In de wiskunde zijn inverse functies onderling corresponderende uitdrukkingen die in elkaar overgaan. Om te begrijpen wat dit betekent, is het de moeite waard om een specifiek voorbeeld te overwegen. Laten we zeggen dat we y=cos(x) hebben. Als we de cosinus van het argument nemen, kunnen we de waarde van y vinden. Hiervoor heb je natuurlijk x nodig. Maar wat als de speler in eerste instantie wordt gegeven? Hier raakt het de kern van de zaak. Om het probleem op te lossen, is het gebruik van een inverse functie vereist. In ons geval is dit de boogcosinus.
Na alle transformaties krijgen we: x=arccos(y).
Dat wil zeggen, om een functie omgekeerd aan een gegeven functie te vinden, volstaat het om er een argument uit te drukken. Maar dit werkt alleen als het resultaat een enkele waarde heeft (daarover later meer).
In algemene termen kan dit feit als volgt worden geschreven: f(x)=y, g(y)=x.
Definitie
Laat f een functie zijn waarvan het domein de verzameling X is, enhet bereik van waarden is de set Y. Als er dan g bestaat waarvan de domeinen tegengestelde taken uitvoeren, dan is f omkeerbaar.
Bovendien is g in dit geval uniek, wat betekent dat er precies één functie is die aan deze eigenschap voldoet (niet meer, niet minder). Dan wordt het de inverse functie genoemd, en schriftelijk wordt het als volgt aangegeven: g(x)=f -1(x).
Met andere woorden, ze kunnen worden gezien als een binaire relatie. Omkeerbaarheid vindt alleen plaats wanneer een element van de set overeenkomt met een waarde uit een andere.
Er is niet altijd een inverse functie. Hiervoor moet elk element y є Y overeenkomen met maximaal één x є X. Dan wordt f één-op-één of injectie genoemd. Als f -1 bij Y hoort, dan moet elk element van deze verzameling overeenkomen met een x ∈ X. Functies met deze eigenschap worden surjecties genoemd. Het geldt per definitie als Y een afbeelding f is, maar dit is niet altijd het geval. Om invers te zijn, moet een functie zowel een injectie als een surjectie zijn. Dergelijke uitdrukkingen worden bijecties genoemd.
Voorbeeld: vierkants- en wortelfuncties
De functie is gedefinieerd op [0, ∞) en gegeven door de formule f (x)=x2.
Dan is het niet injectief, omdat elke mogelijke uitkomst Y (behalve 0) overeenkomt met twee verschillende X-en - een positieve en een negatieve, dus het is niet omkeerbaar. In dit geval is het onmogelijk om de eerste gegevens van de ontvangen gegevens te verkrijgen, wat in tegenspraak is mettheorieën. Het zal niet-injectief zijn.
Als het definitiedomein voorwaardelijk beperkt is tot niet-negatieve waarden, dan zal alles werken zoals voorheen. Dan is het bijectief en dus inverteerbaar. De inverse functie wordt hier positief genoemd.
Opmerking bij binnenkomst
Laat de aanduiding f -1 (x) een persoon in verwarring brengen, maar mag in geen geval zo worden gebruikt: (f (x)) - 1 . Het verwijst naar een heel ander wiskundig concept en heeft niets te maken met de inverse functie.
Als algemene regel gebruiken sommige auteurs uitdrukkingen zoals sin-1 (x).
Andere wiskundigen zijn echter van mening dat dit voor verwarring kan zorgen. Om dergelijke problemen te voorkomen, worden inverse trigonometrische functies vaak aangeduid met het voorvoegsel "arc" (van de Latijnse boog). In ons geval hebben we het over de arcsinus. Je kunt ook af en toe het voorvoegsel "ar" of "inv" zien voor sommige andere functies.
