De studie van de eigenschappen van de gasaggregaattoestand van materie is een van de belangrijke gebieden van de moderne natuurkunde. Als we gassen op microscopische schaal beschouwen, kan men alle macroscopische parameters van het systeem verkrijgen. Dit artikel zal een belangrijke kwestie van de moleculaire kinetische theorie van gassen onthullen: wat is de Maxwell-verdeling van moleculen in termen van snelheden.
Historische achtergrond
Het idee van gas als een systeem van microscopisch kleine bewegende deeltjes is ontstaan in het oude Griekenland. Het kostte de wetenschap meer dan 1700 jaar om het te ontwikkelen.
De grondlegger van de moderne moleculair-kinetische theorie (MKT) van gas mag gerust Daniil Bernoulli beschouwen. In 1738 publiceerde hij een werk genaamd "Hydrodynamics". Daarin schetste Bernoulli de ideeën van de MKT die tot op de dag van vandaag worden gebruikt. Dus de wetenschapper geloofde dat gassen zijn samengesteld uit deeltjes die willekeurig in alle richtingen bewegen. Talrijke botsingendeeltjes met vaatwanden worden waargenomen als de aanwezigheid van druk in gassen. De deeltjessnelheden hangen nauw samen met de temperatuur van het systeem. De wetenschappelijke gemeenschap accepteerde de gedurfde ideeën van Bernoulli niet omdat de wet van behoud van energie nog niet was vastgesteld.
Vervolgens waren veel wetenschappers bezig met het bouwen van een kinetisch model van gassen. Onder hen moet worden opgemerkt Rudolf Clausius, die in 1857 een eenvoudig gasmodel creëerde. Daarin besteedde de wetenschapper speciale aandacht aan de aanwezigheid van translatie-, rotatie- en vibrationele vrijheidsgraden in moleculen.
In 1859, toen hij het werk van Clausius bestudeerde, formuleerde James Maxwell de zogenaamde Maxwell-verdeling over moleculaire snelheden. In feite bevestigde Maxwell de ideeën van de MKT en ondersteunde ze met een wiskundig apparaat. Vervolgens generaliseerde Ludwig Boltzmann (1871) de conclusies van de Maxwell-verdeling. Hij postuleerde een meer algemene statistische verdeling van moleculen over snelheden en energieën. Het is momenteel bekend als de Maxwell-Boltzmann-distributie.
Ideaal gas. Basispostulaten van de ILC
Om te begrijpen wat de Maxwell-distributiefunctie is, moet u duidelijk de systemen begrijpen waarvoor deze functie van toepassing is. We hebben het over een ideaal gas. In de natuurkunde wordt dit concept opgevat als een vloeibare substantie, die bestaat uit praktisch dimensieloze deeltjes die geen potentiële energie hebben. Deze deeltjes bewegen met hoge snelheden, dus hun gedrag wordt volledig bepaald door kinetische energie. Bovendien zijn de afstanden tussen de deeltjes te groot voorin vergelijking met hun maten, dus de laatste worden verwaarloosd.
Ideale gassen worden beschreven in de MKT. De belangrijkste postulaten zijn als volgt:
- gassystemen bestaan uit een groot aantal vrije deeltjes;
- deeltjes bewegen willekeurig met verschillende snelheden in verschillende richtingen langs rechte banen;
- deeltjes botsen elastisch tegen vaatwanden (de kans dat deeltjes met elkaar botsen is klein vanwege hun kleine formaat);
- De temperatuur van het systeem wordt op unieke wijze bepaald door de gemiddelde kinetische energie van de deeltjes, die in de tijd behouden blijft als er een thermodynamisch evenwicht in het systeem tot stand wordt gebracht.
De distributiewet van Maxwell
Als iemand een instrument had waarmee het mogelijk was om de snelheid van een enkel gasmolecuul te meten, dan zou hij, na het uitvoeren van een geschikt experiment, verrast zijn. Het experiment zou aantonen dat elk molecuul van een gasvormig systeem met een volledig willekeurige snelheid beweegt. In dit geval zouden, binnen het kader van één systeem in thermisch evenwicht met de omgeving, zowel zeer langzame als zeer snelle moleculen worden gedetecteerd.
Maxwell's wet van snelheidsverdeling van gasmoleculen is een hulpmiddel waarmee je de waarschijnlijkheid kunt bepalen van het detecteren van deeltjes met een bepaalde snelheid v in het bestudeerde systeem. De bijbehorende functie ziet er als volgt uit:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
In deze uitdrukking, m -deeltje (molecuul) massa, k - constante van Boltzmann, T - absolute temperatuur. Dus als de chemische aard van de deeltjes (de waarde van m) bekend is, dan wordt de functie f(v) uniek bepaald door de absolute temperatuur. De functie f(v) wordt de kansdichtheid genoemd. Als we de integraal ervan nemen voor een bepaalde snelheidslimiet (v; v+dv), dan krijgen we het aantal deeltjes Ni, die snelheden hebben in het gespecificeerde interval. Dienovereenkomstig, als we de integraal van de kansdichtheid f(v) nemen voor de snelheidslimieten van 0 tot ∞, dan krijgen we het totale aantal moleculen N in het systeem.
Grafische weergave van de kansdichtheid f(v)
De kansdichtheidsfunctie heeft een ietwat complexe wiskundige vorm, dus het is niet eenvoudig om het gedrag bij een bepaalde temperatuur weer te geven. Dit probleem kan worden opgelost als je het in een tweedimensionale grafiek weergeeft. Een schematische weergave van de Maxwell-verdelingsgrafiek wordt hieronder in de afbeelding getoond.
