Symbolische logica is een tak van wetenschap die de juiste vormen van redeneren bestudeert. Het speelt een fundamentele rol in de filosofie, wiskunde en informatica. Net als filosofie en wiskunde heeft logica oude wortels. De vroegste verhandelingen over de aard van correct redeneren zijn meer dan 2000 jaar geleden geschreven. Enkele van de beroemdste filosofen van het oude Griekenland schreven meer dan 2300 jaar geleden over de aard van retentie. Oude Chinese denkers schreven rond dezelfde tijd over logische paradoxen. Hoewel de wortels ver teruggaan, is logica nog steeds een levendig vakgebied.
Wiskundige symbolische logica
Je moet ook kunnen begrijpen en redeneren, daarom werd speciale aandacht besteed aan logische conclusies toen er geen speciale apparatuur was voor het analyseren en diagnosticeren van verschillende levensgebieden. De moderne symbolische logica is ontstaan uit het werk van Aristoteles (384-322 v. Chr.), de grote Griekse filosoof en een van de meest invloedrijke denkers aller tijden. Verdere successen waren:door de Griekse stoïcijnse filosoof Chrysippus, die de fundamenten ontwikkelde van wat we nu propositielogica noemen.
Wiskundige of symbolische logica kreeg pas in de 19e eeuw een actieve ontwikkeling. De werken van Boole, de Morgan, Schroeder verschenen, waarin wetenschappers de leringen van Aristoteles algebraden en zo de basis vormden voor de propositierekening. Dit werd gevolgd door het werk van Frege en Preece, waarin de concepten van variabelen en kwantoren werden geïntroduceerd, die in de logica werden toegepast. Zo werd de berekening van predikaten gevormd - uitspraken over het onderwerp.
Logica impliceerde bewijs van onbetwistbare feiten terwijl er geen directe bevestiging van de waarheid was. Logische uitdrukkingen moesten de gesprekspartner van de waarheid overtuigen.
Logische formules zijn gebaseerd op het principe van wiskundig bewijs. Dus overtuigden ze de gesprekspartners van nauwkeurigheid en betrouwbaarheid.
Alle vormen van argumenten waren echter in woorden geschreven. Er waren geen formele mechanismen die een logische deductierekening zouden creëren. Mensen begonnen te twijfelen of de wetenschapper zich achter wiskundige berekeningen verschuilde, en de absurditeit van zijn gissingen achter zich verborg, omdat iedereen zijn argumenten in een ander voordeel kan presenteren.
Geboorte van betekenis: solide logica in de wiskunde als bewijs van waarheid
Tegen het einde van de 18e eeuw ontstond wiskundige of symbolische logica als een wetenschap, waarbij de juistheid van conclusies werd bestudeerd. Ze moesten een logisch einde en een verband hebben. Maar hoe was het om te bewijzen?of de onderzoeksgegevens rechtvaardigen?
De grote Duitse filosoof en wiskundige Gottfried Leibniz was een van de eersten die de noodzaak realiseerde om logische argumenten te formaliseren. Het was de droom van Leibniz: een universele formele wetenschapstaal creëren die alle filosofische geschillen tot een eenvoudige berekening zou herleiden, en de redenering in dergelijke discussies in deze taal zou herwerken. Wiskundige of symbolische logica verscheen in de vorm van formules die taken en oplossingen in filosofische vragen vergemakkelijkten. Ja, en dit wetenschapsgebied werd belangrijker, want toen werd het zinloze filosofische gebabbel de bodem waarop de wiskunde zelf vertrouwt!
In onze tijd is traditionele logica symbolisch Aristotelisch, wat eenvoudig en pretentieloos is. In de 19e eeuw werd de wetenschap geconfronteerd met de paradox van verzamelingen, die aanleiding gaf tot inconsistenties in die zeer beroemde oplossingen van Aristoteles' logische reeksen. Dit probleem moest worden opgelost, want in de wetenschap kunnen er zelfs geen oppervlakkige fouten zijn.
Lewis Carroll-formaliteit - symbolische logica en zijn transformatiestappen
Formele logica is nu een onderwerp dat in de cursus is opgenomen. Het dankt zijn uiterlijk echter aan de symbolische, degene die oorspronkelijk is gemaakt. Symbolische logica is een methode om logische uitdrukkingen weer te geven met behulp van symbolen en variabelen in plaats van gewone taal. Dit elimineert de dubbelzinnigheid die gepaard gaat met veelvoorkomende talen zoals Russisch en maakt dingen gemakkelijker.
