Ongelijkheden en systemen van ongelijkheden is een van de onderwerpen die op de middelbare school algebra wordt onderwezen. Qua moeilijkheidsgraad is het niet de moeilijkste, omdat het eenvoudige regels heeft (over hen later). In de regel leren schoolkinderen vrij gemakkelijk de oplossing van systemen van ongelijkheden. Dit is ook te wijten aan het feit dat leraren hun studenten gewoon "opleiden" over dit onderwerp. En dat kunnen ze niet anders, omdat het in de toekomst wordt bestudeerd met behulp van andere wiskundige grootheden, en ook wordt gecontroleerd voor het OGE en het Unified State Examination. In schoolboeken wordt het onderwerp van ongelijkheden en systemen van ongelijkheden tot in detail behandeld, dus als je het gaat bestuderen, kun je er het beste gebruik van maken. Dit artikel is slechts een parafrase van veel materiaal en kan enkele weglatingen bevatten.
Het concept van een systeem van ongelijkheden
Als we ons wenden tot de wetenschappelijke taal, kunnen we het concept 'systeem' definiërenongelijkheden". Dit is zo'n wiskundig model dat verschillende ongelijkheden vertegenwoordigt. Natuurlijk vereist dit model een oplossing, en het zal het algemene antwoord zijn voor alle ongelijkheden van het systeem dat in de taak wordt voorgesteld (meestal is het zo geschreven, voor voorbeeld: "Los het systeem van ongelijkheden 4 x + 1 > 2 en 30 - x > 6… ").
Systeem van ongelijkheden en stelsels van vergelijkingen
Tijdens het leren van een nieuw onderwerp ontstaan er vaak misverstanden. Aan de ene kant is alles duidelijk en zou ik liever beginnen met het oplossen van taken, maar aan de andere kant blijven sommige momenten in de "schaduw", ze worden niet goed begrepen. Ook kunnen sommige elementen van reeds verworven kennis verweven worden met nieuwe. Door deze overlap ontstaan vaak fouten.
Daarom moeten we, voordat we verder gaan met de analyse van ons onderwerp, de verschillen tussen vergelijkingen en ongelijkheden, hun systemen, in herinnering brengen. Om dit te doen, is het nodig om nog eens duidelijk te maken wat deze wiskundige concepten zijn. Een vergelijking is altijd een gelijkheid en is altijd gelijk aan iets (in de wiskunde wordt dit woord aangeduid met het teken "="). Ongelijkheid is een model waarin de ene waarde groter of kleiner is dan de andere, of de bewering bevat dat ze niet hetzelfde zijn. In het eerste geval is het dus gepast om van gelijkheid te spreken, en in het tweede geval, hoe vanzelfsprekend het ook klinkt vanuit dede naam zelf, over de ongelijkheid van de initiële gegevens. De stelsels van vergelijkingen en ongelijkheden verschillen praktisch niet van elkaar en de methoden voor hun oplossing zijn hetzelfde. Het enige verschil is dat de eerste gelijkheden gebruikt, terwijl de laatste ongelijkheden gebruikt.
Soorten ongelijkheden
Er zijn twee soorten ongelijkheden: numeriek en met een onbekende variabele. Het eerste type biedt waarden (getallen) die niet gelijk aan elkaar zijn, bijvoorbeeld 8 > 10. Het tweede type is ongelijkheden die een onbekende variabele bevatten (aangegeven door een letter van het Latijnse alfabet, meestal X). Deze variabele moet worden gevonden. Afhankelijk van het aantal dat er zijn, maakt het wiskundige model onderscheid tussen ongelijkheden met één (ze vormen een systeem van ongelijkheden met één variabele) of meerdere variabelen (ze vormen een systeem van ongelijkheden met meerdere variabelen).
