In de schoolcursus vaste meetkunde is een van de eenvoudigste figuren met afmetingen die niet nul zijn langs drie ruimtelijke assen een vierhoekig prisma. Bekijk in het artikel wat voor soort figuur het is, uit welke elementen het bestaat, en ook hoe je het oppervlak en volume kunt berekenen.
Het concept van een prisma
In de meetkunde is een prisma een ruimtelijke figuur, die wordt gevormd door twee identieke basissen en zijvlakken die de zijkanten van deze basissen verbinden. Merk op dat beide basen in elkaar worden getransformeerd met behulp van de bewerking van parallelle translatie door een vector. Deze toewijzing van het prisma leidt ertoe dat al zijn zijden altijd parallellogrammen zijn.
Het aantal zijden van de basis kan willekeurig zijn, beginnend bij drie. Wanneer dit aantal naar oneindig neigt, verandert het prisma soepel in een cilinder, aangezien de basis een cirkel wordt en de parallellogrammen aan de zijkant, die aansluiten, een cilindrisch oppervlak vormen.
Zoals elk veelvlak, wordt een prisma gekenmerkt doorzijden (vlakken die de figuur begrenzen), randen (segmenten waarlangs twee zijden elkaar kruisen) en hoekpunten (ontmoetingspunten van drie zijden, voor een prisma zijn er twee lateraal en de derde is de basis). De hoeveelheden van de genoemde drie elementen van de figuur zijn met elkaar verbonden door de volgende uitdrukking:
P=C + B - 2
Hier zijn P, C en B respectievelijk het aantal randen, zijden en hoekpunten. Deze uitdrukking is de wiskundige notatie van de stelling van Euler.
De afbeelding hierboven toont twee prisma's. Aan de basis van een van hen (A) ligt een regelmatige zeshoek en de zijkanten staan loodrecht op de basis. Figuur B toont een ander prisma. De zijkanten staan niet langer loodrecht op de basis en de basis is een regelmatige vijfhoek.
Wat is een vierhoekig prisma?
Zoals duidelijk is uit de bovenstaande beschrijving, wordt het type prisma voornamelijk bepaald door het type polygoon dat de basis vormt (beide basissen zijn hetzelfde, dus we kunnen over een van hen praten). Als deze veelhoek een parallellogram is, krijgen we een vierhoekig prisma. Alle zijden van dit type prisma zijn dus parallellogrammen. Een vierhoekig prisma heeft zijn eigen naam - een parallellepipedum.
Het aantal zijden van een parallellepipedum is zes, en elke zijde heeft een vergelijkbare parallel. Aangezien de basis van de doos twee zijden is, zijn de overige vier zijdelings.
Het aantal hoekpunten van het parallellepipedum is acht, wat gemakkelijk te zien is als we bedenken dat de hoekpunten van het prisma alleen worden gevormd op de hoekpunten van de basispolygonen (4x2=8). Als we de stelling van Euler toepassen, krijgen we het aantal randen:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Van de 12 ribben zijn er slechts 4 onafhankelijk gevormd door de zijkanten. De overige 8 liggen in de vlakken van de basis van de figuur.
Verder in het artikel zullen we het alleen hebben over vierhoekige prisma's.
Soorten parallellepipedum
Het eerste type classificatie zijn de kenmerken van het onderliggende parallellogram. Het kan er zo uitzien:
- regelmatig, waarvan de hoeken niet gelijk zijn aan 90o;
- rechthoek;
- een vierkant is een regelmatige vierhoek.
Het tweede type classificatie is de hoek waaronder de zijde de basis kruist. Hier zijn twee verschillende gevallen mogelijk:
- deze hoek is niet recht, dan heet het prisma schuin of schuin;
- de hoek is 90o, dan is zo'n prisma rechthoekig of gewoon recht.
