Het onderwerp "rekenkundige progressie" wordt bestudeerd in de algemene cursus van algebra op scholen in de 9e klas. Dit onderwerp is belangrijk voor verdere verdieping van de wiskunde van getallenreeksen. In dit artikel maken we kennis met de rekenkundige progressie, het verschil en de typische taken waarmee schoolkinderen te maken kunnen krijgen.
Het concept van algebraïsche progressie
Numerieke progressie is een reeks getallen waarin elk volgend element kan worden verkregen uit het vorige, als een of andere wiskundige wet wordt toegepast. Er zijn twee eenvoudige soorten progressie: meetkundig en rekenkundig, ook wel algebraïsch genoemd. Laten we er dieper op ingaan.
Laten we ons een rationaal getal voorstellen, dit aangeven met het symbool a1, waarbij de index het rangtelwoord in de betreffende reeks aangeeft. Laten we een ander getal toevoegen aan a1 , laten we het d noemen. dan de tweedeeen element van een reeks kan als volgt worden weergegeven: a2=a1+d. Voeg nu d opnieuw toe, we krijgen: a3=a2+d. Als u deze wiskundige bewerking voortzet, kunt u een hele reeks getallen krijgen, die een rekenkundige reeks zullen worden genoemd.
Zoals uit het bovenstaande blijkt, moet je om het n-de element van deze rij te vinden de formule gebruiken: a =a1+ (n -1)d. Inderdaad, als we n=1 in de uitdrukking substitueren, krijgen we a1=a1, als n=2, dan houdt de formule in: a2=a1 + 1d, enzovoort.
Als het verschil van een rekenkundige reeks bijvoorbeeld 5 is, en a1=1, dan betekent dit dat de getallenreeks van het betreffende type er als volgt uitziet: 1, 6, 11, 16, 21, … Zoals je kunt zien, is elk van de termen groter dan de vorige met 5.
Formules voor het verschil in rekenkundige progressie
Uit de bovenstaande definitie van de beschouwde reeks getallen volgt dat je twee getallen moet kennen om deze te bepalen: a1 en d. Dit laatste wordt het verschil van deze progressie genoemd. Het bepa alt op unieke wijze het gedrag van de hele serie. Inderdaad, als d positief is, dan zal de getallenreeks constant toenemen, integendeel, in het geval van negatieve d, zullen de getallen in de reeks alleen modulo toenemen, terwijl hun absolute waarde zal afnemen met toenemend getal n.
Wat is het verschil van de rekenkundige progressie? Overweeg de twee hoofdformules die worden gebruikt om deze waarde te berekenen:
- d=an+1-a , deze formule volgt direct uit de definitie van de betreffende getallenreeks.
- d=(-a1+a)/(n-1), deze uitdrukking wordt verkregen door d uit te drukken uit de gegeven formule in de vorige alinea van het artikel. Merk op dat deze uitdrukking onbepaald wordt (0/0) als n=1. Dit is te wijten aan het feit dat het noodzakelijk is om ten minste 2 elementen van de reeks te kennen om het verschil te bepalen.
Deze twee basisformules worden gebruikt om elk probleem op te lossen om het progressieverschil te vinden. Er is echter nog een andere formule die u ook moet kennen.
Som van de eerste elementen
De formule die kan worden gebruikt om de som van een willekeurig aantal leden van een algebraïsche reeks te bepalen, volgens historisch bewijs, werd voor het eerst verkregen door de 'prins' van de wiskunde van de 18e eeuw, Carl Gauss. Een Duitse wetenschapper, terwijl hij nog een jongen in de lagere klassen van een dorpsschool was, merkte op dat om natuurlijke getallen in de reeks van 1 tot 100 op te tellen, je eerst het eerste element en het laatste moet optellen (de resulterende waarde zal gelijk zijn aan tot de som van de voorlaatste en tweede, voorlaatste en derde elementen, enzovoort), en dan moet dit aantal worden vermenigvuldigd met het aantal van deze bedragen, dat wil zeggen met 50.
