In dit artikel wordt de methode beschouwd als een manier om stelsels van lineaire vergelijkingen (SLAE) op te lossen. De methode is analytisch, dat wil zeggen dat u een algemeen oplossingsalgoritme kunt schrijven en vervolgens waarden uit specifieke voorbeelden daar kunt vervangen. In tegenstelling tot de matrixmethode of de formules van Cramer, kunt u bij het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen met behulp van de Gauss-methode ook werken met die met oneindig veel oplossingen. Of heb het helemaal niet.
Wat betekent het om op te lossen met de Gauss-methode?
Eerst moeten we ons stelsel vergelijkingen opschrijven als een matrix. Het ziet er zo uit. Het systeem is bezet:
Coëfficiënten worden geschreven in de vorm van een tabel en aan de rechterkant in een aparte kolom - gratis leden. De kolom met vrije leden is voor het gemak gescheiden door een verticale balk. Een matrix die deze kolom bevat, wordt uitgebreid genoemd.
Vervolgens moet de hoofdmatrix met coëfficiënten worden teruggebracht tot de bovenste driehoekige vorm. Dit is het belangrijkste punt van het oplossen van het systeem door de Gauss-methode. Simpel gezegd, na bepaalde manipulaties zou de matrix er zo uit moeten zien, zodat er alleen nullen in het linkerondergedeelte staan:
Als je de nieuwe matrix vervolgens opnieuw als een stelsel vergelijkingen schrijft, zul je merken dat de laatste regel al de waarde van een van de wortels bevat, die vervolgens in de bovenstaande vergelijking wordt vervangen, er wordt een andere wortel gevonden, enzovoort.
Dit is een beschrijving van de Gauss-oplossing in de meest algemene termen. En wat gebeurt er als het systeem ineens geen oplossing heeft? Of zijn het er oneindig veel? Om deze en nog veel meer vragen te beantwoorden, is het noodzakelijk om alle elementen die in de oplossing worden gebruikt door de Gauss-methode afzonderlijk te beschouwen.
Matrices, hun eigenschappen
Er is geen verborgen betekenis in de matrix. Het is gewoon een handige manier om gegevens op te nemen voor latere bewerkingen. Zelfs schoolkinderen zouden niet bang voor ze moeten zijn.
De matrix is altijd rechthoekig omdat het handiger is. Zelfs in de Gauss-methode, waar alles neerkomt op het bouwen van een driehoekige matrix, verschijnt er een rechthoek in de invoer, alleen met nullen op de plaats waar geen getallen zijn. Nullen kunnen worden weggelaten, maar ze zijn impliciet.
Matrix heeft grootte. De "breedte" is het aantal rijen (m), de "lengte" is het aantal kolommen (n). Dan wordt de grootte van de matrix A (meestal worden er Latijnse hoofdletters gebruikt voor hun aanduiding) aangeduid als Am×n. Als m=n, dan is deze matrix vierkant, enm=n - de volgorde. Dienovereenkomstig kan elk element van de matrix A worden aangeduid door het nummer van zijn rij en kolom: axy; x - rijnummer, wijzig [1, m], y - kolomnummer, wijzig [1, n].
In de Gauss-methode zijn matrices niet het belangrijkste punt van de oplossing. In principe kunnen alle bewerkingen rechtstreeks met de vergelijkingen zelf worden uitgevoerd, maar de notatie zal veel omslachtiger zijn en het zal veel gemakkelijker zijn om erin verward te raken.
Kwalificatie
De matrix heeft ook een determinant. Dit is een zeer belangrijke functie. Het is het nu niet waard om de betekenis ervan te achterhalen, je kunt gewoon laten zien hoe het wordt berekend en vervolgens vertellen welke eigenschappen van de matrix het bepa alt. De gemakkelijkste manier om de determinant te vinden is door diagonalen. In de matrix worden denkbeeldige diagonalen getekend; de elementen op elk van hen worden vermenigvuldigd en vervolgens worden de resulterende producten toegevoegd: diagonalen met een helling naar rechts - met een "plus"-teken, met een helling naar links - met een "min"-teken.
Het is uiterst belangrijk op te merken dat de determinant alleen kan worden berekend voor een vierkante matrix. Voor een rechthoekige matrix kunt u het volgende doen: kies de kleinste van het aantal rijen en het aantal kolommen (laat het k zijn), en markeer vervolgens willekeurig k kolommen en k rijen in de matrix. De elementen die zich op de kruising van de geselecteerde kolommen en rijen bevinden, vormen een nieuwe vierkante matrix. Als de determinant van zo'n matrix een ander getal dan nul is, dan wordt het de basismineur van de oorspronkelijke rechthoekige matrix genoemd.