Er zijn veel systemen van symbolische logica, zoals:
- Klassiek propositie.
- Eerste bestelling logica.
- Modaal.
Symbolische logica zoals begrepen door Lewis Carroll zou de ware en valse verklaringen in de gestelde vraag moeten aangeven. Elk kan afzonderlijke tekens hebben of het gebruik van bepaalde tekens uitsluiten. Hier zijn enkele voorbeelden van uitspraken die de logische keten van conclusies sluiten:
- Alle mensen die identiek zijn aan mij zijn wezens die bestaan.
- Alle helden die identiek zijn aan Batman zijn wezens die bestaan.
- Dus (aangezien Batman en ik nooit op dezelfde plek zijn gezien), zijn alle mensen die identiek zijn aan mij, helden die identiek zijn aan Batman.
Dit is geen geldig syllogisme, maar het heeft dezelfde structuur als de volgende:
- Alle honden zijn zoogdieren.
- Alle katten zijn zoogdieren.
- Daarom zijn alle honden katten.
Het zou duidelijk moeten zijn dat de bovenstaande symbolische vorm in logica niet geldig is. In de logica wordt rechtvaardigheid echter gedefinieerd door deze uitdrukking: als de premisse waar zou zijn, dan zou de conclusie waar zijn. Dit is duidelijk niet waar. Hetzelfde geldt voor het voorbeeld van de held, die dezelfde vorm heeft. Geldigheid is alleen van toepassing op deductieve argumenten die bedoeld zijn om hun conclusie met zekerheid te bewijzen, aangezien een deductief argument niet geldig kan zijn. Deze "correcties" worden ook toegepast in statistieken wanneer er een gegevensfout is, en moderne symbolische logica alsde formaliteit van vereenvoudigde gegevens helpt bij veel van deze zaken.
Inductie in moderne logica
Een inductief argument is alleen bedoeld om zijn conclusie met grote waarschijnlijkheid of weerlegging aan te tonen. Inductieve argumenten zijn sterk of zwak.
Als een inductief argument is het voorbeeld van de superheld Batman gewoon zwak. Het is twijfelachtig dat Batman bestaat, dus een van de uitspraken is al met grote waarschijnlijkheid fout. Hoewel je hem nog nooit op dezelfde plek hebt gezien als iemand anders, is het belachelijk om deze uitdrukking als bewijs te gebruiken. Om de essentie van logica te begrijpen, stel je het volgende voor:
- Je bent nog nooit op dezelfde plek gezien als de inwoner van Guinee.
- Het is onwaarschijnlijk dat jij en de Guinese persoon dezelfde persoon zijn.
- Stel je nu eens voor dat jij en een Afrikaan elkaar nog nooit op dezelfde plek hebben ontmoet. Het is niet aannemelijk dat u en een Afrikaan dezelfde persoon zijn. Maar de Guineese en de Afrikaanse kruisten elkaars paden, dus je kunt niet allebei tegelijk zijn. Het bewijs dat u Afrikaans of Guinees bent, is aanzienlijk gedaald.
Vanuit dit oogpunt impliceert het idee van symbolische logica geen a priori relatie met wiskunde. Het enige dat nodig is om logica als een symbool te herkennen, is het uitgebreide gebruik van symbolen om logische bewerkingen weer te geven.
Carrolls logische theorie: verstrengeling of minimalisme in wiskundige filosofie
Carroll heeft een aantal ongebruikelijke manieren geleerddie hem dwong om nogal moeilijke problemen van zijn collega's op te lossen. Dit weerhield hem ervan aanzienlijke vooruitgang te boeken vanwege de complexiteit van de logische notatie en systemen die hij als resultaat van zijn werk ontving. De bestaansreden van Carrolls symbolische logica is het probleem van de eliminatie. Hoe vind je de conclusie die moet worden getrokken uit een reeks premissen met betrekking tot de relatie tussen bepaalde termen? Het elimineren van "middelste termen".
Om dit centrale probleem van de logica in het midden van de negentiende eeuw op te lossen, werden symbolische, schematische en zelfs mechanische apparaten uitgevonden. De methoden van Carroll voor het verwerken van dergelijke "logische reeksen" (zoals hij ze noemde) gaven echter niet altijd de juiste oplossing. Later publiceerde de filosoof twee artikelen over hypothesen, die worden weerspiegeld in het tijdschrift Mind: The Logical Paradox (1894) en What the Tortoise Said to Achilles (1895).