Het derde type classificatie houdt verband met de hoogte van het prisma. Als het prisma rechthoekig is en de basis een vierkant of een rechthoek is, wordt het een kubus genoemd. Als er een vierkant aan de basis is, het prisma rechthoekig is en de hoogte gelijk is aan de lengte van de zijde van het vierkant, dan krijgen we de bekende kubusfiguur.
Prisma oppervlak en gebied
De verzameling van alle punten die op twee basen van een prisma liggen(parallelogrammen) en aan de zijkanten (vier parallellogrammen) vormen het oppervlak van de figuur. Het oppervlak van dit oppervlak kan worden berekend door het oppervlak van de basis en deze waarde voor het zijoppervlak te berekenen. Dan zal hun som de gewenste waarde geven. Wiskundig is dit als volgt geschreven:
S=2So+ Sb
Hier zijn So en Sb het gebied van respectievelijk de basis en het zijoppervlak. Het cijfer 2 voor So verschijnt omdat er twee basen zijn.
Merk op dat de geschreven formule geldig is voor elk prisma, en niet alleen voor het gebied van een vierhoekig prisma.
Het is handig om te onthouden dat de oppervlakte van een parallellogram Sp wordt berekend met de formule:
Sp=ah
Waarbij de symbolen a en h respectievelijk de lengte van een van zijn zijden en de hoogte naar deze zijde aangeven.
De oppervlakte van een rechthoekig prisma met een vierkante basis
In een regelmatig vierhoekig prisma is de basis een vierkant. Voor de zekerheid duiden we de zijde aan met de letter a. Om het gebied van een regelmatig vierhoekig prisma te berekenen, moet u de hoogte weten. Volgens de definitie voor deze hoeveelheid is deze gelijk aan de lengte van de loodlijn die van de ene basis naar de andere v alt, dat wil zeggen gelijk aan de afstand ertussen. Laten we het aanduiden met de letter h. Aangezien alle zijvlakken loodrecht staan op de basis voor het type prisma in kwestie, zal de hoogte van een regelmatig vierhoekig prisma gelijk zijn aan de lengte van zijn zijrand.
BDe algemene formule voor het oppervlak van een prisma is twee termen. Het gebied van de basis is in dit geval eenvoudig te berekenen, het is gelijk aan:
So=a2
Om de oppervlakte van het zijoppervlak te berekenen, argumenteren we als volgt: dit oppervlak wordt gevormd door 4 identieke rechthoeken. Bovendien zijn de zijden van elk van hen gelijk aan a en h. Dit betekent dat de oppervlakte van Sb gelijk zal zijn aan:
Sb=4ah
Merk op dat het product 4a de omtrek is van de vierkante basis. Als we deze uitdrukking generaliseren naar het geval van een willekeurige basis, dan kan voor een rechthoekig prisma het zijoppervlak als volgt worden berekend:
Sb=Poh
Waar Po de omtrek van de basis is.
Terugkerend naar het probleem van het berekenen van de oppervlakte van een regelmatig vierhoekig prisma, kunnen we de uiteindelijke formule schrijven:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Gebied van een schuin parallellepipedum
Het berekenen ervan is iets moeilijker dan voor een rechthoekige. In dit geval wordt het basisgebied van een vierhoekig prisma berekend met dezelfde formule als voor een parallellogram. De wijzigingen hebben betrekking op de manier waarop het zijoppervlak wordt bepaald.
Om dit te doen, gebruikt u dezelfde formule door de omtrek zoals aangegeven in de bovenstaande paragraaf. Alleen zal het nu iets andere vermenigvuldigers hebben. De algemene formule voor Sb in het geval van een schuin prisma is:
Sb=Psrc
Hier is c de lengte van de zijrand van de figuur. De waarde Psr is de omtrek van de rechthoekige plak. Deze omgeving is als volgt opgebouwd: het is noodzakelijk om alle zijvlakken met een vlak te snijden zodat het loodrecht op ze allemaal staat. De resulterende rechthoek zal de gewenste snede zijn.