Voorhoe te beginnen met het oplossen van een stelsel vergelijkingen met de Gauss-methode, het kan geen kwaad om de determinant te berekenen. Als het nul blijkt te zijn, kunnen we meteen zeggen dat de matrix ofwel een oneindig aantal oplossingen heeft, ofwel helemaal geen oplossingen heeft. In zo'n triest geval moet je verder gaan en meer te weten komen over de rangorde van de matrix.
Classificatie van systemen
Er bestaat zoiets als de rangorde van een matrix. Dit is de maximale volgorde van zijn niet-nul determinant (onthoud de basis minor, we kunnen zeggen dat de rangorde van een matrix de volgorde is van de basis minor).
Zoals het gaat met rang, kan SLOW worden onderverdeeld in:
- Gezamenlijke. Voor gewrichtssystemen v alt de rangorde van de hoofdmatrix (die alleen uit coëfficiënten bestaat) samen met de rangorde van de uitgebreide (met een kolom met vrije termen). Dergelijke systemen hebben een oplossing, maar niet noodzakelijkerwijs één, daarom zijn gezamenlijke systemen bovendien onderverdeeld in:
- - definitief - een unieke oplossing hebben. In bepaalde systemen zijn de rangorde van de matrix en het aantal onbekenden gelijk (of het aantal kolommen, wat hetzelfde is);
- - onbepaald - met een oneindig aantal oplossingen. De rangorde van matrices in dergelijke systemen is kleiner dan het aantal onbekenden.
- Incompatibel. Voor dergelijke systemen komen de rangschikkingen van de hoofdmatrices en de uitgebreide matrices niet overeen. Incompatibele systemen hebben geen oplossing.
De Gauss-methode is goed omdat je hiermee ofwel een ondubbelzinnig bewijs van de inconsistentie van het systeem kunt verkrijgen (zonder de determinanten van grote matrices te berekenen) of een algemene oplossing voor een systeem met een oneindig aantal oplossingen.
Elementaire transformaties
Voorhoe u direct naar de oplossing van het systeem kunt gaan, kunt u het minder omslachtig en handiger maken voor berekeningen. Dit wordt bereikt door elementaire transformaties - zodanig dat hun implementatie het uiteindelijke antwoord op geen enkele manier verandert. Opgemerkt moet worden dat sommige van de bovenstaande elementaire transformaties alleen geldig zijn voor matrices, waarvan de bron precies de SLAE was. Hier is een lijst van deze transformaties:
- Snaren wijzigen. Het is duidelijk dat als we de volgorde van de vergelijkingen in het systeemrecord veranderen, dit op geen enkele manier invloed heeft op de oplossing. Daarom is het ook mogelijk om rijen in de matrix van dit systeem te verwisselen, en natuurlijk de kolom met gratis leden niet te vergeten.
- Alle elementen van een string vermenigvuldigen met een factor. Zeer nuttig! Hiermee kunt u grote getallen in de matrix verkleinen of nullen verwijderen. De reeks oplossingen zal, zoals gewoonlijk, niet veranderen en het zal handiger worden om verdere bewerkingen uit te voeren. Het belangrijkste is dat de coëfficiënt niet gelijk mag zijn aan nul.
- Verwijder regels met proportionele coëfficiënten. Dit volgt deels uit de vorige paragraaf. Als twee of meer rijen in de matrix proportionele coëfficiënten hebben, worden bij het vermenigvuldigen / delen van een van de rijen door de evenredigheidscoëfficiënt twee (of, nogmaals, meer) absoluut identieke rijen verkregen en kunt u de extra verwijderen, zodat alleen een.
- Verwijder de nulregel. Als tijdens transformaties ergens een string wordt verkregen waarin alle elementen, inclusief het vrije lid, nul zijn, dan kan zo'n string nul worden genoemd en uit de matrix worden gegooid.
- Toevoegen aan de elementen van de ene rij elementen van een andere (volgensovereenkomstige kolommen) vermenigvuldigd met een coëfficiënt. De meest obscure en belangrijkste transformatie van allemaal. Het is de moeite waard om er dieper op in te gaan.