Deze artikelen werden veel besproken door logici van de negentiende en twintigste eeuw (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine, enz.). Het eerste artikel wordt vaak aangehaald als een goede illustratie van materiële implicatieparadoxen, terwijl het tweede leidt tot wat bekend staat als de gevolgtrekkingsparadox.
Eenvoud van symbolen in logica
De symbolische taal van de logica is een vervanging voor lange dubbelzinnige zinnen. Handig, want in het Russisch kun je hetzelfde zeggen over verschillende omstandigheden, waardoor je in de war kunt raken, en in de wiskunde zullen symbolen de identiteit van elke betekenis vervangen.
- Ten eerste is beknoptheid belangrijk voor efficiëntie. Symbolische logica kan niet zonder tekens en aanduidingen, anders zou het alleen filosofisch blijven, zonder het recht op ware betekenis.
- Ten tweede maken symbolen het gemakkelijker om logische waarheden te zien en te formuleren. Items 1 en 2 moedigen "algebraïsche" manipulatie van logische formules aan.
- Ten derde, wanneer logica logische waarheden uitdrukt, stimuleert symbolische formulering studie van de structuur van logica. Dit hangt samen met het vorige punt. Symbolische logica leent zich dus voor de wiskundige studie van logica, een tak van het onderwerp wiskundige logica.
- Ten vierde, bij het herhalen van het antwoord, is het gebruik van symbolen een hulpmiddel om de vaagheid (bijv. meerdere betekenissen) van gewone taal te voorkomen. Het zorgt er ook voor dat de betekenis uniek is.
Ten slotte maakt de symbolische taal van de logica de predikaatrekening mogelijk die door Frege is geïntroduceerd. In de loop der jaren is de symbolische notatie voor de predikaatrekening zelf verfijnd en efficiënter gemaakt, aangezien een goede notatie belangrijk is in wiskunde en logica.
Aristoteles' ontologie van de oudheid
Wetenschappers raakten geïnteresseerd in het werk van de denker toen ze de methoden van Slinin bij hun interpretaties begonnen te gebruiken. Het boek presenteert theorieën over klassieke en modale logica. Een belangrijk onderdeel van het concept was de reductie tot CNF in symbolische logica van de formule van de logica van propositie. De afkorting betekent conjunctie of disjunctie van variabelen.
Slinin Ya. A. suggereerde dat complexe ontkenningen, die herhaalde reductie van formules vereisen, in een subformule zouden moeten veranderen. Zo zette hij enkele waarden om naar meer minimale waarden en loste hij problemen op in een verkorte versie. Het werken met ontkenningen werd teruggebracht tot de formules van de Morgan. De wetten die De Morgans naam dragen, zijn een paar verwante stellingen die het mogelijk maken om uitspraken en formules om te zetten in alternatieve en vaak handigere. De wetten zijn als volgt:
- De negatie (of inconsistentie) van een disjunctie is gelijk aan de unie van de negatie van alternatieven – p of q is niet gelijk aan p en niet q of symbolisch ~ (p ⊦ q) ≡ ~p ~q.
- De negatie van de conjunctie is gelijk aan de disjunctie van de negatie van de oorspronkelijke conjuncten, d.w.z. niet (p en q) is niet gelijk aan niet p of niet q, of symbolisch ~ (p q) ≡ ~p ⊦ ~q.
Dankzij deze eerste gegevens begonnen veel wiskundigen formules toe te passen om complexe logische problemen op te lossen. Veel mensen weten dat er een collegereeks is waarin het snijpunt van functies wordt bestudeerd. En de matrixinterpretatie is ook gebaseerd op logische formules. Wat is de essentie van logica in algebraïsche verbinding? Dit is een lineaire functie op niveau, wanneer je de wetenschap van getallen en filosofie op dezelfde schaal kunt plaatsen als een "zielloos" en niet winstgevend redeneergebied. Hoewel E. Kant daar anders over dacht, als wiskundige en filosoof. Hij merkte op dat filosofie niets is totdat het tegendeel is bewezen. En het bewijs moet wetenschappelijk verantwoord zijn. En zo gebeurde het dat filosofie betekenis begon te krijgen dankzijovereenkomen met de ware aard van getallen en berekeningen.