De laatste twee typen zijn, afhankelijk van de mate van constructie en de complexiteit van de oplossing, onderverdeeld in eenvoudig en complex. Eenvoudige ongelijkheden worden ook wel lineaire ongelijkheden genoemd. Ze zijn op hun beurt onderverdeeld in strikt en niet-streng. Strikt specifiek "zeg" dat één waarde ofwel minder of meer moet zijn, dus dit is pure ongelijkheid. Er zijn verschillende voorbeelden: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, enz. Niet-strikte omvatten ook gelijkheid. Dat wil zeggen, een waarde kan groter zijn dan of gelijk zijn aan een andere waarde (teken "≧") of kleiner dan of gelijk aan een andere waarde (teken "≦"). Nog steeds in de rijIn ongelijkheden staat de variabele niet aan de wortel, vierkant, is door niets deelbaar, daarom worden ze "eenvoudig" genoemd. Complexe variabelen bevatten onbekende variabelen, waarvan het vinden meer wiskundige bewerkingen vereist. Ze bevinden zich vaak in een vierkant, kubus of onder de wortel, ze kunnen modulair, logaritmisch, fractioneel, enz. zijn. Maar aangezien het onze taak is om de oplossing van systemen van ongelijkheden te begrijpen, zullen we het hebben over een systeem van lineaire ongelijkheden. Daarvoor moeten echter een paar woorden worden gezegd over hun eigenschappen.
Eigenschappen van ongelijkheden
De eigenschappen van ongelijkheden omvatten de volgende bepalingen:
- Het ongelijkheidsteken wordt omgekeerd als de bewerking om de volgorde van zijden te veranderen wordt toegepast (bijvoorbeeld als t1 ≦ t2, dan t 2 ≧ t1).
- Met beide delen van de ongelijkheid kun je hetzelfde getal bij jezelf optellen (bijvoorbeeld als t1 ≦ t2, dan t 1 + nummer ≦ t2 + nummer).
- Twee of meer ongelijkheden met het teken van dezelfde richting stellen u in staat hun linker- en rechtergedeelte toe te voegen (bijvoorbeeld als t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, dan t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Beide delen van de ongelijkheid laten zich vermenigvuldigen of delen door hetzelfde positieve getal (bijvoorbeeld als t1 ≦ t2en nummer ≦ 0, dan nummer t1 ≧ nummer t2).
- Twee of meer ongelijkheden met positieve termen en een teken in dezelfde richting maken het mogelijkelkaar vermenigvuldigen (bijvoorbeeld als t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 dan t1 t3 ≦ t2 t4).
- Beide delen van de ongelijkheid laten zich vermenigvuldigen of delen door hetzelfde negatieve getal, maar het ongelijkheidsteken verandert (bijvoorbeeld als t1 ≦ t2 en nummer ≦ 0, dan nummer t1 ≧ nummer t2).
- Alle ongelijkheden zijn transitief (bijvoorbeeld als t1 ≦ t2 en t2≦ t3, dan t1 ≦ t3).
Na bestudering van de belangrijkste bepalingen van de theorie met betrekking tot ongelijkheden, kunnen we direct overgaan tot de overweging van de regels voor het oplossen van hun systemen.
Oplossing van systemen van ongelijkheden. Algemene informatie. Oplossingen
Zoals hierboven vermeld, is de oplossing de waarden van de variabele die passen bij alle ongelijkheden van het gegeven systeem. De oplossing van systemen van ongelijkheden is de implementatie van wiskundige bewerkingen die uiteindelijk leiden tot de oplossing van het hele systeem of bewijzen dat het geen oplossingen heeft. In dit geval zou de variabele verwijzen naar de lege getallenreeks (als volgt geschreven: de letter die de variabele ∈ aangeeft (het teken "behoort") ø (het teken "lege verzameling"), bijvoorbeeld x ∈ ø (het wordt als volgt gelezen: "De variabele "x" hoort bij de lege verzameling") Er zijn verschillende manieren om ongelijkhedenstelsels op te lossen:grafische, algebraïsche, substitutiemethode. Het is vermeldenswaard dat ze verwijzen naar die wiskundige modellen met verschillende onbekende variabelen. In het geval dat er maar één is, is de afstandsmethode voldoende.
