Waarschijnlijk is het concept van een afgeleide bij ieder van ons sinds school bekend. Meestal hebben studenten moeite om dit, ongetwijfeld zeer belangrijke, te begrijpen. Het wordt actief gebruikt in verschillende gebieden van het leven van mensen, en veel technische ontwikkelingen waren precies gebaseerd op wiskundige berekeningen die werden verkregen met behulp van de afgeleide. Maar voordat we verder gaan met de analyse van wat afgeleiden van getallen zijn, hoe ze te berekenen en waar ze nuttig voor ons zijn, laten we ons in de geschiedenis storten.
Geschiedenis
Het concept van de afgeleide, dat de basis vormt van wiskundige analyse, werd ontdekt (het zou beter zijn om te zeggen "uitgevonden", omdat het als zodanig niet in de natuur bestond) door Isaac Newton, die we allemaal kennen van de ontdekking van de wet van de universele zwaartekracht. Hij was het die dit concept voor het eerst in de natuurkunde toepaste om de aard van de snelheid en versnelling van lichamen te koppelen. En veel wetenschappers prijzen Newton nog steeds voor deze geweldige uitvinding, omdat hij in feite de basis van differentiaal- en integraalrekening uitvond, in feite de basis van een heel gebied van wiskunde dat "calculus" wordt genoemd. Als Newton op dat moment de Nobelprijs had gekregen, zou deze met grote waarschijnlijkheid meerdere keren hebben ontvangen.
Niet zonder andere knappe koppen. Behalve Newtonzulke eminente wiskundige genieën als Leonhard Euler, Louis Lagrange en Gottfried Leibniz werkten aan de ontwikkeling van de afgeleide en integraal. Het is dankzij hen dat we de theorie van differentiaalrekening hebben ontvangen in de vorm waarin deze tot op de dag van vandaag bestaat. Trouwens, het was Leibniz die de geometrische betekenis van de afgeleide ontdekte, die niets meer bleek te zijn dan de raaklijn van de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie.
Wat zijn afgeleiden van getallen? Laten we herhalen wat we op school hebben meegemaakt.
Wat is een afgeleide?
Dit concept kan op verschillende manieren worden gedefinieerd. De eenvoudigste verklaring is dat de afgeleide de veranderingssnelheid van de functie is. Stel je een grafiek voor van een functie y van x. Als het niet recht is, heeft het enkele curven in de grafiek, perioden van toename en afname. Als we een oneindig klein interval van deze grafiek nemen, zal het een recht lijnsegment zijn. Dus de verhouding van de grootte van dit oneindig kleine segment langs de y-coördinaat tot de grootte langs de x-coördinaat zal de afgeleide zijn van deze functie op een bepaald punt. Als we de functie als een geheel beschouwen, en niet op een specifiek punt, dan krijgen we een afgeleide functie, dat wil zeggen, een bepaalde afhankelijkheid van y van x.
Bovendien is er naast de fysieke betekenis van de afgeleide als de veranderingssnelheid van een functie, ook een geometrische betekenis. We zullen nu over hem praten.
Geometrische zin
De afgeleiden van getallen zelf vertegenwoordigen een bepaald getal, dat, zonder goed begrip, niet draagtgeen punt. Het blijkt dat de afgeleide niet alleen de groei- of afnamesnelheid van de functie laat zien, maar ook de raaklijn van de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op een bepaald punt. Niet echt een duidelijke definitie. Laten we het in meer detail analyseren. Laten we zeggen dat we een grafiek van een functie hebben (laten we voor de interesse een curve nemen). Het heeft een oneindig aantal punten, maar er zijn gebieden waar slechts één enkel punt een maximum of minimum heeft. Door zo'n punt is het mogelijk om een lijn te trekken die loodrecht staat op de grafiek van de functie op dat punt. Zo'n lijn wordt een raaklijn genoemd. Laten we zeggen dat we het hebben uitgegeven aan de kruising met de OX-as. Dus de hoek die wordt verkregen tussen de raaklijn en de OX-as wordt bepaald door de afgeleide. Om precies te zijn, de tangens van deze hoek zal er gelijk aan zijn.
Laten we het even hebben over speciale gevallen en afgeleiden van getallen analyseren.
Speciale gevallen
Zoals we al hebben gezegd, zijn afgeleiden van getallen de waarden van de afgeleide op een bepaald punt. Laten we bijvoorbeeld de functie y=x2 nemen. De afgeleide x is een getal, en in het algemeen een functie gelijk aan 2x. Als we de afgeleide moeten berekenen, laten we zeggen, op het punt x0=1, dan krijgen we y'(1)=21=2. Alles is heel eenvoudig. Een interessant geval is de afgeleide van een complex getal. We zullen niet ingaan op een gedetailleerde uitleg van wat een complex getal is. Laten we zeggen dat dit een getal is dat de zogenaamde denkbeeldige eenheid bevat - een getal waarvan het kwadraat -1 is. De berekening van een dergelijke afgeleide is alleen mogelijk als het volgende:voorwaarden:
1) Er moeten eerste-orde partiële afgeleiden zijn van de reële en imaginaire delen met betrekking tot Y en X.
2) Er is voldaan aan de Cauchy-Riemann-voorwaarden die samenhangen met de gelijkheid van partiële afgeleiden zoals beschreven in de eerste paragraaf.
Een ander interessant geval, hoewel niet zo ingewikkeld als het vorige, is de afgeleide van een negatief getal. In feite kan elk negatief getal worden weergegeven als een positief getal vermenigvuldigd met -1. Welnu, de afgeleide van de constante en de functie is gelijk aan de constante vermenigvuldigd met de afgeleide van de functie.
Het zal interessant zijn om meer te weten te komen over de rol van de afgeleide in het dagelijks leven, en dit is wat we nu zullen bespreken.
Toepassing
Waarschijnlijk betrapt ieder van ons zich er minstens één keer in zijn leven op dat hij denkt dat wiskunde waarschijnlijk niet nuttig voor hem is. En zoiets ingewikkelds als een afgeleide heeft waarschijnlijk helemaal geen toepassing. In feite is wiskunde een fundamentele wetenschap, en al haar vruchten worden voornamelijk ontwikkeld door natuurkunde, scheikunde, astronomie en zelfs economie. De afgeleide was het begin van wiskundige analyse, die ons de mogelijkheid gaf om conclusies te trekken uit de grafieken van functies, en we leerden de natuurwetten te interpreteren en ze dankzij deze in ons voordeel te gebruiken.
Conclusie
Natuurlijk heeft niet iedereen in het echte leven een afgeleide nodig. Maar wiskunde ontwikkelt logica, wat zeker nodig zal zijn. Niet voor niets wordt wiskunde de koningin der wetenschappen genoemd: het vormt de basis voor het begrijpen van andere kennisgebieden.
