Een cilinder is een van de eenvoudige driedimensionale figuren die wordt bestudeerd in de cursus meetkunde op school (sectie vaste meetkunde). In dit geval doen zich vaak problemen voor bij het berekenen van het volume en de massa van een cilinder, evenals bij het bepalen van het oppervlak. De antwoorden op de gemarkeerde vragen worden in dit artikel gegeven.
Wat is een cilinder?
Alvorens verder te gaan met het antwoord op de vraag, wat is de massa van de cilinder en het volume, is het de moeite waard om te overwegen wat deze ruimtelijke figuur is. Er moet meteen worden opgemerkt dat een cilinder een driedimensionaal object is. Dat wil zeggen, in de ruimte kun je drie van zijn parameters meten langs elk van de assen in een cartesiaans rechthoekig coördinatensysteem. Om de afmetingen van een cilinder ondubbelzinnig te bepalen, volstaat het om slechts twee van zijn parameters te kennen.
Cilinder is een driedimensionale figuur gevormd door twee cirkels en een cilindrisch oppervlak. Om dit object duidelijker weer te geven, volstaat het om een rechthoek te nemen en deze rond een van zijn zijden te draaien, wat de rotatie-as zal zijn. In dit geval beschrijft de roterende rechthoek de vormrotatie - cilinder.
Twee ronde oppervlakken worden de basis van de cilinder genoemd, ze worden gekenmerkt door een bepaalde straal. De afstand tussen de bases wordt de hoogte genoemd. De twee bases zijn onderling verbonden door een cilindrisch oppervlak. De lijn die door de middelpunten van beide cirkels gaat, wordt de as van de cilinder genoemd.
Volume en oppervlakte
Zoals je hierboven kunt zien, wordt de cilinder gedefinieerd door twee parameters: de hoogte h en de straal van zijn basis r. Als u deze parameters kent, is het mogelijk om alle andere kenmerken van het beschouwde lichaam te berekenen. Hieronder staan de belangrijkste:
- Het gebied van de bases. Deze waarde wordt berekend met de formule: S1=2pir2, waarbij pi gelijk is aan 3, 14. Cijfer 2 in formule verschijnt omdat de cilinder twee identieke basen heeft.
- Cilindervormig oppervlak. Het kan als volgt worden berekend: S2=2pirh. Het is gemakkelijk om deze formule te begrijpen: als een cilindrisch oppervlak verticaal van de ene basis naar de andere wordt gesneden en uitgevouwen, wordt een rechthoek verkregen waarvan de hoogte gelijk zal zijn aan de hoogte van de cilinder, en de breedte zal overeenkomen met de omtrek van de basis van de driedimensionale figuur. Aangezien de oppervlakte van de resulterende rechthoek het product is van zijn zijden, die gelijk zijn aan h en 2pir, wordt de bovenstaande formule verkregen.
- Cilinderoppervlak. Het is gelijk aan de som van de oppervlakten van S1 en S2, we krijgen: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Volume. Deze waarde is gemakkelijk te vinden, je hoeft alleen de oppervlakte van één basis te vermenigvuldigen met de hoogte van de figuur: V=(S1/2)h=pir 2 h.
De massa van een cilinder bepalen
Ten slotte is het de moeite waard om direct naar het onderwerp van het artikel te gaan. Hoe de massa van een cilinder bepalen? Om dit te doen, moet u het volume kennen, de formule voor het berekenen die hierboven werd gepresenteerd. En de dichtheid van de substantie waaruit het bestaat. De massa wordt bepaald met een eenvoudige formule: m=ρV, waarbij ρ de dichtheid is van het materiaal dat het betreffende object vormt.
Het concept van dichtheid kenmerkt de massa van een stof die zich in een eenheidsvolume van de ruimte bevindt. Bijvoorbeeld. Het is bekend dat ijzer een hogere dichtheid heeft dan hout. Dit betekent dat in het geval van gelijke volumes ijzer en hout, de eerste een veel grotere massa zal hebben dan de laatste (ongeveer 16 keer).
De massa van een koperen cilinder berekenen
Overweeg een eenvoudig probleem. Het is noodzakelijk om de massa van een cilinder van koper te vinden. Laat voor de zekerheid de cilinder een diameter hebben van 20 cm en een hoogte van 10 cm.
Voordat u begint met het oplossen van het probleem, moet u de brongegevens behandelen. De straal van de cilinder is gelijk aan de helft van zijn diameter, wat betekent r=20/2=10 cm, terwijl de hoogte h=10 cm is. Aangezien de cilinder die in het probleem wordt beschouwd, is gemaakt van koper, verwijzend naar de referentiegegevens schrijven we de dichtheidswaarde van dit materiaal uit: ρ=8, 96 g/cm3 (voor temperatuur 20 °C).
Nu kun je beginnen met het oplossen van het probleem. Laten we eerst het volume berekenen: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Dan is de massa van de cilinder: m=ρV=8,963140=28134 gram of ongeveer 28 kilogram.
Je moet letten op de afmetingen van de eenheden tijdens hun gebruik in de bijbehorende formules. Dus in het probleem werden alle parameters gepresenteerd in centimeters en grammen.
Homogene en holle cilinders
Uit het hierboven verkregen resultaat blijkt dat een koperen cilinder met relatief kleine afmetingen (10 cm) een grote massa heeft (28 kg). Dit komt niet alleen door het feit dat het van zwaar materiaal is gemaakt, maar ook door het feit dat het homogeen is. Dit feit is belangrijk om te begrijpen, aangezien de bovenstaande formule voor het berekenen van de massa alleen kan worden gebruikt als de cilinder volledig (van buiten en van binnen) is gemaakt van hetzelfde materiaal, dat wil zeggen dat deze homogeen is.
In de praktijk worden vaak holle cilinders gebruikt (bijvoorbeeld cilindrische vaten voor water). Dat wil zeggen, ze zijn gemaakt van dunne vellen van een bepaald materiaal, maar van binnen zijn ze leeg. Voor een holle cilinder kan de aangegeven formule voor het berekenen van de massa niet worden gebruikt.
De massa van een holle cilinder berekenen
Het is interessant om te berekenen welke massa een koperen cilinder zal hebben als deze van binnen leeg is. Laat het bijvoorbeeld gemaakt zijn van een dunne koperen plaat met een dikte van slechts d=2 mm.
Om dit probleem op te lossen, moet je het volume van het koper zelf vinden, waarvan het object is gemaakt. Niet het volume van de cilinder. Omdat de diktehet blad is klein in vergelijking met de afmetingen van de cilinder (d=2 mm en r=10 cm), dan kan het volume koper waaruit het object is gemaakt, worden gevonden door het gehele oppervlak van de cilinder te vermenigvuldigen met de dikte van de koperplaat krijgen we: V=dS 3=d2pir(r+h). Als we de gegevens van het vorige probleem substitueren, krijgen we: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. De massa van een holle cilinder kan worden verkregen door het verkregen volume koper, dat nodig was voor de vervaardiging ervan, te vermenigvuldigen met de dichtheid van koper: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g of 2,3 kg. Dat wil zeggen, de beschouwde holle cilinder weegt 12 (28, 1/2, 3) keer minder dan een homogene.
