In het artikel dat onder uw aandacht is gebracht, bieden we voorbeelden van wiskundige modellen. Daarnaast zullen we aandacht besteden aan de fasen van het maken van modellen en een aantal taken analyseren die verband houden met wiskundige modellering.
Nog een van onze vragen gaat over wiskundige modellen in de economie, voorbeelden, waarvan we de definitie later zullen bespreken. We stellen voor om ons gesprek te beginnen met het concept "model", kort hun classificatie te overwegen en verder te gaan met onze belangrijkste vragen.
Het concept van "model"
We horen vaak het woord "model". Wat is het? Deze term heeft veel definities, hier zijn er slechts drie:
- een specifiek object dat is gemaakt om informatie te ontvangen en op te slaan, dat enkele eigenschappen of kenmerken weergeeft, enzovoort, van het origineel van dit object (dit specifieke object kan in verschillende vormen worden uitgedrukt: mentaal, beschrijving met behulp van tekens, enzovoort);
- model betekent ook de weergave van een specifieke situatie, leven ofleidinggevend;
- model kan dienen als een verkleinde kopie van elk object (ze zijn gemaakt voor meer gedetailleerde studie en analyse, omdat het model de structuur en relaties weerspiegelt).
Op basis van alles wat eerder is gezegd, kunnen we een kleine conclusie trekken: met het model kun je een complex systeem of object in detail bestuderen.
Alle modellen kunnen worden ingedeeld volgens een aantal criteria:
- per toepassingsgebied (educatief, experimenteel, wetenschappelijk en technisch, gaming, simulatie);
- by dynamics (statisch en dynamisch);
- per tak van kennis (fysiek, chemisch, geografisch, historisch, sociologisch, economisch, wiskundig);
- bij wijze van presentatie (materieel en informatief).
Informatiemodellen zijn op hun beurt onderverdeeld in gebaren en verbaal. En iconisch - op computer en niet-computer. Laten we nu verder gaan met een gedetailleerde beschouwing van voorbeelden van een wiskundig model.
Wiskundig model
Zoals je zou kunnen raden, weerspiegelt een wiskundig model enkele kenmerken van een object of fenomeen met behulp van speciale wiskundige symbolen. Wiskunde is nodig om de patronen van de omringende wereld in zijn eigen specifieke taal te modelleren.
De methode van wiskundige modellering is vrij lang geleden ontstaan, duizenden jaren geleden, samen met de komst van deze wetenschap. De aanzet voor de ontwikkeling van deze modelleringsmethode werd echter gegeven door het verschijnen van computers (elektronische computers).
Laten we nu verder gaan met classificatie. Het kan ook worden uitgevoerd volgens enkele tekens. Zij zijnworden weergegeven in de onderstaande tabel.
| Classificatie per tak van wetenschap | Toepassing van wiskundige modellen in natuurkunde, sociologie, scheikunde enzovoort |
| Volgens het wiskundige apparaat dat wordt gebruikt in het modelleringsproces | Modellen gebaseerd op differentiaalvergelijkingen, discrete algebraïsche transformaties en dergelijke |
| Door doelen te modelleren | Volgens dit principe zijn er beschrijvende, optimalisatie-, multi-criteria-, spel- en simulatiemodellen |
We stellen voor om te stoppen en de laatste classificatie nader te bekijken, omdat deze de algemene patronen van modellering en de doelen van de modellen die worden gemaakt weerspiegelt.
Beschrijvende modellen
In dit hoofdstuk stellen we voor om dieper in te gaan op beschrijvende wiskundige modellen. Om alles heel duidelijk te maken, wordt een voorbeeld gegeven.
Om te beginnen kan deze weergave beschrijvend worden genoemd. Dit komt doordat we alleen berekeningen en voorspellingen maken, maar we kunnen de uitkomst van het evenement op geen enkele manier beïnvloeden.
Een treffend voorbeeld van een beschrijvend wiskundig model is de berekening van het vliegpad, de snelheid en de afstand tot de aarde van een komeet die de uitgestrektheid van ons zonnestelsel binnendrong. Dit model is beschrijvend, omdat alle verkregen resultaten ons alleen kunnen waarschuwen voor een of ander gevaar. De uitkomst van het evenement beïnvloeden, helaas doen we dat nietKan. Op basis van de verkregen berekeningen is het echter mogelijk om maatregelen te nemen om het leven op aarde te redden.