We zien dat het begint bij nul, omdat de snelheid v van moleculen geen negatieve waarden kan hebben. De grafiek eindigt ergens in het gebied van hoge snelheden en da alt geleidelijk naar nul (f(∞)->0). Opvallend is ook de volgende eigenschap: de vloeiende curve is asymmetrisch, deze neemt scherper af bij kleine snelheden.
Een belangrijk kenmerk van het gedrag van de kansdichtheidsfunctie f(v) is de aanwezigheid van één uitgesproken maximum erop. Volgens de fysieke betekenis van de functie komt dit maximum overeen met de meest waarschijnlijke waarde van de snelheden van moleculen in het gassysteem.
Belangrijke snelheden voor de functie f(v)
De kansdichtheidsfunctie f(v) en zijn grafische weergave stellen ons in staat om drie belangrijke soorten snelheid te definiëren.
De eerste soort snelheid die voor de hand ligt en die hierboven werd genoemd, is de meest waarschijnlijke snelheid v1. In de grafiek komt de waarde ervan overeen met het maximum van de functie f(v). Het is deze snelheid en waarden die er dichtbij liggen die de meeste deeltjes van het systeem zullen hebben. Het is niet moeilijk om het te berekenen, hiervoor volstaat het om de eerste afgeleide te nemen met betrekking tot de snelheid van de functie f(v) en deze gelijk te stellen aan nul. Als resultaat van deze wiskundige bewerkingen krijgen we het eindresultaat:
v1=√(2RT/M).
Hier is R de universele gasconstante, M is de molaire massa van moleculen.
De tweede soort snelheid is de gemiddelde waarde voor alle N-deeltjes. Laten we het v2 aanduiden. Het kan worden berekend door de functie vf(v) over alle snelheden te integreren. Het resultaat van de genoteerde integratie is de volgende formule:
v2=√(8RT/(piM)).
Omdat de verhouding 8/pi>2 is, is de gemiddelde snelheid altijd iets hoger dan de meest waarschijnlijke.
Iedereen die iets van natuurkunde weet, begrijpt dat de gemiddelde snelheid v2 van moleculen van groot belang moet zijn in een gassysteem. Dit is echter een foutieve veronderstelling. Veel belangrijker is de RMS-snelheid. Laten we het aanduidenv3.
Volgens de definitie is de wortel-gemiddelde-kwadraatsnelheid de som van de kwadraten van de individuele snelheden van alle deeltjes, gedeeld door het aantal van deze deeltjes, en genomen als de vierkantswortel. Het kan worden berekend voor de Maxwell-verdeling als we de integraal definiëren over alle snelheden van de functie v2f(v). De formule voor de gemiddelde kwadratische snelheid zal de vorm aannemen:
v3=√(3RT/M).
Gelijkheid toont aan dat deze snelheid groter is dan v2 en v1 voor elk gassysteem.
Dus alle beschouwde typen snelheden op de Maxwell-verdelingsgrafiek liggen ofwel aan het uiterste of rechts ervan.
Belang van v3
Hierboven werd opgemerkt dat de gemiddelde kwadratische snelheid belangrijker is voor het begrijpen van de fysische processen en eigenschappen van een gassysteem dan de eenvoudige gemiddelde snelheid v2. Dit is waar, aangezien de kinetische energie van een ideaal gas precies afhangt van v3, en niet van v2.
Als we een monoatomisch ideaal gas beschouwen, dan geldt de volgende uitdrukking ervoor:
mv32/2=3/2kT.
Hier stelt elk deel van de vergelijking de kinetische energie van één deeltje met massa m voor. Waarom bevat de uitdrukking precies de waarde v3, en niet de gemiddelde snelheid v2? Heel eenvoudig: bij het bepalen van de kinetische energie van elk deeltje, wordt de individuele snelheid v kwadraat, dan alle snelhedenworden opgeteld en gedeeld door het aantal deeltjes N. Dat wil zeggen, de procedure voor het bepalen van de kinetische energie zelf leidt tot de waarde van de gemiddelde kwadratische snelheid.
Afhankelijkheid van functie f(v) van temperatuur
We hebben hierboven vastgesteld dat de waarschijnlijkheidsdichtheid van moleculaire snelheden uniek afhangt van de temperatuur. Hoe verandert de functie als T wordt verhoogd of verlaagd? De onderstaande tabel helpt bij het beantwoorden van deze vraag.
Het is te zien dat de verwarming van het gesloten systeem leidt tot het uitsmeren van de piek en zijn verschuiving naar hogere snelheden. Een temperatuurstijging leidt tot een toename van alle soorten snelheden en tot een afname van de kansdichtheid van elk van hen. De piekwaarde neemt af door het behoud van het aantal deeltjes N in een gesloten systeem.
Vervolgens zullen we een aantal problemen oplossen om het ontvangen theoretische materiaal te consolideren.
Probleem met stikstofmoleculen in de lucht
Het is noodzakelijk om de snelheden v1, v2 en v3 te berekenen voor luchtstikstof bij een temperatuur van 300 K (ongeveer 27 oC).
De molaire massa van stikstof N2 is 28 g/mol. Met behulp van de bovenstaande formules krijgen we:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Zuurstoftankprobleem
De zuurstof in de cilinder had een bepaalde temperatuur T1. Daarna werd de ballon in een koudere kamer geplaatst. Hoe zal de Maxwell-snelheidsverdelingsgrafiek voor zuurstofmoleculen veranderen als het systeem tot thermodynamisch evenwicht komt?
De theorie onthouden, kunnen we de vraag van het probleem op deze manier beantwoorden: de waarden van alle soorten snelheden van moleculen zullen afnemen, de piek van de functie f(v) zal naar links verschuiven, smaller en hoger worden.