De formule die het vermelde resultaat van een bepaald voorbeeld weergeeft, kan worden gegeneraliseerd naar een willekeurig geval. Het ziet er als volgt uit: S =n/2(a +a1). Merk op dat om de gespecificeerde waarde te vinden, kennis van het verschil d niet vereist is,als twee termen van de progressie bekend zijn (a en a1).
Voorbeeld 1. Bepaal het verschil, kennende de twee termen van de reeksen a1 en an
Laten we laten zien hoe de formules die hierboven in het artikel worden genoemd, kunnen worden toegepast. Laten we een eenvoudig voorbeeld geven: het verschil van de rekenkundige progressie is onbekend, het is noodzakelijk om te bepalen waaraan het gelijk zal zijn als a13=-5, 6 en a1 =-12, 1.
Omdat we de waarden kennen van twee elementen van de numerieke reeks, en een daarvan is het eerste getal, kunnen we formule nr. 2 gebruiken om het verschil d te bepalen. We hebben: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. In de uitdrukking hebben we de waarde n=13 gebruikt, aangezien het lid met dit volgnummer bekend.
Het resulterende verschil geeft aan dat de progressie toeneemt, ondanks het feit dat de elementen in de conditie van het probleem een negatieve waarde hebben. Het is te zien dat a13>a1, hoewel |a13|<|a 1 |.
Voorbeeld 2. Positieve leden van de progressie in voorbeeld 1
Laten we het resultaat uit het vorige voorbeeld gebruiken om een nieuw probleem op te lossen. Het is als volgt geformuleerd: vanaf welk volgnummer beginnen de elementen van de progressie in voorbeeld 1 positieve waarden aan te nemen?
Zoals getoond, de progressie waarin a1=-12, 1 en d=0. 54167 neemt toe, dus vanaf een bepaald getal beginnen de getallen alleen maar positief te worden waarden. Om dit getal n te bepalen, moet men een eenvoudige ongelijkheid oplossen, namelijkwiskundig als volgt geschreven: a >0 of, met behulp van de juiste formule, herschrijven we de ongelijkheid: a1 + (n-1)d>0. Het is noodzakelijk om de onbekende n te vinden, laten we het uitdrukken: n>-1a1/d + 1. Nu blijft het om de bekende waarden van het verschil en het eerste lid te vervangen van de volgorde. We krijgen: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 of n>23, 338. Aangezien n alleen gehele waarden kan aannemen, volgt uit de resulterende ongelijkheid dat alle leden van de reeks die een getal groter dan 23 hebben, is positief.
Controleer je antwoord door de bovenstaande formule te gebruiken om de 23e en 24e elementen van deze rekenkundige reeks te berekenen. We hebben: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negatief getal); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (positieve waarde). Het verkregen resultaat is dus correct: vanaf n=24 zullen alle leden van de getallenreeks groter zijn dan nul.
Voorbeeld 3. Hoeveel logs passen erin?
Laten we een merkwaardig probleem geven: tijdens het kappen is ervoor gekozen om gezaagde stammen op elkaar te stapelen, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding. Hoeveel logs kunnen op deze manier worden gestapeld, wetende dat er in totaal 10 rijen passen?
Op deze manier van logs stapelen, kun je één interessant ding opmerken: elke volgende rij zal één log minder bevatten dan de vorige, dat wil zeggen, er is een algebraïsche progressie, waarvan het verschil d=1 is. Ervan uitgaande dat het aantal logboeken in elke rij deel uitmaakt van deze progressie,en ook gezien het feit dat a1=1 (er past slechts één log helemaal bovenaan), vinden we het nummer a10. We hebben: a10=1 + 1(10-1)=10. Dat wil zeggen, in de 10e rij, die op de grond ligt, zullen er 10 boomstammen zijn.
De totale hoeveelheid van deze "piramidale" constructie kan worden verkregen met behulp van de Gauss-formule. We krijgen: S10=10/2(10+1)=55 logs.
