deze boog. Een voorbeeld van een cirkelvormige sector wordt getoond in de onderstaande foto.
Een idee krijgen van wat een sector voor een cirkel is, het is gemakkelijkbegrijpen hoe u de oppervlakte en de lengte van de bijbehorende boog kunt berekenen. In de bovenstaande figuur is te zien dat de boog van de sector overeenkomt met de hoek. We weten dat een volledige cirkel overeenkomt met 2pi radialen, dus de formule voor de oppervlakte van een cirkelvormige sector zal de vorm aannemen: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Hier wordt de hoek uitgedrukt in radialen. Een vergelijkbare formule voor het sectorgebied, als de hoek θ wordt gemeten in graden, ziet er als volgt uit: S1=piθR2 /360.
De lengte van de boog die een sector vormt, wordt berekend met de formule: L1=θ2piR/(2pi)=θR. En als θ bekend is in graden, dan: L1=piθR/180.
Voorbeeld van probleemoplossing
Laten we het voorbeeld van een eenvoudig probleem gebruiken om te laten zien hoe de formules voor de oppervlakte van een sector van een cirkel en de lengte van zijn boog gebruikt kunnen worden.
Het is bekend dat het wiel 12 spaken heeft. Wanneer het wiel één volledige omwenteling maakt, legt het een afstand van 1,5 meter af. Wat is het gebied dat is ingesloten tussen twee aangrenzende spaken van het wiel en wat is de lengte van de boog ertussen?
Zoals je aan de overeenkomstige formules kunt zien, moet je, om ze te gebruiken, twee grootheden kennen: de straal van de cirkel en de hoek van de boog. De straal kan worden berekend door de omtrek van het wiel te kennen, omdat de afstand die het in één omwenteling aflegt er precies mee overeenkomt. We hebben: 2Rpi=1,5, vandaar: R=1,5/(2pi)=0,2387 meter. De hoek tussen de dichtstbijzijnde spaken kan worden bepaald door hun aantal te kennen. Ervan uitgaande dat alle 12 spaken de cirkel gelijkmatig in gelijke sectoren verdelen, krijgen we 12 identieke sectoren. Dienovereenkomstig is de hoekmaat van de boog tussen de twee spaken: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radiaal.
We hebben alle benodigde waarden gevonden, nu kunnen ze in de formules worden vervangen en de waarden berekenen die vereist zijn voor de toestand van het probleem. We krijgen: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, of 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m of 12,5 cm.
