Het is onmogelijk om te beweren dat je wiskunde kent als je niet weet hoe je grafieken moet tekenen, ongelijkheden op een coördinaatlijn moet tekenen en niet weet hoe je met coördinaatassen werkt. De visuele component in de wetenschap is van vitaal belang, want zonder visuele voorbeelden in formules en berekeningen kun je soms erg in de war raken. In dit artikel zullen we zien hoe we met coördinaatassen kunnen werken en hoe we eenvoudige functiegrafieken kunnen bouwen.
Toepassing
De coördinaatlijn is de basis van de eenvoudigste soorten grafieken die een leerling op zijn onderwijspad tegenkomt. Het wordt gebruikt in bijna elk wiskundig onderwerp: bij het berekenen van snelheid en tijd, het projecteren van de grootte van objecten en het berekenen van hun gebied, in trigonometrie bij het werken met sinussen en cosinuslijnen.
De belangrijkste waarde van zo'n directe lijn is zichtbaarheid. Omdat wiskunde een wetenschap is die een hoog niveau van abstract denken vereist, helpen grafieken bij het weergeven van een object in de echte wereld. Hoe gedraagt hij zich? Op welk punt in de ruimte zal deeen paar seconden, minuten, uren? Wat v alt erover te zeggen in vergelijking met andere objecten? Wat is de snelheid op een willekeurig gekozen tijdstip? Hoe zijn beweging te karakteriseren?
En we hebben het niet voor niets over snelheid - het wordt vaak weergegeven door functiegrafieken. En ze kunnen ook veranderingen in temperatuur of druk in het object, de grootte, oriëntatie ten opzichte van de horizon weergeven. Het bouwen van een coördinatenlijn is dus ook vaak vereist in de natuurkunde.
Eendimensionale grafiek
Er is een concept van multidimensionaliteit. In een eendimensionale ruimte is slechts één getal voldoende om de locatie van een punt te bepalen. Dit is precies het geval bij het gebruik van de coördinatenlijn. Als de ruimte tweedimensionaal is, zijn twee getallen vereist. Grafieken van dit type worden veel vaker gebruikt en we zullen ze zeker iets later in het artikel bekijken.
Wat is er te zien met behulp van punten op de as, als er maar één as is? U kunt de grootte van het object zien, zijn positie in de ruimte ten opzichte van een "nul", d.w.z. het punt dat als referentiepunt is gekozen.
Verandering van parameters in de loop van de tijd zal niet zichtbaar zijn, omdat alle meetwaarden voor een bepaald moment worden weergegeven. Je moet echter ergens beginnen! Dus laten we beginnen.
Hoe een coördinatenas te bouwen
Eerst moet je een horizontale lijn tekenen - dit wordt onze as. Aan de rechterkant "scherp" het zodat het op een pijl lijkt. We zullen dus de richting aangeven waarin de cijfers zullen zijntoenemen. In neerwaartse richting wordt de pijl meestal niet geplaatst. Traditioneel wijst de as naar rechts, dus we volgen deze regel.
Laten we een nulpunt instellen, dat de oorsprong van de coördinaten zal weergeven. Dit is precies de plaats van waaruit het aftellen wordt gedaan, of het nu gaat om grootte, gewicht, snelheid of iets anders. Naast nul moeten we noodzakelijkerwijs de zogenaamde deelprijs aanwijzen, d.w.z. een eenheidsstandaard introduceren, in overeenstemming met welke we bepaalde hoeveelheden op de as zullen plotten. Dit moet worden gedaan om de lengte van het segment op de coördinatenlijn te kunnen vinden.
Plaats op gelijke afstand van elkaar stippen of "inkepingen" op de lijn en schrijf daaronder respectievelijk 1, 2, 3, enzovoort. En nu is alles klaar. Maar met het resulterende schema, moet je nog steeds leren werken.
