In een schaalversie is een model een soort afbeelding, diagram, kaart, beschrijving, afbeelding van een bepaald fenomeen of proces. Het fenomeen zelf wordt het origineel van een wiskundig of economisch model genoemd.
Wat is modelleren?
Modelleren is de studie van een object, systeem. Voor de implementatie ervan wordt een model gebouwd en geanalyseerd.
Alle stadia van modellering omvatten een wetenschappelijk experiment, waarvan het object een abstract of subjectmodel is. Bij het uitvoeren van een experiment wordt een specifiek fenomeen vervangen door een schema of een vereenvoudigd model (kopie). In sommige gevallen wordt een werkmodel samengesteld om het mechanisme van werk te begrijpen aan de hand van zijn voorbeeld, om de economische haalbaarheid te analyseren van het introduceren van de resultaten van ervaring in een markteconomie. Hetzelfde fenomeen kan door verschillende modellen worden beschouwd.
De onderzoeker moet de noodzakelijke stadia van modellering kiezen en deze optimaal gebruiken. Het gebruik van modellen is relevant in gevallen waarin een echt object niet beschikbaar is, of experimenten ermee gepaard gaan met ernstige milieuproblemen. Het huidige model wordt ook toegepast in situaties waar een echt experimentbrengt aanzienlijke materiële kosten met zich mee.
Kenmerken van wiskundige modellering
Wiskundige modellen zijn onmisbaar in de wetenschap, evenals hulpmiddelen daarvoor - wiskundige concepten. In de loop van enkele millennia hebben ze zich opgehoopt en gemoderniseerd. In de moderne wiskunde zijn er universele en krachtige manieren van onderzoek. Alle objecten die door de "koningin van de wetenschappen" worden beschouwd, zijn een wiskundig model. Voor een gedetailleerde analyse van het geselecteerde object worden de fasen van wiskundige modellering geselecteerd. Met hun hulp worden details, kenmerken en karakteristieke kenmerken onderscheiden, de ontvangen informatie gesystematiseerd en een volledige beschrijving van het object gemaakt.
Wiskundige formalisering omvat het werken tijdens onderzoek met speciale concepten: matrix, functie, afgeleide, antiderivaat, getallen. De relaties en verbindingen die in het bestudeerde object tussen de samenstellende elementen en details kunnen worden gevonden, worden vastgelegd door wiskundige relaties: vergelijkingen, ongelijkheden, gelijkheden. Als resultaat wordt een wiskundige beschrijving van een fenomeen of proces verkregen, en bijgevolg het wiskundige model ervan.
Regels voor het bestuderen van een wiskundig model
Er is een bepaalde volgorde van modelleringsstappen waarmee u verbanden kunt leggen tussen effecten en oorzaken. De centrale fase in het ontwerp of de studie van het systeem is de constructie van een volwaardig wiskundig model. De verdere analyse van dit object is direct afhankelijk van de kwaliteit van de uitgevoerde handelingen. Het opbouwen vanwiskundig of economisch model is geen formele procedure. Het moet gemakkelijk te gebruiken en nauwkeurig zijn, zodat er geen vervormingen in de resultaten van de analyse zijn.
Over de classificatie van wiskundige modellen
Er zijn twee varianten: deterministische en stochastische modellen. Bij deterministische modellen wordt een één-op-één overeenkomst tot stand gebracht tussen variabelen die worden gebruikt om een fenomeen of object te beschrijven.
Deze benadering is gebaseerd op informatie over het principe van de werking van het object. In veel gevallen heeft het gemodelleerde fenomeen een complexe structuur en kost het veel tijd en kennis om het te ontcijferen. In dergelijke situaties worden dergelijke modelleringsstadia geselecteerd die het mogelijk maken om experimenten op het origineel uit te voeren, de verkregen resultaten te verwerken, zonder in te gaan op de theoretische kenmerken van het object. Meest gebruikte statistiek en kansrekening. Het resultaat is een stochastisch model. Er is een willekeurig verband tussen de variabelen. Een groot aantal verschillende factoren veroorzaakt een willekeurige reeks variabelen die een fenomeen of een object karakteriseren.
Moderne modelleringsstappen zijn van toepassing op statische en dynamische modellen. In statische weergaven houdt de beschrijving van relaties tussen de variabelen van het gecreëerde fenomeen niet in dat rekening wordt gehouden met de verandering in de tijd van de belangrijkste parameters. Voor dynamische modellen wordt de beschrijving van relaties tussen variabelen uitgevoerd rekening houdend met tijdelijke veranderingen.
Verscheidenheden van modellen:
- continu;
- discreet;
- gemengd
Verschillende stadia van wiskundige modellering maken het mogelijk om relaties en functies in lineaire modellen te beschrijven met behulp van een directe verbinding van variabelen.
Wat zijn de vereisten voor modellen?
- Veelzijdigheid. Het model moet een volledige weergave zijn van alle eigenschappen die inherent zijn aan het werkelijke object.
- Adequaatheid. Belangrijke kenmerken van het object mogen de opgegeven fout niet overschrijden.
