De wet van behoud van momentum en impulsmoment: een voorbeeld van het oplossen van het probleem

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Als je natuurkundige problemen moet oplossen over de beweging van objecten, blijkt het vaak handig om de wet van behoud van impuls toe te passen. Wat is het momentum voor de lineaire en cirkelvormige beweging van het lichaam, en wat is de essentie van de wet van behoud van deze waarde, wordt in het artikel besproken.

Het concept van lineair momentum

Historische gegevens laten zien dat Galileo Galilei aan het begin van de 17e eeuw voor het eerst rekening hield met deze waarde in zijn wetenschappelijke werken. Vervolgens was Isaac Newton in staat om het concept van momentum (een meer correcte naam voor momentum) harmonieus te integreren in de klassieke theorie van de beweging van objecten in de ruimte.

Geef het momentum aan als p¯, dan wordt de formule voor de berekening geschreven als:

p¯=mv¯.

Hier is m de massa, v¯ is de snelheid (vectorwaarde) van de beweging. Deze gelijkheid laat zien dat de hoeveelheid beweging de snelheidskarakteristiek is van een object, waarbij de massa de rol van een vermenigvuldigingsfactor speelt. Aantal beweging:is een vectorgrootheid die in dezelfde richting wijst als de snelheid.

Intuïtief, hoe groter de bewegingssnelheid en de massa van het lichaam, hoe moeilijker het is om het te stoppen, dat wil zeggen, hoe groter de kinetische energie die het heeft.

De hoeveelheid beweging en de verandering ervan

Je kunt wel raden dat je kracht moet uitoefenen om de p¯-waarde van het lichaam te veranderen. Laat de kracht F¯ werken gedurende het tijdsinterval Δt, dan stelt de wet van Newton ons in staat om de gelijkheid te schrijven:

F¯Δt=ma¯Δt; daarom F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

De waarde gelijk aan het product van het tijdsinterval Δt en de kracht F¯ wordt de impuls van deze kracht genoemd. Aangezien het gelijk blijkt te zijn aan de verandering in momentum, wordt dit laatste vaak gewoon momentum genoemd, wat suggereert dat een externe kracht F¯ het heeft gecreëerd.

De reden voor de verandering in het momentum is dus het momentum van de externe kracht. De waarde van Δp¯ kan zowel leiden tot een toename van de waarde van p¯ als de hoek tussen F¯ en p¯ scherp is, als tot een afname van de modulus van p¯ als deze hoek stomp is. De eenvoudigste gevallen zijn de versnelling van het lichaam (de hoek tussen F¯ en p¯ is nul) en zijn vertraging (de hoek tussen de vectoren F¯ en p¯ is 180o).

Als momentum behouden blijft: wet

Als het lichaamssysteem dat niet isexterne krachten werken, en alle processen daarin worden alleen beperkt door de mechanische interactie van zijn componenten, dan blijft elke component van het momentum willekeurig lang onveranderd. Dit is de wet van behoud van impuls van lichamen, die wiskundig als volgt wordt geschreven:

p¯=∑_ip_{i¯=const or}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_iz=const.

Het subscript i is een geheel getal dat het object van het systeem opsomt, en de indices x, y, z beschrijven de impulscomponenten voor elk van de coördinaatassen in het cartesiaanse rechthoekige systeem.

In de praktijk is het vaak nodig om eendimensionale problemen voor de botsing van lichamen op te lossen, wanneer de beginvoorwaarden bekend zijn, en het is noodzakelijk om de toestand van het systeem na de impact te bepalen. In dit geval blijft het momentum altijd behouden, wat niet gezegd kan worden over kinetische energie. Dit laatste voor en na de impact zal slechts in één geval ongewijzigd blijven: wanneer er een absoluut elastische interactie is. Voor dit geval van botsing van twee lichamen die bewegen met snelheden v₁ en v_{2,zal de formule voor behoud van momentum de vorm aannemen:}

m₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

Hier karakteriseren de snelheden u₁ en u_{2 de beweging van lichamen na de impact. Merk op dat in deze vorm van de behoudswet rekening moet worden gehouden met het teken van de snelheden: als ze naar elkaar zijn gericht, moet er een worden genomenpositief en het andere negatief.}