Soorten punten op de coördinaatlijn
Vanaf de eerste blik op de tekeningen die in de leerboeken worden voorgesteld, wordt het duidelijk: de punten op de as kunnen worden gevuld of niet. Denk je dat het toeval is? Helemaal niet! Een "vaste" punt wordt gebruikt voor een niet-strikte ongelijkheid - een die leest als "groter dan of gelijk aan". Als we het interval strikt moeten beperken (bijvoorbeeld, "x" kan waarden aannemen van nul tot één, maar omvat deze niet), gebruiken we een "hol" punt, dat wil zeggen in feite een kleine cirkel op de as. Opgemerkt moet worden dat studenten niet echt van strikte ongelijkheden houden, omdat ze moeilijker zijn om mee te werken.
Afhankelijk van welke punten je hebtgebruik op de kaart, worden ook de ingebouwde intervallen genoemd. Als de ongelijkheid aan beide kanten niet strikt is, krijgen we een segment. Als het aan de ene kant "open" blijkt te zijn, wordt het een half-interval genoemd. Ten slotte, als een deel van een lijn aan beide zijden wordt begrensd door holle punten, wordt het een interval genoemd.
Vliegtuig
Bij het construeren van twee rechte lijnen op het coördinatenvlak, kunnen we al rekening houden met de grafieken van functies. Laten we zeggen dat de horizontale lijn de tijdas is en de verticale lijn de afstand. En nu kunnen we bepalen welke afstand het object zal afleggen in een minuut of een uur reizen. Het werken met een vlak maakt het dus mogelijk om de verandering in de toestand van een object te volgen. Dit is veel interessanter dan het onderzoeken van een statische toestand.
De eenvoudigste grafiek op zo'n vlak is een rechte lijn, deze geeft de functie Y(X)=aX + b weer. Buigt de lijn? Dit betekent dat het object tijdens het onderzoek van eigenschappen verandert.
Stel je voor dat je op het dak van een gebouw staat met een steen in je uitgestrekte hand. Wanneer je het loslaat, zal het naar beneden vliegen en beginnen met zijn beweging vanaf nulsnelheid. Maar in een seconde zal hij 36 kilometer per uur overwinnen. De steen zal verder versnellen en om zijn beweging op de kaart te tekenen, moet je zijn snelheid op verschillende tijdstippen meten door op de juiste plaatsen punten op de as te plaatsen.
Markeringen op de horizontale coördinaatlijn worden standaard respectievelijk X1, X2, X3 en op de verticale - Y1, Y2, Y3 genoemd. projecterenze naar het vlak en door snijpunten te vinden, vinden we fragmenten van het resulterende patroon. Door ze met één lijn te verbinden, krijgen we een grafiek van de functie. In het geval van een vallende steen ziet de kwadratische functie er als volgt uit: Y(X)=aXX + bX + c.
Schaal
Natuurlijk is het niet nodig om gehele getallen naast delen door een rechte lijn te plaatsen. Als u de beweging overweegt van een slak die kruipt met een snelheid van 0,03 meter per minuut, stel deze dan in als waarden op de coördinaatfractie. Stel in dit geval het schaalinterval in op 0,01 meter.
Het is vooral handig om dergelijke tekeningen in een notitieboekje in een kooi uit te voeren - hier kun je meteen zien of er voldoende ruimte op het blad is voor je kaart, als je buiten de marges gaat. Het is niet moeilijk om je kracht te berekenen, want de breedte van de cel in zo'n notebook is 0,5 centimeter. Het duurde - verkleinde de foto. Veranderingen in de schaal van het diagram zullen er niet toe leiden dat het zijn eigenschappen verliest of verandert.
Punt- en segmentcoördinaten
Als een wiskundeprobleem in een les wordt gegeven, kan het de parameters van verschillende geometrische vormen bevatten, zowel in de vorm van zijdelengtes, omtrek, oppervlakte als in de vorm van coördinaten. In dit geval moet u mogelijk zowel een vorm bouwen als er gegevens aan koppelen. De vraag rijst: hoe vind je de benodigde informatie op de coördinatenlijn? En hoe bouw je een vorm?