- Nauwkeurigheid. Het kenmerkt de mate van samenvallen van de kenmerken van een object dat in werkelijkheid bestaat met vergelijkbare parameters die zijn verkregen tijdens de studie van het model.
- Economie. Het model moet qua materiaalkosten minimaal zijn.
Modelstappen
Laten we eens kijken naar de belangrijkste fasen van wiskundige modellering.
Een taak kiezen. Het doel van het onderzoek wordt gekozen, methoden voor de uitvoering ervan worden gekozen en een experimentstrategie wordt ontwikkeld. Deze fase omvat serieus werk. Het uiteindelijke resultaat van de simulatie hangt af van de juistheid van de taak
- Analyse van de theoretische grondslagen, een samenvatting van de ontvangen informatie over het object. Deze fase omvat de selectie of creatie van een theorie. Bij gebrek aan theoretische kennis over het object worden causale verbanden gelegd tussen alle variabelen die zijn gekozen om het fenomeen of object te beschrijven. In dit stadium worden de begin- en eindgegevens bepaald en wordt een hypothese naar voren gebracht.
- Formalisering. Geïmplementeerdde keuze van een systeem van speciale notatie dat zal helpen om in de vorm van wiskundige uitdrukkingen de relatie tussen de componenten van het object in kwestie te schrijven.
Toevoegingen aan het algoritme
Na het instellen van de modelparameters wordt een bepaalde methode of oplossingsmethode gekozen.
- Implementatie van het gemaakte model. Nadat de fasen van systeemmodellering zijn geselecteerd, wordt een programma gemaakt dat wordt getest en toegepast om het probleem op te lossen.
- Analyse van verzamelde informatie. Er wordt een analogie getrokken tussen de taak en de verkregen oplossing, en de modelleringsfout wordt bepaald.
- Controleren of het model overeenkomt met het echte object. Als er een significant verschil tussen beide is, wordt een nieuw model ontwikkeld. Totdat de ideale overeenkomst van het model met zijn echte tegenhanger is verkregen, worden verfijning en wijziging van details uitgevoerd.
Simulatiekarakteristiek
In het midden van de vorige eeuw verscheen computertechnologie in het leven van een moderne persoon, de relevantie van wiskundige methoden voor het bestuderen van objecten en verschijnselen nam toe. Er verschenen secties als "wiskundige chemie", "wiskundige taalkunde", "wiskundige economie", die zich bezighielden met de studie van verschijnselen en objecten, en de belangrijkste stadia van modellering werden gecreëerd.
Hun hoofddoel was het voorspellen van geplande waarnemingen, het bestuderen van bepaalde objecten. Bovendien kun je met behulp van modellering meer te weten komen over de wereld om je heen, manieren zoeken om deze te beheersen. Er wordt verondersteld dat een computerexperiment wordt uitgevoerd in die gevallen waarin:de echte werkt niet. Na het construeren van een wiskundig model van het bestudeerde fenomeen, met behulp van computergraphics, kan men kernexplosies, pestepidemieën, enz. bestuderen.
Specialisten onderscheiden drie fasen van wiskundige modellering, en elk heeft zijn eigen kenmerken:
- Een model bouwen. Deze fase omvat het opstellen van een economisch plan, natuurlijke fenomenen, constructie, productieproces. Het is in dit geval moeilijk om de situatie duidelijk te omschrijven. Eerst moet je de specifieke kenmerken van het fenomeen identificeren, om de relatie tussen het fenomeen en andere objecten te bepalen. Vervolgens worden alle kwalitatieve kenmerken vertaald in wiskundige taal, en wordt er een wiskundig model gebouwd. Deze fase is de moeilijkste in het hele modelleringsproces.
- De fase van het oplossen van een wiskundig probleem in verband met de ontwikkeling van algoritmen, methoden voor het oplossen van een probleem met computertechnologie, het identificeren van meetfouten.
- Vertalen van informatie verkregen tijdens onderzoek naar de taal van het gebied waarvoor het experiment werd uitgevoerd.
Deze drie fasen van wiskundige modellering worden aangevuld door de geschiktheid van het resulterende model te controleren. Er wordt gecontroleerd op de overeenkomst tussen de resultaten die zijn verkregen in het experiment met theoretische kennis. Wijzig indien nodig het gemaakte model. Het is ingewikkeld of vereenvoudigd, afhankelijk van de verkregen resultaten.
Kenmerken van economische modellering
3 stadia van wiskundige modellering omvatten het gebruik van algebraïsche, differentiële systemenvergelijkingen. Complexe objecten worden gebouwd met behulp van grafentheorie. Het gaat om een reeks punten in de ruimte of op een vlak, gedeeltelijk verbonden door randen. De belangrijkste stadia van economische modellering omvatten de keuze van hulpbronnen, hun distributie, boekhouding voor transport, netwerkplanning. Welke actie is geen modelleerstap? Deze vraag is moeilijk eenduidig te beantwoorden, het hangt allemaal af van de specifieke situatie. De belangrijkste fasen van het modelleringsproces omvatten het formuleren van het doel en onderwerp van onderzoek, het identificeren van de belangrijkste kenmerken om het doel te bereiken en het beschrijven van de relatie tussen modelfragmenten. Voer vervolgens berekeningen uit met wiskundige formules.