Voor een volkomen inelastische botsing (twee lichamen plakken aan elkaar na een botsing), heeft de wet van behoud van momentum de vorm:

m₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

Oplossing van het probleem van de wet van behoud van p¯

Laten we het volgende probleem oplossen: twee ballen rollen naar elkaar toe. De massa's van de ballen zijn hetzelfde, en hun snelheden zijn 5 m/s en 3 m/s. Ervan uitgaande dat er een absoluut elastische botsing is, is het noodzakelijk om de snelheden van de ballen erachter te vinden.

Gebruikmakend van de wet van behoud van momentum voor het eendimensionale geval, en rekening houdend met het feit dat de kinetische energie behouden blijft na de impact, schrijven we:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

Hier hebben we de massa's van de ballen onmiddellijk verminderd vanwege hun gelijkheid, en hebben we ook rekening gehouden met het feit dat de lichamen naar elkaar toe bewegen.

Het is gemakkelijker om door te gaan met het oplossen van het systeem als u bekende gegevens vervangt. We krijgen:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

Door u_{1 in de tweede vergelijking in te vullen, krijgen we:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; Vandaar,u}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

We hebben de klassieke kwadratische vergelijking. We lossen het op via de discriminant, we krijgen:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.}

We hebben twee oplossingen. Als we ze in de eerste uitdrukking vervangen en u₁ definiëren, krijgen we de volgende waarde: u₁=-3 m/s, u ₂=5 m/s; u₁=5 m/s, u_{2=-3 m/s. Het tweede paar getallen wordt gegeven in de toestand van het probleem, dus het komt niet overeen met de werkelijke verdeling van snelheden na de impact.}

Er blijft dus maar één oplossing over: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s. Dit merkwaardige resultaat betekent dat bij een centrale elastische botsing twee ballen van gelijke massa eenvoudigweg hun snelheden uitwisselen.}

Moment van momentum

Alles wat hierboven is gezegd, verwijst naar het lineaire type beweging. Het blijkt echter dat vergelijkbare grootheden ook kunnen worden ingevoerd bij cirkelvormige verplaatsing van lichamen om een bepaalde as. Het impulsmoment, ook wel impulsmoment genoemd, wordt berekend als het product van de vector die het materiële punt verbindt met de rotatie-as en het momentum van dit punt. Dat wil zeggen, de formule vindt plaats:

L¯=r¯p¯, waarbij p¯=mv¯.

Momentum is, net als p¯, een vector die loodrecht staat op het vlak dat is gebouwd op de vectoren r¯ en p¯.

De waarde van L¯ is een belangrijk kenmerk van een roterend systeem, omdat het de energie bepa alt die erin wordt opgeslagen.

Moment van momentum en behoudswet

Het impulsmoment blijft behouden als er geen externe krachten op het systeem inwerken (meestal zeggen ze dat er geen krachtenmoment is). De uitdrukking in de vorige paragraaf kan, door middel van eenvoudige transformaties, worden geschreven in een vorm die handiger is om te oefenen:

L¯=Iω¯, waarbij I=mr2 het traagheidsmoment van het materiële punt is, ω¯ is de hoeksnelheid.

Het traagheidsmoment I, dat in de uitdrukking verscheen, heeft precies dezelfde betekenis voor rotatie als de gebruikelijke massa voor lineaire beweging.

Als er een interne herschikking van het systeem is, waarin ik verandert, dan blijft ω¯ ook niet constant. Bovendien vindt de verandering in beide fysische grootheden zodanig plaats dat onderstaande gelijkheid geldig blijft:

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

Dit is de wet van behoud van impulsmoment L¯. De manifestatie ervan werd waargenomen door iedereen die minstens één keer ballet of kunstschaatsen bijwoonde, waar atleten pirouettes uitvoeren met rotatie.