Grafische methode
Hiermee kun je een systeem van ongelijkheden oplossen met verschillende onbekenden (van twee of meer). Dankzij deze methode wordt het systeem van lineaire ongelijkheden vrij eenvoudig en snel opgelost, dus het is de meest gebruikelijke methode. Dit komt omdat plotten de hoeveelheid wiskundige bewerkingen vermindert. Het wordt vooral prettig om even een pauze te nemen van de pen, een potlood op te pakken met een liniaal en met hun hulp door te gaan met verdere acties als er veel werk is verzet en je een beetje afwisseling wilt. Sommigen houden echter niet van deze methode omdat je de taak moet onderbreken en je mentale activiteit moet overschakelen naar tekenen. Het is echter een zeer effectieve manier.
Om een systeem van ongelijkheden op te lossen met behulp van een grafische methode, is het nodig om alle leden van elke ongelijkheid naar hun linkerkant te verplaatsen. De tekens worden omgekeerd, nul moet aan de rechterkant worden geschreven en vervolgens moet elke ongelijkheid afzonderlijk worden geschreven. Als resultaat zullen functies worden verkregen uit ongelijkheden. Daarna kun je een potlood en een liniaal krijgen: nu moet je een grafiek tekenen van elke verkregen functie. De hele reeks getallen die in het interval van hun snijpunt zal zijn, zal de oplossing zijn voor het systeem van ongelijkheden.
Algebraïsche manier
Hiermee kun je een systeem van ongelijkheden oplossen met twee onbekende variabelen. Ongelijkheden moeten ook hetzelfde ongelijkheidsteken hebben (d.w.z. ze mogen alleen het teken "groter dan" bevatten, of alleen het teken "kleiner dan", enz.) Ondanks de beperkingen is deze methode ook ingewikkelder. Het wordt in twee stappen toegepast.
De eerste omvat het wegwerken van een van de onbekende variabelen. Eerst moet u het selecteren en vervolgens controleren of er getallen voor deze variabele staan. Als er geen zijn (dan ziet de variabele eruit als een enkele letter), dan veranderen we niets, als die er is (het type van de variabele is bijvoorbeeld 5y of 12y), dan is het noodzakelijk om ervoor te zorgen dat in elke ongelijkheid het getal voor de geselecteerde variabele hetzelfde is. Om dit te doen, moet je elk lid van de ongelijkheden vermenigvuldigen met een gemeenschappelijke factor, bijvoorbeeld als 3y is geschreven in de eerste ongelijkheid en 5y in de tweede, dan moet je alle leden van de eerste ongelijkheid vermenigvuldigen met 5, en de tweede met 3. Je krijgt respectievelijk 15 jaar en 15 jaar.
De tweede fase van de beslissing. Het is noodzakelijk om de linkerkant van elke ongelijkheid naar hun rechterkant over te brengen met een verandering in het teken van elke term naar het tegenovergestelde, schrijf nul aan de rechterkant. Dan komt het leuke gedeelte: het wegwerken van de gekozen variabele (ook bekend als "reductie") terwijl de ongelijkheden worden opgeteld. Je krijgt een ongelijkheid met één variabele die moet worden opgelost. Daarna zou u hetzelfde moeten doen, alleen met een andere onbekende variabele. De verkregen resultaten zullen de oplossing van het systeem zijn.