Een tekenreeks toevoegen vermenigvuldigd met een factor
Voor een beter begrip is het de moeite waard om dit proces stap voor stap uit elkaar te halen. Er worden twee rijen uit de matrix gehaald:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Stel dat je de eerste vermenigvuldigd met de coëfficiënt "-2" moet optellen bij de tweede.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Dan wordt de tweede rij in de matrix vervangen door een nieuwe, terwijl de eerste ongewijzigd blijft.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Opgemerkt moet worden dat de vermenigvuldigingsfactor zo kan worden gekozen dat, als resultaat van het optellen van twee strings, een van de elementen van de nieuwe string gelijk is aan nul. Daarom is het mogelijk om een vergelijking in het systeem te verkrijgen, waarbij er één minder onbekend zal zijn. En als je twee van dergelijke vergelijkingen krijgt, kan de bewerking opnieuw worden uitgevoerd en krijg je een vergelijking die al twee onbekenden minder bevat. En als we elke keer dat we een coëfficiënt op nul zetten voor alle rijen die lager zijn dan de oorspronkelijke, dan kunnen we, net als stappen, naar de onderkant van de matrix gaan en een vergelijking krijgen met één onbekende. Dit heetlos het systeem op met behulp van de Gauss-methode.
Over het algemeen
Laat er een systeem zijn. Het heeft m vergelijkingen en n onbekende wortels. Je kunt het zo schrijven:
De hoofdmatrix wordt samengesteld uit de coëfficiënten van het systeem. Een kolom met gratis leden wordt toegevoegd aan de uitgebreide matrix en voor het gemak gescheiden door een balk.
Volgende:
- de eerste rij van de matrix wordt vermenigvuldigd met de coëfficiënt k=(-a21/a11);
- de eerste gewijzigde rij en de tweede rij van de matrix worden toegevoegd;
- in plaats van de tweede rij wordt het resultaat van de toevoeging uit de vorige alinea ingevoegd in de matrix;
- nu is de eerste coëfficiënt in de nieuwe tweede regel a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Nu wordt dezelfde reeks transformaties uitgevoerd, alleen de eerste en derde regel zijn erbij betrokken. Dienovereenkomstig wordt in elke stap van het algoritme het element a21 vervangen door a31. Dan herha alt alles zich voor a41, … am1. Het resultaat is een matrix waarin het eerste element in de rijen [2, m] gelijk is aan nul. Nu moet je regel nummer één vergeten en hetzelfde algoritme uitvoeren vanaf de tweede regel:
- k coëfficiënt=(-a32/a22);
- de tweede gewijzigde regel wordt toegevoegd aan de "huidige" regel;
- het resultaat van de optelling wordt vervangen door de derde, vierde enzovoort, terwijl de eerste en tweede ongewijzigd blijven;
- in de rijen [3, m] van de matrix zijn de eerste twee elementen al gelijk aan nul.
Het algoritme moet worden herhaald totdat de coëfficiënt k=(-am, m-1/amm verschijnt). Dit betekent dat het algoritme voor het laatst alleen is uitgevoerd voor de lagere vergelijking. De matrix ziet er nu uit als een driehoek, of heeft een getrapte vorm. De onderste regel bevat de vergelijking amn × x =bm. De coëfficiënt en de vrije term zijn bekend en de wortel wordt erdoor uitgedrukt: x =bm/amn. De resulterende wortel wordt in de bovenste rij vervangen om xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. En zo verder naar analogie: in elke volgende regel is er een nieuwe wortel, en als men de "top" van het systeem heeft bereikt, kan men een reeks oplossingen vinden [x1, … x ]. Het zal de enige zijn.
Als er geen oplossingen zijn
Als in een van de matrixrijen alle elementen, behalve de vrije term, gelijk zijn aan nul, dan ziet de vergelijking die overeenkomt met deze rij eruit als 0=b. Het heeft geen oplossing. En aangezien zo'n vergelijking in het systeem is opgenomen, is de verzameling oplossingen van het hele systeem leeg, dat wil zeggen, het is gedegenereerd.
Als er oneindig veel oplossingen zijn
Het kan blijken dat er in de gereduceerde driehoekige matrix geen rijen zijn met één element - de coëfficiënt van de vergelijking, en één - een vrij lid. Er zijn alleen strings die, wanneer ze worden herschreven, eruit zouden zien als een vergelijking met twee of meer variabelen. Dit betekent dat het systeem een oneindig aantal oplossingen heeft. In dit geval kan het antwoord worden gegeven in de vorm van een algemene oplossing. Hoe het te doen?
Allevariabelen in de matrix zijn onderverdeeld in basis en vrij. Basis - dit zijn degenen die "op de rand" van de rijen in de getrapte matrix staan. De rest is gratis. In de algemene oplossing worden de basisvariabelen geschreven in termen van de vrije.