De servicetheorie is bijvoorbeeld het wachtrijprobleem. Het is belangrijk om een balans te vinden tussen de kosten van het onderhoud van apparaten en de kosten van in de wachtrij staan. Na het construeren van een formele beschrijving van het model, worden berekeningen uitgevoerd met behulp van computationele en analytische technologieën. Met een kwalitatieve compilatie van het model vindt u antwoord op alle vragen. Als het model slecht is, is het onmogelijk om te begrijpen welke actie geen modelleringsstap is.
Prakticiteit is een echt criterium om de geschiktheid van een fenomeen of model te beoordelen. Multicriteria-modellen, inclusief optimalisatie-opties, omvatten het stellen van doelen. Maar de manier om dit doel te bereiken is anders. Onder de moeilijkheden die mogelijk zijn in het proces, moeten we het volgende benadrukken:
- in een complex systeem zijn er meerderebanden;
- het is moeilijk om rekening te houden met alle willekeurige factoren bij het analyseren van een echt systeem;
- het is problematisch om het wiskundige apparaat te vergelijken met de resultaten die je wilt krijgen
Vanwege de vele complexiteiten die ontstaan bij het bestuderen van veelzijdige systemen, is simulatiemodellering ontwikkeld. Het wordt opgevat als een reeks speciale programma's voor computertechnologie, die de werking van individuele elementen van het systeem en de relatie daartussen beschrijven. Het gebruik van willekeurige variabelen omvat herhaalde herhaling van experimenten, statistische verwerking van de resultaten. Werken met een simulatiesysteem is een experiment dat wordt uitgevoerd met behulp van computertechnologie. Wat zijn de voordelen van dit systeem? Op deze manier is het mogelijk om dichter bij het oorspronkelijke systeem te komen, wat onmogelijk is in het geval van een wiskundig model. Met behulp van het blokprincipe kunt u afzonderlijke blokken analyseren voordat ze in één systeem worden opgenomen. Met deze optie kunt u complexe relaties gebruiken die niet kunnen worden beschreven met gewone wiskundige relaties.
Onder de nadelen van het bouwen van een simulatiesysteem benadrukken we de kosten van tijd en middelen, evenals de noodzaak om moderne computertechnologie te gebruiken.
De ontwikkelingsstadia van modellering zijn vergelijkbaar met de veranderingen die plaatsvinden in de samenleving. Volgens het toepassingsgebied zijn alle modellen onderverdeeld in trainingsprogramma's, simulatoren, leer- en visuele hulpmiddelen. Experimentele modellen kunnen verkleinde kopieën zijn van echte objecten (auto's). Wetenschappelijke en technische optieszijn stands gemaakt voor de analyse van elektronische apparatuur. Simulatiemodellen weerspiegelen niet alleen de echte realiteit, ze omvatten testen op laboratoriummuizen, experimenten in het onderwijssysteem. Imitatie wordt gezien als een methode van vallen en opstaan.
Er is een indeling van alle modellen volgens de presentatievariant. Materiële modellen worden subject genoemd. Dergelijke opties zijn begiftigd met de geometrische en fysieke kenmerken van het origineel zelf, ze kunnen in de realiteit worden vertaald. Informatiemodellen kunnen niet met de handen worden aangeraakt. Ze karakteriseren de toestand en eigenschappen van het bestudeerde object, fenomeen, proces en hun verbinding met de echte wereld. Verbale opties omvatten informatiemodellen die in een informele of mentale vorm worden geïmplementeerd. Getekende typen worden uitgedrukt door bepaalde tekens van een veelvlakkige wiskundige taal toe te passen.
Conclusie
Wiskundige modellering als een methode van wetenschappelijke kennis verscheen gelijktijdig met de fundamenten van hogere wiskunde. Een belangrijke rol in dit proces werd gespeeld door I. Newton, R. Descartes, G. Leibniz. Wiskundige modellen werden voor het eerst gebouwd door P. Fermat, B. Pascal. V. V. Leontiev, V. V. Novozhilov, A. L. Lurie besteedden aandacht aan wiskundige modellering in productie en economie. Tegenwoordig wordt een vergelijkbare optie voor het bestuderen van een object of fenomeen gebruikt in verschillende werkterreinen. Met behulp van ontworpen systemen onderzoeken ingenieurs dergelijke fenomenen en processen die niet in reële omstandigheden kunnen worden geanalyseerd.
Wetenschappelijk onderzoekdoor te modelleren werden ze in de oudheid gebruikt en legden ze in de loop van de tijd verschillende soorten wetenschappelijke kennis vast: architectuur, design, scheikunde, constructie, natuurkunde, biologie, ecologie, aardrijkskunde en sociale wetenschappen. In elk modelleringsproces worden drie componenten gebruikt: subject, object, model. Natuurlijk is de studie van een object of fenomeen niet beperkt tot modellering, er zijn andere manieren om de nodige informatie te verkrijgen.