Optimalisatiemodellen
Nu zullen we het hebben over economische en wiskundige modellen, waarvan voorbeelden verschillende situaties kunnen zijn. In dit geval hebben we het over modellen die helpen om onder bepaalde omstandigheden het juiste antwoord te vinden. Ze moeten een aantal parameters hebben. Om het heel duidelijk te maken, overweeg een voorbeeld uit het agrarische deel.
We hebben een graanschuur, maar het graan bederft heel snel. In dit geval moeten we het juiste temperatuurregime kiezen en het opslagproces optimaliseren.
Zo kunnen we het concept van "optimalisatiemodel" definiëren. In wiskundige zin is dit een stelsel van vergelijkingen (zowel lineair als niet), waarvan de oplossing helpt om de optimale oplossing in een bepaalde economische situatie te vinden. We hebben een voorbeeld van een wiskundig model overwogen (optimalisatie), maar ik wil hieraan toevoegen: dit type behoort tot de klasse van extreme problemen, ze helpen om de werking van het economisch systeem te beschrijven.
Let op nog een nuance: modellen kunnen van verschillende aard zijn (zie onderstaande tabel).
| deterministisch | In dit geval hangt het resultaat af van de invoergegevens |
| stochastisch | Beschrijving van willekeurige processen. In dit geval blijft het resultaat ongedefinieerd |
Multicriteria-modellen
Nu nodigen we je uit om er een beetje over te pratenwiskundig model van multiobjectieve optimalisatie. Daarvoor gaven we een voorbeeld van een wiskundig model voor het optimaliseren van een proces volgens een bepaald criterium, maar wat als er veel zijn?
Een treffend voorbeeld van een multicriteria-taak is het organiseren van goede, gezonde en tegelijkertijd voordelige voeding voor grote groepen mensen. Dergelijke taken zijn vaak te vinden in het leger, schoolkantines, zomerkampen, ziekenhuizen enzovoort.
Welke criteria krijgen we in dit probleem?
- Voeding moet gezond zijn.
- Uitgaven aan voedsel moeten tot een minimum worden beperkt.
Zoals je kunt zien, vallen deze doelen helemaal niet samen. Dit betekent dat bij het oplossen van een probleem gezocht moet worden naar de optimale oplossing, een balans tussen twee criteria.
Spelmodellen
Over spelmodellen gesproken, het is noodzakelijk om het concept van 'speltheorie' te begrijpen. Simpel gezegd, deze modellen weerspiegelen wiskundige modellen van echte conflicten. Houd er rekening mee dat, in tegenstelling tot een echt conflict, het wiskundige model van het spel zijn eigen specifieke regels heeft.
Nu is er een minimum aan informatie uit de speltheorie die je zal helpen begrijpen wat een spelmodel is. En dus zijn er in het model noodzakelijkerwijs partijen (twee of meer), die gewoonlijk spelers worden genoemd.
Alle modellen hebben enkele kenmerken.
| Onderwerpen | Aantal spelers |
| Strategie | Opties voor mogelijke acties |
| Betaling | Resultaat van het conflict (winnen of verliezen). |
Het spelmodel kan worden gekoppeld of meerdere. Als we twee onderwerpen hebben, is het conflict gepaard, als er meer zijn - meerdere. Er is ook een antagonistisch spel te onderscheiden, het wordt ook wel een nulsomspel genoemd. Dit is een model waarin de winst van een van de deelnemers gelijk is aan het verlies van de ander.
Simulatiemodellen
In deze sectie zullen we aandacht besteden aan wiskundige simulatiemodellen. Voorbeelden van taken zijn:
- model van de dynamiek van het aantal micro-organismen;
- model van de beweging van moleculen, enzovoort.
In dit geval hebben we het over modellen die zo dicht mogelijk bij echte processen liggen. Over het algemeen imiteren ze elke manifestatie in de natuur. In het eerste geval kunnen we bijvoorbeeld de dynamiek van het aantal mieren in één kolonie modelleren. In dit geval kunt u het lot van elk individu observeren. In dit geval wordt de wiskundige beschrijving zelden gebruikt, vaker zijn er geschreven voorwaarden:
- na vijf dagen legt het vrouwtje eieren;
- 20 dagen later sterft de mier, enzovoort.
Zo worden simulatiemodellen gebruikt om een groot systeem te beschrijven. Wiskundige conclusie is de verwerking van de ontvangen statistische gegevens.