Voor het gemak wordt de matrix eerst teruggeschreven in een stelsel vergelijkingen. Dan blijft in de laatste, waar precies één basisvariabele overbleef, deze aan de ene kant en wordt al het andere overgedragen aan de andere. Dit wordt gedaan voor elke vergelijking met één basisvariabele. Vervolgens wordt in de rest van de vergelijkingen, waar mogelijk, in plaats van de basisvariabele de daarvoor verkregen uitdrukking gesubstitueerd. Als het resultaat weer een uitdrukking is die slechts één basisvariabele bevat, wordt het van daaruit opnieuw uitgedrukt, enzovoort, totdat elke basisvariabele wordt geschreven als een uitdrukking met vrije variabelen. Dit is de algemene oplossing van SLAE.
Je kunt ook de basisoplossing van het systeem vinden - geef de vrije variabelen willekeurige waarden en bereken vervolgens de waarden van de basisvariabelen voor dit specifieke geval. Er zijn oneindig veel specifieke oplossingen.
Oplossing met specifieke voorbeelden
Hier is een stelsel vergelijkingen.
Voor het gemak is het beter om meteen de matrix te maken
Het is bekend dat bij het oplossen met de Gauss-methode de vergelijking die overeenkomt met de eerste rij ongewijzigd blijft aan het einde van de transformaties. Daarom zal het winstgevender zijn als het element linksboven in de matrix de kleinste is - dan de eerste elementende rest van de rijen na de bewerkingen worden nul. Dit betekent dat het in de gecompileerde matrix voordelig is om de tweede rij in plaats van de eerste te plaatsen.
Vervolgens moet je de tweede en derde regel wijzigen zodat de eerste elementen nul worden. Om dit te doen, voegt u ze toe aan de eerste, vermenigvuldigd met een coëfficiënt:
tweede regel: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
derde regel: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Om niet in de war te raken, moet je een matrix schrijven met tussenresultaten van transformaties.
Het is duidelijk dat zo'n matrix leesbaarder kan worden gemaakt met behulp van enkele bewerkingen. U kunt bijvoorbeeld alle "minpunten" van de tweede regel verwijderen door elk element te vermenigvuldigen met "-1".
Het is ook vermeldenswaard dat in de derde regel alle elementen veelvouden van drie zijn. Dan kunt uknip de string door dit getal, vermenigvuldig elk element met "-1/3" (min - tegelijkertijd om negatieve waarden te verwijderen).
Ziet er veel mooier uit. Nu moeten we de eerste regel met rust laten en met de tweede en derde werken. De taak is om de tweede rij op te tellen bij de derde rij, vermenigvuldigd met een zodanige factor dat het element a32 nul wordt.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (indien tijdens sommige transformaties in het antwoord bleek geen geheel getal te zijn, het wordt aanbevolen om het "zoals het is", in de vorm van een gewone breuk te laten, en pas dan, wanneer de antwoorden zijn ontvangen, beslis dan of je wilt afronden en converteren naar een andere vorm van notatie)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
De matrix wordt opnieuw geschreven met nieuwe waarden.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Zoals je kunt zien, heeft de resulterende matrix al een getrapte vorm. Daarom zijn verdere transformaties van het systeem door de Gauss-methode niet vereist. Wat hier gedaan kan worden, is om de algemene coëfficiënt "-1/7" van de derde regel te verwijderen.
Nu iedereenleuk. Het punt is klein - schrijf de matrix opnieuw in de vorm van een stelsel vergelijkingen en bereken de wortels
x + 2j + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Het algoritme waarmee de wortels nu worden gevonden, wordt de omgekeerde beweging genoemd in de Gauss-methode. Vergelijking (3) bevat de waarde z:
z=61/9
Keer vervolgens terug naar de tweede vergelijking:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
En met de eerste vergelijking kun je x:
vinden
x=(12 - 4z - 2j)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
We hebben het recht om zo'n systeem gezamenlijk te noemen, en zelfs definitief, dat wil zeggen, een unieke oplossing hebben. Het antwoord is in de volgende vorm geschreven:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Voorbeeld van een onbepaald systeem
De variant van het oplossen van een bepaald systeem door de Gauss-methode is geanalyseerd, nu is het noodzakelijk om het geval te overwegen als het systeem onbepaald is, dat wil zeggen dat er oneindig veel oplossingen voor kunnen worden gevonden.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
De vorm van het systeem is al alarmerend, omdat het aantal onbekenden n=5 is en de rangorde van de systeemmatrix al precies minder is dan dit aantal, omdat het aantal rijen m=4, dat wil zeggen, de grootste orde van de vierkante determinant is 4. Dus,Er zijn oneindig veel oplossingen en we moeten zoeken naar de algemene vorm ervan. Met de Gauss-methode voor lineaire vergelijkingen kunt u dit doen.
