Het gebied van een afgeknotte kegel. Formule en probleemvoorbeeld

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 05:37

De figuren van revolutie in de geometrie krijgen speciale aandacht bij het bestuderen van hun kenmerken en eigenschappen. Een daarvan is een afgeknotte kegel. Dit artikel is bedoeld om de vraag te beantwoorden welke formule kan worden gebruikt om de oppervlakte van een afgeknotte kegel te berekenen.

Over welk cijfer hebben we het?

Alvorens het gebied van een afgeknotte kegel te beschrijven, is het noodzakelijk om een exacte geometrische definitie van deze figuur te geven. Afgeknot is zo'n kegel, die wordt verkregen als gevolg van het afsnijden van de top van een gewone kegel door een vlak. In deze definitie dienen een aantal nuances te worden benadrukt. Ten eerste moet het doorsnedevlak evenwijdig zijn aan het vlak van de basis van de kegel. Ten tweede moet de originele figuur een cirkelvormige kegel zijn. Het kan natuurlijk een elliptische, hyperbolische en andere soort figuur zijn, maar in dit artikel zullen we ons beperken tot het beschouwen van alleen een cirkelvormige kegel. Dit laatste wordt weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Het is gemakkelijk te raden dat het niet alleen kan worden verkregen met behulp van een sectie door een vliegtuig, maar ook met behulp van een rotatiebewerking. VoorOm dit te doen, moet je een trapezium met twee rechte hoeken nemen en deze rond de zijde draaien die aan deze rechte hoeken grenst. Als resultaat zullen de bases van het trapezium de stralen worden van de bases van de afgeknotte kegel, en de laterale schuine zijde van het trapezium zal het conische oppervlak beschrijven.

Vormontwikkeling

Gezien het oppervlak van een afgeknotte kegel, is het nuttig om de ontwikkeling ervan, dat wil zeggen het beeld van het oppervlak van een driedimensionale figuur op een vlak te brengen. Hieronder is een scan van de bestudeerde figuur met willekeurige parameters.

Het is te zien dat het gebied van de figuur wordt gevormd door drie componenten: twee cirkels en een afgeknot cirkelvormig segment. Om de benodigde oppervlakte te bepalen, is het uiteraard noodzakelijk om de oppervlakten van alle genoemde figuren bij elkaar op te tellen. Laten we dit probleem in de volgende paragraaf oplossen.

Afgeknot kegelgebied

Om het gemakkelijker te maken om de volgende redenering te begrijpen, introduceren we de volgende notatie:

• r1, r2 - stralen van respectievelijk de grote en kleine basen;
• h - figuurhoogte;
• g - generatrix van de kegel (de lengte van de schuine zijde van het trapezium).

Het gebied van de basis van een afgeknotte kegel is eenvoudig te berekenen. Laten we de corresponderende uitdrukkingen schrijven:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

De oppervlakte van een deel van een cirkelsegment is wat moeilijker te bepalen. Als we ons voorstellen dat het middelpunt van deze cirkelvormige sector niet is uitgesneden, dan is de straal gelijk aan de waarde G. Het is niet moeilijk om het te berekenen als we de overeenkomstigesoortgelijke rechthoekige kegeldriehoeken. Het is gelijk aan:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Dan is het gebied van de hele cirkelvormige sector, die is gebouwd op straal G en die berust op een boog met een lengte van 2pir₁, gelijk naar:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Laten we nu het gebied van de kleine cirkelvormige sector S₂ bepalen, dat moet worden afgetrokken van S₁. Het is gelijk aan:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

De oppervlakte van het conische afgeknotte oppervlak S_bis gelijk aan het verschil tussen S₁ en S ₂. We krijgen:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Ondanks enkele omslachtige berekeningen, kregen we een vrij eenvoudige uitdrukking voor het gebied van het zijoppervlak van de figuur.

Door de oppervlakten van de basen en S_b toe te voegen, komen we tot de formule voor de oppervlakte van een afgeknotte kegel:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Dus, om de waarde van S van de bestudeerde figuur te berekenen, moet je de drie lineaire parameters kennen.

Voorbeeld probleem

Cirkelvormige rechte kegelmet een straal van 10 cm en een hoogte van 15 cm werd afgesneden door een vlak zodat een regelmatige afgeknotte kegel werd verkregen. Wetende dat de afstand tussen de basis van de afgeknotte figuur 10 cm is, is het noodzakelijk om de oppervlakte ervan te vinden.

Om de formule voor het gebied van een afgeknotte kegel te gebruiken, moet je drie van zijn parameters vinden. Een die we kennen:

r₁=10 cm.

De andere twee zijn gemakkelijk te berekenen als we gelijkaardige rechthoekige driehoeken beschouwen, die worden verkregen als resultaat van de axiale doorsnede van de kegel. Rekening houdend met de toestand van het probleem, krijgen we:

r₂=105/15=3,33 cm.

Uiteindelijk zal de gids van de afgeknotte kegel g zijn:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Nu kun je de waarden r₁, r₂ en g vervangen in de formule voor S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Het gewenste oppervlak van de figuur is ongeveer 852 cm².