Een van de moeilijkste en meest onbegrijpelijke onderwerpen van universitaire wiskunde is integratie en differentiaalrekening. Je moet deze concepten kennen, begrijpen en kunnen toepassen. Veel universitaire technische disciplines zijn gebonden aan differentialen en integralen.
Korte informatie over vergelijkingen
Deze vergelijkingen zijn een van de belangrijkste wiskundige concepten in het onderwijssysteem. Een differentiaalvergelijking is een vergelijking die de onafhankelijke variabelen, de te vinden functie en de afgeleiden van die functie relateert aan de variabelen waarvan wordt aangenomen dat ze onafhankelijk zijn. Differentiaalrekening voor het vinden van een functie van één variabele wordt gewoon genoemd. Als de gewenste functie afhankelijk is van meerdere variabelen, dan is er sprake van een partiële differentiaalvergelijking.
In feite komt het vinden van een bepaald antwoord op de vergelijking neer op integratie, en de oplossingsmethode wordt bepaald door het type vergelijking.
Eerste orde vergelijkingen
Een differentiaalvergelijking van de eerste orde is een vergelijking die een variabele, een gewenste functie en zijn eerste afgeleide kan beschrijven. Dergelijke vergelijkingen kunnen in drie vormen worden gegeven: expliciet, impliciet, differentieel.
Concepten die nodig zijn om op te lossen
Initiële voorwaarde - instelling van de waarde van de gewenste functie voor een gegeven waarde van een variabele die onafhankelijk is.
Oplossing van een differentiaalvergelijking - elke differentieerbare functie, exact gesubstitueerd in de originele vergelijking, verandert deze in identiek gelijk. De verkregen oplossing, die niet expliciet is, is de integraal van de vergelijking.
De algemene oplossing van differentiaalvergelijkingen is een functie y=y(x;C), die aan de volgende beoordelingen kan voldoen:
- Een functie kan maar één willekeurige constante hebben С.
- De resulterende functie moet een oplossing zijn voor de vergelijking voor willekeurige waarden van een willekeurige constante.
- Met een gegeven beginvoorwaarde kan een willekeurige constante op een unieke manier worden gedefinieerd, zodat de resulterende specifieke oplossing consistent is met de gegeven vroege beginvoorwaarde.
In de praktijk wordt het Cauchy-probleem vaak gebruikt - een oplossing vinden die specifiek is en kan worden vergeleken met de voorwaarde die aan het begin is gesteld.
De stelling van Cauchy is een stelling die het bestaan en de uniciteit van een bepaalde oplossing in differentiaalrekening benadrukt.
Geometrische zin:
- Algemene oplossing y=y(x;C)vergelijking is het totale aantal integrale krommen.
- Differentiaalberekening stelt u in staat om de coördinaten van een punt in het XOY-vlak en de raaklijn aan de integraalkromme te verbinden.
- De beginvoorwaarde instellen betekent een punt op het vliegtuig instellen.
- Om het Cauchy-probleem op te lossen, betekent dat van de hele reeks integrale krommen die dezelfde oplossing van de vergelijking vertegenwoordigen, het nodig is om de enige te selecteren die door het enig mogelijke punt gaat.
- Vervulling van de voorwaarden van de stelling van Cauchy in een punt betekent dat een integrale kromme (bovendien slechts één) noodzakelijkerwijs door het gekozen punt in het vlak gaat.
Scheidbare variabele vergelijking
Per definitie is een differentiaalvergelijking een vergelijking waarvan de rechterkant een product (soms een verhouding) van twee functies beschrijft of weerspiegeld wordt als een product (soms een verhouding) van twee functies, waarvan de ene alleen afhankelijk is van "x" en de andere - alleen op "y ". Een duidelijk voorbeeld voor dit soort: y'=f1(x)f2(y).
Om vergelijkingen van een bepaalde vorm op te lossen, moet je eerst de afgeleide y'=dy/dx transformeren. Vervolgens, door de vergelijking te manipuleren, moet je deze in een vorm brengen waarin je de twee delen van de vergelijking kunt integreren. Na de nodige transformaties integreren we beide delen en vereenvoudigen we het resultaat.
Homogene vergelijkingen
Per definitie kan een differentiaalvergelijking homogeen worden genoemd als deze de volgende vorm heeft: y'=g(y/x).
In dit geval wordt de vervanging y/x=het vaakst gebruiktt(x).
Om dergelijke vergelijkingen op te lossen, is het nodig om een homogene vergelijking te reduceren tot een vorm met scheidbare variabelen. Om dit te doen, moet u de volgende handelingen uitvoeren:
- Weergeven, de afgeleide van de originele functie uitdrukkend, van een originele functie als een nieuwe vergelijking.