Eerst wordt, zoals gewoonlijk, de augmented matrix gecompileerd.
Tweede regel: coëfficiënt k=(-a21/a11)=-3. In de derde regel bevindt het eerste element zich vóór de transformaties, dus u hoeft niets aan te raken, u moet het laten zoals het is. Vierde regel: k=(-a41/a11)=-5
Door de elementen van de eerste rij om de beurt te vermenigvuldigen met elk van hun coëfficiënten en ze op te tellen bij de vereiste rijen, krijgen we een matrix van de volgende vorm:
Zoals je kunt zien, bestaan de tweede, derde en vierde rij uit elementen die in verhouding staan tot elkaar. De tweede en vierde zijn over het algemeen hetzelfde, dus een van hen kan onmiddellijk worden verwijderd, en de rest vermenigvuldigd met de coëfficiënt "-1" en krijg regelnummer 3. En nogmaals, laat een van de twee identieke regels over.
Het resultaat is zo'n matrix. Het systeem is nog niet opgeschreven, het is hier nodig om de basisvariabelen te bepalen - staande op de coëfficiënten a11=1 en a22=1, en gratis - de rest.
Er is maar één basisvariabele in de tweede vergelijking - x2. Vandaar dat het van daaruit kan worden uitgedrukt, door de variabelen x3, x4, x5 te schrijven, die zijn gratis.
Vervang de resulterende uitdrukking in de eerste vergelijking.
Het bleek een vergelijking waarinde enige basisvariabele is x1. Laten we er hetzelfde mee doen als met x2.
Alle basisvariabelen, waarvan er twee, worden uitgedrukt in drie vrije variabelen, nu kun je het antwoord in algemene vorm schrijven.
U kunt ook een van de specifieke oplossingen van het systeem specificeren. Voor dergelijke gevallen worden in de regel nullen gekozen als waarden voor vrije variabelen. Dan is het antwoord:
-16, 23, 0, 0, 0.
Een voorbeeld van een inconsistent systeem
Oplossen van inconsistente stelsels van vergelijkingen met de Gauss-methode is de snelste. Het eindigt zodra in een van de fasen een vergelijking wordt verkregen die geen oplossing heeft. Dat wil zeggen, het stadium met de berekening van de wortels, die vrij lang en somber is, verdwijnt. Het volgende systeem wordt overwogen:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Zoals gewoonlijk is de matrix samengesteld:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
En teruggebracht tot een getrapte vorm:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Na de eerste transformatie bevat de derde regel een vergelijking van de vorm
0=7, geen oplossing. Daarom is het systeemis inconsistent en het antwoord is de lege verzameling.
Voor- en nadelen van de methode
Als je kiest met welke methode SLAE op papier moet worden opgelost met een pen, dan ziet de methode die in dit artikel is overwogen er het meest aantrekkelijk uit. Bij elementaire transformaties is het veel moeilijker om in de war te raken dan wanneer je handmatig moet zoeken naar de determinant of een lastige inverse matrix. Als u echter programma's gebruikt voor het werken met gegevens van dit type, bijvoorbeeld spreadsheets, blijken dergelijke programma's al algoritmen te bevatten voor het berekenen van de hoofdparameters van matrices - de determinant, minors, inverse en getransponeerde matrices, enzovoort. En als u zeker weet dat de machine deze waarden zelf berekent en geen fouten maakt, is het handiger om de matrixmethode of de formules van Cramer te gebruiken, omdat hun toepassing begint en eindigt met de berekening van determinanten en inverse matrices.
Toepassing
Omdat de Gauss-oplossing een algoritme is en de matrix in feite een tweedimensionale array is, kan deze worden gebruikt bij het programmeren. Maar aangezien het artikel zichzelf positioneert als een gids "voor dummies", moet worden gezegd dat spreadsheets, bijvoorbeeld Excel, de gemakkelijkste plaats zijn om de methode in te voeren. Nogmaals, elke SLAE die in een tabel in de vorm van een matrix wordt ingevoerd, wordt door Excel beschouwd als een tweedimensionale array. En voor bewerkingen ermee zijn er veel leuke commando's: optellen (je kunt alleen matrices van dezelfde grootte optellen!), Vermenigvuldigen met een getal, matrixvermenigvuldiging (ook metbepaalde beperkingen), het vinden van de inverse en getransponeerde matrices en, belangrijker nog, het berekenen van de determinant. Als deze tijdrovende taak wordt vervangen door een enkele opdracht, is het veel sneller om de rangorde van een matrix te bepalen en daardoor de compatibiliteit of inconsistentie vast te stellen.
