Polynoom of polynoom - een van de elementaire algebraïsche structuren, die te vinden is in school en hogere wiskunde. De studie van een polynoom is het belangrijkste onderwerp in een algebracursus, aangezien polynomen enerzijds vrij eenvoudig zijn in vergelijking met andere soorten functies en anderzijds veel worden gebruikt bij het oplossen van wiskundige analyseproblemen.. Dus wat is een polynoom?
Definitie
De definitie van de term polynoom kan worden gegeven door het concept van een monomiaal of monomiaal.
Een monomiaal is een uitdrukking van de vorm cx1i1x2 i2 …x in. Hier is с een constante, x1, x2, … x - variabelen, i1, i2, … in - exponenten van variabelen. Dan is een polynoom elke eindige som van monomialen.
Om te begrijpen wat een polynoom is, kun je naar specifieke voorbeelden kijken.
De vierkante trinominaal, die in detail besproken is in de wiskundecursus van groep 8, is een polynoom: ax2+bx+c.
Een polynoom met twee variabelen kan er als volgt uitzien: x2-xy+y2. Zo eeneen veelterm wordt ook wel een onvolledig kwadraat van het verschil tussen x en y genoemd.
Polynomiale classificaties
Polynomiale graad
Zoek voor elke monomiaal in de polynoom de som van de exponenten i1+i2+…+in. De grootste van de sommen wordt de exponent van de polynoom genoemd, en de monomiaal die met deze som overeenkomt, wordt de hoogste term genoemd.
Trouwens, elke constante kan worden beschouwd als een polynoom van graad nul.
Gereduceerde en niet-gereduceerde veeltermen
Als de coëfficiënt c gelijk is aan 1 voor de hoogste term, dan wordt de polynoom gegeven, anders niet.
De uitdrukking x2+2x+1 is bijvoorbeeld een gereduceerde veelterm, en 2x2+2x+1 is niet gereduceerd.
Homogene en inhomogene polynomen
Als de graden van alle leden van een polynoom gelijk zijn, dan zeggen we dat zo'n polynoom homogeen is. Alle andere polynomen worden als niet-homogeen beschouwd.
Homogene veeltermen: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogeen: x+1, x2+y.
Er zijn speciale namen voor een polynoom van twee en drie termen: respectievelijk binomiaal en trinomiaal.
Polynomen van één variabele worden toegewezen aan een aparte categorie.
Toepassing van een polynoom van één variabele
Polynomen van één variabele benaderen goed-continue functies van variërende complexiteit van één argument.
Het feit is dat zulke veeltermen kunnen worden beschouwd als partiële sommen van een machtreeks, en een continue functie kan worden voorgesteld als een reeks met een willekeurig kleine fout. De uitbreidingsreeksen van een functie worden Taylorreeksen genoemd, en hungedeeltelijke sommen in de vorm van veeltermen - Taylorpolynomen.
Het grafisch bestuderen van het gedrag van een functie door deze te benaderen met een polynoom is vaak gemakkelijker dan dezelfde functie rechtstreeks te onderzoeken of een reeks te gebruiken.
Het is gemakkelijk om afgeleiden van veeltermen te zoeken. Om de wortels van veeltermen van graad 4 en lager te vinden, zijn er kant-en-klare formules en voor het werken met hogere graden worden zeer nauwkeurige benaderingsalgoritmen gebruikt.
Er is ook een generalisatie van de beschreven polynomen voor functies van verschillende variabelen.
Newton's binomiaal
Beroemde veeltermen zijn de veeltermen van Newton, afgeleid door wetenschappers om de coëfficiënten van de uitdrukking (x + y) te vinden.
Het is voldoende om naar de eerste paar machten van de binominale decompositie te kijken om er zeker van te zijn dat de formule niet triviaal is:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Voor elke coëfficiënt is er een uitdrukking waarmee u deze kunt berekenen. Het onthouden van omslachtige formules en het elke keer uitvoeren van de noodzakelijke rekenkundige bewerkingen zou echter buitengewoon onhandig zijn voor wiskundigen die dergelijke uitbreidingen vaak nodig hebben. De driehoek van Pascal maakte het leven veel gemakkelijker voor hen.
De figuur is gebouwd volgens het volgende principe. 1 wordt bovenaan de driehoek geschreven en op elke volgende regel wordt het nog een cijfer, 1 wordt aan de randen geplaatst en het midden van de regel wordt gevuld met de sommen van twee aangrenzende getallen van de vorige.
Als je naar de illustratie kijkt, wordt alles duidelijk.
Natuurlijk is het gebruik van veeltermen in de wiskunde niet beperkt tot de gegeven voorbeelden, de meest bekende.