- De volgende stap is om de resulterende functie om te zetten in de vorm f(x;y)=g(y/x). In eenvoudiger woorden, zorg ervoor dat de vergelijking alleen de verhouding y/x en constanten bevat.
- Maak de volgende vervanging: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. De gemaakte vervanging helpt de variabelen in de vergelijking te verdelen, waardoor deze geleidelijk aan een eenvoudiger vorm krijgt.
Lineaire vergelijkingen
De definitie van dergelijke vergelijkingen is als volgt: een lineaire differentiaalvergelijking is een vergelijking waarvan de rechterkant wordt uitgedrukt als een lineaire uitdrukking ten opzichte van de oorspronkelijke functie. De gewenste functie in dit geval: y'=a(x)y + b(x).
Laten we de definitie als volgt herformuleren: elke vergelijking van de 1e orde wordt lineair in zijn vorm als de oorspronkelijke functie en zijn afgeleide zijn opgenomen in de eerstegraadsvergelijking en niet met elkaar worden vermenigvuldigd. De "klassieke vorm" van een lineaire differentiaalvergelijking heeft de volgende structuur: y' + P(x)y=Q(x).
Alvorens een dergelijke vergelijking op te lossen, moet deze worden omgezet in de "klassieke vorm". De volgende stap is de keuze van de oplossingsmethode: de Bernoulli-methode of de Lagrange-methode.
De vergelijking oplossen metmet behulp van de methode geïntroduceerd door Bernoulli, impliceert de vervanging en reductie van een lineaire differentiaalvergelijking tot twee vergelijkingen met afzonderlijke variabelen ten opzichte van de functies U(x) en V(x), die in hun oorspronkelijke vorm werden gegeven.
De Lagrange-methode is om een algemene oplossing voor de oorspronkelijke vergelijking te vinden.
- Het is noodzakelijk om dezelfde oplossing van de homogene vergelijking te vinden. Na het zoeken hebben we de functie y=y(x, C), waarbij C een willekeurige constante is.
- We zoeken een oplossing voor de oorspronkelijke vergelijking in dezelfde vorm, maar we beschouwen C=C(x). We vervangen de functie y=y(x, C(x)) in de oorspronkelijke vergelijking, zoeken de functie C(x) en noteren de oplossing van de algemene oorspronkelijke vergelijking.
Bernoulli-vergelijking
Bernoulli's vergelijking - als de rechterkant van de calculus de vorm heeft f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, waarbij k een mogelijke rationale numerieke waarde is, niet nemend als een voorbeeldgevallen waarin k=0 en k=1.
Als k=1, dan wordt de calculus scheidbaar, en als k=0, blijft de vergelijking lineair.
Laten we eens kijken naar het algemene geval van het oplossen van dit type vergelijking. We hebben de standaard Bernoulli-vergelijking. Het moet worden teruggebracht tot een lineaire, hiervoor moet je de vergelijking delen door yk. Vervang na deze bewerking z(x)=y1-k. Na een reeks transformaties wordt de vergelijking gereduceerd tot een lineaire, meestal met de substitutiemethode z=UV.
Vergelijkingen in totale differentiëlen
Definitie. Een vergelijking met de structuur P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 wordt voluit een vergelijking genoemddifferentiëlen, als aan de volgende voorwaarde is voldaan (in deze voorwaarde is "d" een gedeeltelijk differentieel): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Alle differentiaalvergelijkingen van de eerste orde die eerder zijn beschouwd, kunnen als differentiëlen worden weergegeven.
Dergelijke berekeningen worden op verschillende manieren opgelost. Maar ze beginnen echter allemaal met een conditiecontrole. Als aan de voorwaarde is voldaan, is het meest linkse gebied van de vergelijking het totale differentieel van de nog onbekende functie U(x;y). Dan, in overeenstemming met de vergelijking, zal dU (x; y) gelijk zijn aan nul, en daarom zal dezelfde integraal van de vergelijking in totale differentiëlen worden weergegeven in de vorm U (x; y) u003d C. Daarom is de oplossing van de vergelijking wordt gereduceerd tot het vinden van de functie U (x; y).
Integratiefactor
Als in de vergelijking niet wordt voldaan aan de voorwaarde dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx, dan heeft de vergelijking niet de vorm die we hierboven beschouwden. Maar soms is het mogelijk om een functie M(x;y) te kiezen, vermenigvuldigd waarmee de vergelijking de vorm aanneemt van een vergelijking in volledige "diffurs". De functie M (x;y) wordt de integrerende factor genoemd.
Een integrator kan alleen worden gevonden als deze een functie wordt van slechts één variabele.