We hebben het bijvoorbeeld over een punt. Dan verschijnt er een hoofdletter in de toestand van het probleem en verschijnen er verschillende cijfers tussen haakjes, meestal twee (dit betekent dat we in tweedimensionale ruimte zullen tellen). Als er drie getallen tussen haakjes staan, gescheiden door een puntkomma of een komma, dan is dit een driedimensionale ruimte. Elk van de waarden is een coördinaat op de bijbehorende as: eerst langs de horizontale (X), dan langs de verticale (Y).
Weet je nog hoe je een segment tekent? Je hebt het doorgegeven aan geometrie. Als er twee punten zijn, kan er een lijn tussen worden getrokken. Hun coördinaten worden tussen haakjes aangegeven als er een segment in de opgave voorkomt. Bijvoorbeeld: A(15, 13) - B(1, 4). Om zo'n lijn te bouwen, moet u punten op het coördinatenvlak zoeken en markeren en ze vervolgens verbinden. Dat is het!
En alle polygonen, zoals je weet, kunnen worden getekend met segmenten. Probleem opgelost.
Berekeningen
Laten we zeggen dat er een object is waarvan de positie langs de X-as wordt gekenmerkt door twee cijfers: het begint op het punt met coördinaat (-3) en eindigt op (+2). Als we de lengte van dit object willen weten, moeten we het kleinere getal van het grotere getal aftrekken. Merk op dat een negatief getal het teken van de aftrekking absorbeert, want "een min maal een min is gelijk aan een plus." Dus we voegen (2+3) toe en krijgen 5. Dit is het vereiste resultaat.
Nog een voorbeeld: we krijgen het eindpunt en de lengte van het object, maar niet het startpunt (en we moeten het vinden). Laat de positie van het bekende punt (6) zijn en de grootte van het te bestuderen object (4). Door de lengte van de uiteindelijke coördinaat af te trekken, krijgen we het antwoord. Totaal: (6 - 4)=2.
Negatieve getallen
In de praktijk is het vaak nodig om met negatieve waarden te werken. In dit geval zullen wenaar links verplaatsen langs de coördinatenas. Een object van 3 centimeter hoog drijft bijvoorbeeld in water. Een derde daarvan is ondergedompeld in vloeistof, tweederde in de lucht. Als we vervolgens het wateroppervlak als de as kiezen, krijgen we twee getallen met behulp van de eenvoudigste rekenkundige berekeningen: het bovenste punt van het object heeft de coördinaat (+2) en de onderste - (-1) centimeter.
Het is gemakkelijk te zien dat we in het geval van een vliegtuig vier kwart van de coördinatenlijn hebben. Elk van hen heeft zijn eigen nummer. In het eerste deel (rechtsboven) zijn er punten met twee positieve coördinaten, in het tweede - linksboven - zijn de waarden van de X-as negatief en langs de Y-as - positief. De derde en vierde worden verder tegen de klok in geteld.
Belangrijke eigenschap
Je weet dat een lijn kan worden weergegeven als een oneindig aantal punten. We kunnen een willekeurig aantal waarden in elke richting van de as zo zorgvuldig bekijken als we willen, maar we zullen geen herhalende tegenkomen. Het lijkt naïef en begrijpelijk, maar die uitspraak komt voort uit een belangrijk feit: elk cijfer komt overeen met één en slechts één punt op de coördinaatlijn.
Conclusie
Vergeet niet dat alle assen, figuren en, indien mogelijk, afbeeldingen op een liniaal moeten worden gebouwd. Maateenheden zijn niet toevallig door de mens uitgevonden - als je een fout maakt bij het tekenen, loop je het risico een ander beeld te zien dan het had moeten zijn.
Wees voorzichtig en nauwkeurig bij het plotten en rekenen. Zoals elke wetenschap die op school wordt gestudeerd, houdt wiskunde van nauwkeurigheid. Doe een beetje moeite en goedevaluaties laten niet lang op zich wachten.