Vereisten
Heel belangrijkHoud er rekening mee dat er enkele vereisten zijn voor dit type model, waaronder de vereisten in de onderstaande tabel.
| Veelzijdigheid | Met deze eigenschap kunt u hetzelfde model gebruiken bij het beschrijven van groepen objecten van hetzelfde type. Het is belangrijk op te merken dat universele wiskundige modellen volledig onafhankelijk zijn van de fysieke aard van het bestudeerde object |
| Adequaatheid | Het is belangrijk om te begrijpen dat u met deze eigenschap echte processen zo nauwkeurig mogelijk kunt reproduceren. Bij operationele problemen is deze eigenschap van wiskundige modellering erg belangrijk. Een voorbeeld van een model is het proces van optimalisatie van het gebruik van een gassysteem. In dit geval worden berekende en werkelijke indicatoren vergeleken, waardoor de juistheid van het gecompileerde model wordt gecontroleerd |
| Nauwkeurigheid | Deze vereiste impliceert het samenvallen van de waarden die we krijgen bij het berekenen van het wiskundige model en de invoerparameters van ons echte object |
| Economie | De eis van kosteneffectiviteit voor elk wiskundig model wordt gekenmerkt door implementatiekosten. Als het werk met het model handmatig wordt uitgevoerd, moet worden berekend hoeveel tijd het kost om één probleem op te lossen met behulp van dit wiskundige model. Als we het hebben over computerondersteund ontwerp, dan worden de indicatoren van de kosten van tijd en computergeheugen berekend |
Stadsmodelleren
In totaal is het gebruikelijk om vier fasen te onderscheiden in wiskundige modellering.
- Formuleer de wetten die de onderdelen van het model met elkaar verbinden.
- Onderzoek van wiskundige problemen.
- Het samenvallen van praktische en theoretische resultaten verduidelijken.
- Analyse en modernisering van het model.
Economisch en wiskundig model
In deze sectie zullen we kort de kwestie van economische en wiskundige modellen belichten. Voorbeelden van taken zijn:
- vorming van een productieprogramma voor de productie van vleesproducten, waardoor de maximale productiewinst wordt gegarandeerd;
- maximaliseer de winst van de organisatie door het optimale aantal tafels en stoelen te berekenen dat in een meubelfabriek moet worden geproduceerd, enzovoort.
Het economisch-wiskundige model vertoont een economische abstractie, die wordt uitgedrukt met wiskundige termen en tekens.
Computer wiskundig model
Voorbeelden van een wiskundig computermodel zijn:
- problemen met hydrauliek met behulp van stroomdiagrammen, diagrammen, tabellen, enzovoort;
- problemen met solide mechanica, enzovoort.
Computermodel is een afbeelding van een object of systeem gepresenteerd als:
- tafels;
- stroomdiagrammen;
- diagrammen;
- graphics, enzovoort.
Tegelijk weerspiegelt dit model de structuur en onderlinge verbindingen van het systeem.
Een economisch-wiskundig model bouwen
We hebben het al gehad over wat economischwiskundig model. Een voorbeeld van het oplossen van het probleem zal nu worden overwogen. We moeten het productieprogramma analyseren om de reserve te identificeren voor het verhogen van de winst met een verschuiving in het assortiment.
We zullen het probleem niet volledig beschouwen, maar alleen een economisch en wiskundig model bouwen. Het criterium van onze taak is winstmaximalisatie. De functie heeft dan de vorm: Л=р1х1+р2х2… neigt naar het maximum. In dit model is p de winst per eenheid, x is het aantal geproduceerde eenheden. Verder is het op basis van het geconstrueerde model noodzakelijk om berekeningen te maken en samen te vatten.
Een voorbeeld van het bouwen van een eenvoudig wiskundig model
Taak. De visser kwam terug met de volgende vangst:
- 8 vis - bewoners van de noordelijke zeeën;
- 20% van de vangst - de bewoners van de zuidelijke zeeën;
- er is geen enkele vis gevonden in de plaatselijke rivier.
Hoeveel vissen heeft hij in de winkel gekocht?
Dus, een voorbeeld van het construeren van een wiskundig model van dit probleem is als volgt. Het totale aantal vissen noteren we als x. Volgens de voorwaarde is 0,2x het aantal vissen dat op zuidelijke breedtegraden leeft. Nu combineren we alle beschikbare informatie en krijgen het wiskundige model van het probleem: x=0, 2x+8. We lossen de vergelijking op en krijgen het antwoord op de hoofdvraag: hij kocht 10 vissen in de winkel.