Toepassing van logica in de wetenschap en de materiële wereld van de werkelijkheid
Filosofen passen de wetenschap van logisch redeneren meestal niet toe op slechts een ambitieus postdoctoraal project (meestal met een hoge mate van specialisatie, zoals toevoeging aan sociale wetenschappen, psychologie of ethische categorisering). Het is paradoxaal dat de filosofische wetenschap de methode voor het berekenen van waarheid en onwaarheid 'heeft voortgebracht', maar de filosofen zelf gebruiken het niet. Dus voor wie zijn zulke duidelijke wiskundige syllogismen gemaakt en getransformeerd?
- Programmeurs en ingenieurs gebruikten symbolische logica (die niet zo veel verschilt van het origineel) om computerprogramma's en zelfs ontwerpborden te implementeren.
- In het geval van computers is logica complex genoeg geworden om talloze functieaanroepen af te handelen, de wiskunde vooruit te helpen en wiskundige problemen op te lossen. Veel ervan is gebaseerd op kennis van wiskundige probleemoplossing en waarschijnlijkheid gecombineerd met de logische regels van eliminatie, uitbreiding en reduceerbaarheid.
- Computertalen kunnen niet gemakkelijk worden begrepen om logisch te werken binnen de grenzen van kennis van wiskunde en zelfs speciale functies uit te voeren. Een groot deel van de computertaal is waarschijnlijk gepatenteerd of alleen begrepen door computers. Programmeurs laten computers nu vaak logische taken uitvoeren en oplossen.
In de loop van dergelijke voorwaarden gaan veel wetenschappers ervan uit dat geavanceerd materiaal niet omwille van de wetenschap wordt gemaakt, maar voorgebruiksgemak van media en technologie. Misschien sijpelt de logica binnenkort door in de sferen van economie, zaken en zelfs het 'tweezijdige' kwantum, dat zich zowel als een atoom als als een golf gedraagt.
Kwantumlogica in de moderne praktijk van wiskundige analyse
Quantumlogica (QL) is ontwikkeld als een poging om een propositiestructuur te bouwen waarmee interessante gebeurtenissen in de kwantummechanica (QM) kunnen worden beschreven. QL verving de booleaanse structuur, die niet voldoende was om het atomaire rijk weer te geven, hoewel het geschikt is voor het discours van de klassieke fysica.
De wiskundige structuur van een propositietaal over klassieke systemen is een reeks bevoegdheden, gedeeltelijk geordend door de inclusiereeks, met een paar bewerkingen die vereniging en disjunctie vertegenwoordigen.
Deze algebra is consistent met het discours van zowel klassieke als relativistische verschijnselen, maar is onverenigbaar met een theorie die het bijvoorbeeld verbiedt om gelijktijdige waarheidswaarden te geven. Het voorstel van de grondleggers van QL is gemaakt om de Booleaanse structuur van de klassieke logica te vervangen door een zwakkere structuur die de distributieve eigenschappen van conjunctie en disjunctie zou verzwakken.
Verzwakking van de gevestigde symbolische penetratie: is waarheid echt nodig in de wiskunde als exacte wetenschap
Tijdens zijn ontwikkeling begon kwantumlogica niet alleen te verwijzen naar traditioneel, maar ook naar verschillende gebieden van modern onderzoek die mechanica probeerden te begrijpen vanuit een logisch oogpunt. Meerderekwantumbenaderingen om verschillende strategieën en problemen te introduceren die in de literatuur van de kwantummechanica worden besproken. Waar mogelijk worden onnodige formules geëlimineerd om een intuïtief begrip van concepten te geven voordat de bijbehorende wiskunde wordt verkregen of geïntroduceerd.
Een eeuwige vraag bij de interpretatie van de kwantummechanica is of er fundamenteel klassieke verklaringen voor kwantummechanische verschijnselen beschikbaar zijn. Kwantumlogica heeft een grote rol gespeeld bij het vormgeven en verfijnen van deze discussie, met name waardoor we vrij precies kunnen zijn over wat we bedoelen met klassieke uitleg. Nu is het mogelijk om nauwkeurig vast te stellen welke theorieën als betrouwbaar kunnen worden beschouwd en welke de logische conclusie zijn van wiskundige oordelen.
