Een van de axioma's van de meetkunde stelt dat het door twee willekeurige punten mogelijk is om een enkele rechte lijn te trekken. Dit axioma getuigt dat er een unieke numerieke uitdrukking is die het gespecificeerde eendimensionale geometrische object op unieke wijze beschrijft. Beschouw in het artikel de vraag hoe je de vergelijking schrijft van een rechte lijn die door twee punten gaat.
Wat is een punt en een lijn?
Alvorens de kwestie te overwegen van het construeren in de ruimte en op het vlak van een rechte lijn van een vergelijking die door een paar verschillende punten gaat, moet men de gespecificeerde geometrische objecten definiëren.
Een punt wordt op unieke wijze bepaald door een reeks coördinaten in een bepaald systeem van coördinaatassen. Naast hen zijn er geen kenmerken meer voor het punt. Ze is een nuldimensionaal object.
Als we het over een rechte lijn hebben, stelt iedereen zich een lijn voor die op een wit vel papier is afgebeeld. Tegelijkertijd is het mogelijk om een exacte geometrische definitie te gevendit voorwerp. Een rechte lijn is zo'n verzameling punten waarvoor de verbinding van elk van hen met alle andere een reeks parallelle vectoren zal opleveren.
Deze definitie wordt gebruikt bij het instellen van de vectorvergelijking van een rechte lijn, die hieronder zal worden besproken.
Omdat elke lijn kan worden gemarkeerd met een segment van willekeurige lengte, wordt gezegd dat het een eendimensionaal geometrisch object is.
Nummer vector functie
Een vergelijking door twee punten van een passerende rechte lijn kan in verschillende vormen worden geschreven. In driedimensionale en tweedimensionale ruimten is de belangrijkste en intuïtief begrijpelijke numerieke uitdrukking een vector.
Veronderstel dat er een gericht segment u¯(a; b; c) is. In de 3D-ruimte kan de vector u op elk punt beginnen, dus zijn coördinaten definiëren een oneindig aantal parallelle vectoren. Als we echter een specifiek punt P(x0; y0; z0) kiezen en het als het begin van de vector u¯, en door deze vector te vermenigvuldigen met een willekeurig reëel getal λ, kan men alle punten van één rechte lijn in de ruimte verkrijgen. Dat wil zeggen, de vectorvergelijking wordt geschreven als:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Het is duidelijk dat voor het geval in het vliegtuig de numerieke functie de vorm heeft:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Het voordeel van dit type vergelijking in vergelijking met de andere (in segmenten, canoniek,algemene vorm) ligt in het feit dat het expliciet de coördinaten van de richtingsvector bevat. Dit laatste wordt vaak gebruikt om te bepalen of lijnen evenwijdig of loodrecht zijn.
Algemeen in segmenten en canonieke functie voor een rechte lijn in tweedimensionale ruimte
Bij het oplossen van problemen moet je soms de vergelijking schrijven van een rechte lijn die door twee punten gaat in een bepaalde, specifieke vorm. Daarom moeten andere manieren worden gegeven om dit geometrische object in een tweedimensionale ruimte te specificeren (voor de eenvoud beschouwen we het geval op het vlak).
Laten we beginnen met een algemene vergelijking. Het heeft de vorm:
Ax + By + C=0
In de regel wordt op het vlak de vergelijking van een rechte lijn in deze vorm geschreven, alleen y wordt expliciet gedefinieerd door x.
Transformeer nu de bovenstaande uitdrukking als volgt:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Deze uitdrukking wordt een vergelijking in segmenten genoemd, omdat de noemer voor elke variabele aangeeft hoe lang het lijnsegment afsnijdt op de corresponderende coördinaatassen ten opzichte van het startpunt (0; 0).
Het blijft om een voorbeeld te geven van de canonieke vergelijking. Om dit te doen, schrijven we de vectorgelijkheid expliciet:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Laten we de parameter λ hier uitdrukken en de resulterende gelijkheden gelijkstellen:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
De laatste gelijkheid wordt de vergelijking genoemd in canonieke of symmetrische vorm.
Elk van hen kan worden geconverteerd naar vector en vice versa.
De vergelijking van een rechte lijn die door twee punten gaat: een compilatietechniek
Terug naar de vraag van het artikel. Stel dat er twee punten in de ruimte zijn:
M(x1; y1; z1) en N(x 2; y2; z2)
De enige rechte lijn gaat erdoorheen, waarvan de vergelijking heel gemakkelijk in vectorvorm op te stellen is. Om dit te doen, berekenen we de coördinaten van het gerichte segment MN¯, we hebben:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Het is niet moeilijk te raden dat deze vector de gids zal zijn voor de rechte lijn, waarvan de vergelijking moet worden verkregen. Wetende dat het ook door M en N gaat, kun je de coördinaten van elk van hen gebruiken voor een vectoruitdrukking. Dan heeft de gewenste vergelijking de vorm:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Voor het geval in de tweedimensionale ruimte krijgen we een vergelijkbare gelijkheid zonder de deelname van de variabele z.
Zodra de vectorgelijkheid voor de regel is geschreven, kan deze worden vertaald in elke andere vorm die de vraag van het probleem vereist.
Taak:schrijf een algemene vergelijking
Het is bekend dat een rechte lijn door de punten met coördinaten (-1; 4) en (3; 2) gaat. Het is noodzakelijk om de vergelijking op te stellen van een rechte lijn die er doorheen gaat, in een algemene vorm, waarbij y wordt uitgedrukt in termen van x.
Om het probleem op te lossen, schrijven we de vergelijking eerst in vectorvorm. De vector (gids) coördinaten zijn:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Dan is de vectorvorm van de vergelijking van de rechte lijn de volgende:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Het blijft over om het in algemene vorm te schrijven in de vorm y(x). We herschrijven deze gelijkheid expliciet, drukken de parameter λ uit en sluiten deze uit van de vergelijking:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Van de resulterende canonieke vergelijking drukken we y uit en komen tot het antwoord op de vraag van het probleem:
y=-0,5x + 3,5
De geldigheid van deze gelijkheid kan worden gecontroleerd door de coördinaten van de punten in de probleemstelling te vervangen.
Probleem: een rechte lijn die door het midden van het segment gaat
Laten we nu een interessant probleem oplossen. Stel dat er twee punten M(2; 1) en N(5; 0) zijn gegeven. Het is bekend dat een rechte lijn door het middelpunt van het segment gaat dat de punten verbindt en er loodrecht op staat. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn die door het midden van het segment gaat in vectorvorm.
De gewenste numerieke uitdrukking kan worden gevormd door de coördinaat van dit middelpunt te berekenen en de richtingsvector te bepalen, diesegment maakt een hoek van 90o.
Het middelpunt van het segment is:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Laten we nu de coördinaten van de vector MN¯ berekenen:
MN¯=N - M=(3; -1)
Aangezien de richtingsvector voor de gewenste lijn loodrecht op MN¯ staat, is hun scalair product gelijk aan nul. Hiermee kun je de onbekende coördinaten (a; b) van de stuurvector berekenen:
a3 - b=0=>
b=3a
Schrijf nu de vectorvergelijking:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Hier hebben we het product aλ vervangen door een nieuwe parameter β.
We hebben dus de vergelijking gemaakt van een rechte lijn die door het midden van het segment gaat.