Vervangingsmethode
Hiermee kun je een systeem van ongelijkheden oplossen als je de mogelijkheid hebt om een nieuwe variabele te introduceren. Meestal wordt deze methode gebruikt wanneer de onbekende variabele in de ene term van de ongelijkheid wordt verheven tot de vierde macht en in de andere term wordt gekwadrateerd. Deze methode is dus gericht op het verminderen van de mate van ongelijkheden in het systeem. De steekproefongelijkheid x4 - x2 - 1 ≦ 0 wordt op deze manier als volgt opgelost. Er wordt een nieuwe variabele geïntroduceerd, bijvoorbeeld t. Ze schrijven: "Let t=x2", dan wordt het model herschreven in een nieuwe vorm. In ons geval krijgen we t2 - t - 1 ≦0. Deze ongelijkheid moet worden opgelost met de intervalmethode (wat later), ga dan terug naar de variabele X en doe hetzelfde met een andere ongelijkheid. De ontvangen antwoorden zijn de beslissing van het systeem.
Intervalmethode
Dit is de gemakkelijkste manier om systemen van ongelijkheden op te lossen, en tegelijkertijd is het universeel en wijdverbreid. Het wordt gebruikt op de middelbare school, en zelfs op de middelbare school. De essentie ervan ligt in het feit dat de student op zoek is naar intervallen van ongelijkheid op de getallenlijn, die is getekend in een notitieboekje (dit is geen grafiek, maar gewoon een gewone rechte lijn met getallen). Waar de intervallen van ongelijkheden elkaar kruisen, wordt de oplossing van het systeem gevonden. Volg deze stappen om de afstandsmethode te gebruiken:
- Alle leden van elke ongelijkheid worden verplaatst naar de linkerkant met een verandering van teken naar het tegenovergestelde (nul staat aan de rechterkant).
- Ongelijkheden worden afzonderlijk uitgeschreven, de oplossing van elk ervan wordt bepaald.
- De snijpunten van ongelijkheden op de numeriekeRechtdoor. Alle nummers op deze kruispunten zijn de oplossing.
Welke manier te gebruiken?
Natuurlijk degene die het gemakkelijkst en handigst lijkt, maar er zijn momenten waarop taken een bepaalde methode vereisen. Meestal zeggen ze dat je het moet oplossen met behulp van een grafiek of met behulp van de intervalmethode. De algebraïsche methode en substitutie worden uiterst zelden of helemaal niet gebruikt, omdat ze behoorlijk complex en verwarrend zijn, en bovendien worden ze meer gebruikt voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen dan voor ongelijkheden, dus je moet je toevlucht nemen tot het tekenen van grafieken en intervallen. Ze brengen zichtbaarheid, die niet anders kan dan bijdragen aan het efficiënt en snel uitvoeren van wiskundige bewerkingen.
Als iets niet werkt
Tijdens de studie van een bepaald onderwerp in de algebra kunnen er natuurlijk problemen zijn met het begrip ervan. En dat is normaal, want ons brein is zo ontworpen dat het niet in staat is om complexe materie in één keer te begrijpen. Vaak moet je een alinea opnieuw lezen, de hulp inroepen van een leraar of oefenen met het oplossen van typische problemen. In ons geval zien ze er bijvoorbeeld zo uit: "Los het stelsel van ongelijkheden 3 x + 1 ≧ 0 en 2 x - 1 > 3 op". Dus persoonlijk streven, hulp van buitenstaanders en oefening helpen bij het begrijpen van elk complex onderwerp.
Reshebnik?
En het oplossingenboek is ook erg goed, maar niet voor het spieken van huiswerk, maar voor zelfhulp. Daarin vind je systemen van ongelijkheden met een oplossing, kijk naarze (zoals sjablonen), probeer precies te begrijpen hoe de auteur van de oplossing met de taak omging en probeer het vervolgens alleen te doen.
Conclusies
Algebra is een van de moeilijkste vakken op school. Nou, wat kun je doen? Wiskunde is altijd zo geweest: voor sommigen gaat het gemakkelijk, voor anderen is het moeilijk. Maar er moet in ieder geval aan worden herinnerd dat het algemene onderwijsprogramma zo is ontworpen dat elke student ermee om kan gaan. Bovendien moet u rekening houden met een groot aantal assistenten. Sommigen van hen zijn hierboven genoemd.
