We hebben allemaal rekenkundige vierkantswortels bestudeerd in de algebrales op school. Het komt voor dat als kennis niet wordt opgefrist, deze snel wordt vergeten, hetzelfde geldt voor de wortels. Dit artikel is nuttig voor achtste klassers die hun kennis op dit gebied willen opfrissen, en andere schoolkinderen, omdat we werken met wortels in de klassen 9, 10 en 11.
Geschiedenis van wortel en graad
Zelfs in de oudheid, en met name in het oude Egypte, hadden mensen diploma's nodig om bewerkingen op getallen uit te voeren. Toen zo'n concept niet bestond, schreven de Egyptenaren het product van hetzelfde getal twintig keer op. Maar al snel werd een oplossing voor het probleem uitgevonden - het aantal keren dat het getal met zichzelf moet worden vermenigvuldigd, begon in de rechterbovenhoek erboven te worden geschreven, en deze vorm van opname is tot op de dag van vandaag bewaard gebleven.
En de geschiedenis van de vierkantswortel begon ongeveer 500 jaar geleden. Het werd op verschillende manieren aangeduid, en pas in de zeventiende eeuw introduceerde René Descartes zo'n teken, dat we tot op de dag van vandaag gebruiken.
Wat is een vierkantswortel
Laten we beginnen met uit te leggen wat een vierkantswortel is. De vierkantswortel van een getal c is een niet-negatief getal dat, wanneer het gekwadrateerd is, gelijk zal zijn aan c. In dit geval is c groter dan of gelijk aan nul.
Om een getal onder de wortel te brengen, kwadrateren we het en plaatsen het wortelteken erover:
32=9, 3=√9
We kunnen ook de waarde van de vierkantswortel van een negatief getal niet krijgen, aangezien elk getal in een vierkant positief is, dat wil zeggen:
c2 ≧ 0, als √c een negatief getal is, dan is c2 < 0 - in strijd met de regel.
Om snel vierkantswortels te berekenen, moet je de tabel met kwadraten van getallen kennen.
Eigenschappen
Laten we eens kijken naar de algebraïsche eigenschappen van de vierkantswortel.
1) Om de vierkantswortel van het product te extraheren, moet je de wortel van elke factor nemen. Dat wil zeggen, het kan worden geschreven als het product van de wortels van factoren:
√ac=√a × √c, bijvoorbeeld:
√36=√4 × √9
2) Bij het extraheren van een wortel uit een breuk, is het noodzakelijk om de wortel apart van de teller en noemer te extraheren, dat wil zeggen, schrijf het als een quotiënt van hun wortels.
3) De waarde die wordt verkregen door de vierkantswortel van een getal te nemen is altijd gelijk aan de modulus van dit getal, aangezien de modulus alleen positief kan zijn:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Om een wortel naar een macht te verheffen, verheffen we ernaarradicale uitdrukking:
(√с)4=√с4, bijvoorbeeld:
(√2)6 =√26=√64=8
5) Het kwadraat van de rekenkundige wortel van c is gelijk aan dit getal zelf:
(√s)2=s.
Wortels van irrationele getallen
Laten we zeggen dat de wortel van zestien gemakkelijk is, maar hoe neem je de wortel van getallen zoals 7, 10, 11?
Een getal waarvan de wortel een oneindige niet-periodieke breuk is, wordt irrationeel genoemd. We kunnen er niet alleen de wortel uit halen. We kunnen het alleen vergelijken met andere cijfers. Neem bijvoorbeeld de wortel van 5 en vergelijk deze met √4 en √9. Het is duidelijk dat √4 < √5 < √9, dan 2 < √5 < 3. Dit betekent dat de waarde van de wortel van vijf ergens tussen twee en drie ligt, maar er zijn veel decimale breuken tussen, en het kiezen van elk is een twijfelachtige manier om de wortel te vinden.
Je kunt deze bewerking op een rekenmachine uitvoeren - dit is de gemakkelijkste en snelste manier, maar in groep 8 hoef je nooit irrationele getallen uit de rekenkundige vierkantswortel te halen. U hoeft alleen de geschatte waarden van de wortel van twee en de wortel van drie te onthouden:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Voorbeelden
Nu, op basis van de eigenschappen van de vierkantswortel, zullen we verschillende voorbeelden oplossen:
1) √172 - 82
Denk aan de formule voor het verschil van vierkanten:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
We kennen de eigenschap van de vierkantswortel - om de wortel uit het product te halen, moet je deze uit elke factor halen:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Voeg een andere eigenschap van de wortel toe - het kwadraat van de rekenkundige wortel van een getal is gelijk aan dit getal zelf:
2 × 3 + 6=12
Belangrijk! Vaak maken leerlingen de volgende fout wanneer ze beginnen te werken en voorbeelden op te lossen met rekenkundige vierkantswortels:
√12 + 3=√12 + √3 - dat kan niet!
We kunnen niet de wortel van elke term nemen. Een dergelijke regel bestaat niet, maar het wordt verward met het nemen van de wortel van elke factor. Als we deze invoer hadden:
√12 × 3, dan zou het eerlijk zijn om √12 × 3=√12 × √3. te schrijven
En dus kunnen we alleen schrijven:
√12 + 3=√15