De bovenstaande afbeelding toont een voorbeeld van een schuine doos. Het gearceerde gedeelte vormt een rechte hoek met de zijkanten. De omtrek van de sectie is Psr. Het wordt gevormd door vier hoogten van laterale parallellogrammen. Voor dit vierhoekige prisma wordt het laterale oppervlak berekend met behulp van de bovenstaande formule.
De lengte van de diagonaal van een balk
De diagonaal van een parallellepipedum is een segment dat twee hoekpunten verbindt die geen gemeenschappelijke zijden hebben die ze vormen. Er zijn slechts vier diagonalen in een vierhoekig prisma. Voor een balk met een rechthoek aan de basis zijn de lengtes van alle diagonalen gelijk aan elkaar.
De onderstaande afbeelding toont de bijbehorende afbeelding. Het rode segment is zijn diagonaal.
Het berekenen van de lengte is heel eenvoudig, als je je de stelling van Pythagoras herinnert. Elke student kan de gewenste formule krijgen. Het heeft de volgende vorm:
D=√(A2+ B2 + C2)
Hier is D de lengte van de diagonaal. De overige karakters zijn de lengtes van de zijkanten van de doos.
Veel mensen verwarren de diagonaal van een parallellepipedum met de diagonalen van de zijkanten. Hieronder is een foto waar de gekleurdede segmenten vertegenwoordigen de diagonalen van de zijkanten van de figuur.
De lengte van elk van hen wordt ook bepaald door de stelling van Pythagoras en is gelijk aan de vierkantswortel van de som van de kwadraten van de corresponderende zijdelengtes.
Prismavolume
Naast het gebied van een gewoon vierhoekig prisma of andere soorten prisma's, moet u, om enkele geometrische problemen op te lossen, ook hun volume kennen. Deze waarde voor absoluut elk prisma wordt berekend met de volgende formule:
V=Soh
Als het prisma rechthoekig is, volstaat het om het gebied van de basis te berekenen en dit te vermenigvuldigen met de lengte van de rand van de zijkant om het volume van de figuur te krijgen.
Als het prisma een regelmatig vierhoekig prisma is, is het volume:
V=a2h.
Het is gemakkelijk in te zien dat deze formule wordt omgezet in een uitdrukking voor het volume van een kubus als de lengte van de zijrand h gelijk is aan de zijde van de basis a.
Probleem met een balk
Om het bestudeerde materiaal te consolideren, zullen we het volgende probleem oplossen: er is een rechthoekig parallellepipedum waarvan de zijden 3 cm, 4 cm en 5 cm zijn. Het is noodzakelijk om het oppervlak, de diagonale lengte en het volume te berekenen.
Voor de zekerheid nemen we aan dat de basis van de figuur een rechthoek is met zijden van 3 cm en 4 cm, dan is de oppervlakte 12 cm2, en de punt is 14 cm Met behulp van de formule voor het oppervlak van het prisma, krijgen we:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Om de lengte van de diagonaal en het volume van de figuur te bepalen, kun je de bovenstaande uitdrukkingen direct gebruiken:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Probleem met een schuin parallellepipedum
De onderstaande afbeelding toont een schuin prisma. De zijkanten zijn gelijk: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm Je moet de oppervlakte van deze figuur vinden.
Laten we eerst het gebied van de basis bepalen. De afbeelding laat zien dat de scherpe hoek 50o is. Dan is het gebied:
So=ha=sin(50o)ba
Om het gebied van het zijoppervlak te bepalen, moet u de omtrek van de gearceerde rechthoek vinden. De zijden van deze rechthoek zijn asin(45o) en bsin(60o). Dan is de omtrek van deze rechthoek:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
De totale oppervlakte van deze doos is:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
We vervangen de gegevens van de toestand van het probleem door de lengtes van de zijkanten van de figuur, we krijgen het antwoord:
S=458, 5496 cm3
Uit de oplossing van dit probleem blijkt dat goniometrische functies worden gebruikt om de oppervlakten van schuine figuren te bepalen.
