In de natuurkunde wordt de overweging van problemen met roterende lichamen of systemen die in evenwicht zijn uitgevoerd met behulp van het concept van "krachtmoment". Dit artikel gaat in op de formule voor het moment van kracht, evenals op het gebruik ervan voor het oplossen van dit soort problemen.
Moment van kracht in de natuurkunde
Zoals opgemerkt in de inleiding, zal dit artikel zich richten op systemen die ofwel rond een as of rond een punt kunnen roteren. Beschouw een voorbeeld van zo'n model, weergegeven in de onderstaande afbeelding.
We zien dat de grijze hendel op de rotatie-as is bevestigd. Aan het uiteinde van de hendel bevindt zich een zwarte kubus van enige massa, waarop een kracht werkt (rode pijl). Het is intuïtief duidelijk dat het resultaat van deze kracht de rotatie van de hendel rond de as tegen de klok in zal zijn.
Het krachtmoment is een grootheid in de natuurkunde, die gelijk is aan het vectorproduct van de straal die de rotatie-as verbindt met het aangrijpingspunt van de kracht (groene vector in de figuur), en de externe kracht zelf. Dat wil zeggen, de formule voor het krachtmoment om de as is geschrevenals volgt:
M¯=r¯F¯
Het resultaat van dit product is de vector M¯. De richting ervan wordt bepaald op basis van de kennis van vermenigvuldigingsvectoren, dat wil zeggen r¯ en F¯. Volgens de definitie van een uitwendig product moet M¯ loodrecht staan op het vlak gevormd door de vectoren r¯ en F¯, en gericht zijn in overeenstemming met de rechterhandregel (als vier vingers van de rechterhand langs de eerste vermenigvuldigde vector tegen het einde van de seconde, dan geeft de duim aan waar de gewenste vector naar toe is gericht). In de afbeelding kunt u zien waar de vector M¯ naartoe is gericht (blauwe pijl).
Scalaire notatie M¯
In de figuur in de vorige paragraaf werkt de kracht (rode pijl) op de hendel in een hoek van 90o. In het algemeen kan het onder absoluut elke hoek worden toegepast. Bekijk de afbeelding hieronder.
Hier zien we dat de kracht F al onder een bepaalde hoek Φ op de hefboom L werkt. Voor dit systeem zal de formule voor het krachtmoment ten opzichte van een punt (aangegeven door een pijl) in scalaire vorm de vorm aannemen:
M=LFsin(Φ)
Uit de uitdrukking volgt dat het moment van kracht M groter zal zijn, hoe dichter de richting van de werking van kracht F bij de hoek 90o ten opzichte van L ligt Omgekeerd, als F langs L werkt, dan is sin(0)=0 en creëert de kracht geen moment (M=0).
Bij het beschouwen van het krachtmoment in scalaire vorm, wordt vaak het concept "hefboom van kracht" gebruikt. Deze waarde is de afstand tussen de as (puntrotatie) en de vector F. Als we deze definitie toepassen op de bovenstaande figuur, kunnen we zeggen dat d=Lsin(Φ) de hefboom van kracht is (de gelijkheid volgt uit de definitie van de trigonometrische functie "sinus"). Via de hefboom van kracht kan de formule voor het moment M als volgt worden herschreven:
M=dF
Fysieke betekenis van M
De beschouwde fysieke grootheid bepa alt het vermogen van de externe kracht F om een rotatie-effect op het systeem uit te oefenen. Om het lichaam in een roterende beweging te brengen, is het noodzakelijk om het op een bepaald moment te informeren M.
Een goed voorbeeld van dit proces is het openen of sluiten van de deur naar een kamer. De persoon houdt de hendel vast, spant zich in en draait de deur op zijn scharnieren. Iedereen kan het. Als u probeert de deur te openen door erop te handelen in de buurt van de scharnieren, dan zult u grote inspanningen moeten leveren om hem te verplaatsen.
Een ander voorbeeld is het losdraaien van een moer met een sleutel. Hoe korter deze sleutel is, hoe moeilijker het is om de taak te voltooien.
De aangegeven kenmerken worden gedemonstreerd door de formule van het krachtmoment over de schouder, die in de vorige paragraaf is gegeven. Als M als een constante waarde wordt beschouwd, dan moet hoe kleiner d, hoe groter F worden toegepast om een bepaald krachtmoment te creëren.
Verschillende werkende krachten in het systeem
De gevallen werden hierboven beschouwd waarin slechts één kracht F inwerkt op een systeem dat kan draaien, maar wat als er meerdere van dergelijke krachten zijn? Deze situatie komt inderdaad vaker voor, omdat krachten op het systeem kunnen inwerkenverschillende aard (zwaartekracht, elektrisch, wrijving, mechanisch en andere). In al deze gevallen kan het resulterende krachtmoment M¯ worden verkregen met behulp van de vectorsom van alle momenten Mi¯, d.w.z.:
M¯=∑i(Mi¯), waarbij i het sterktegetal is Fi
Uit de eigenschap van de optelsom van momenten volgt een belangrijke conclusie, die de stelling van Varignon wordt genoemd, genoemd naar de wiskundige van de late 17e - begin 18e eeuw - de Fransman Pierre Varignon. Het luidt: "De som van de momenten van alle krachten die op het betreffende systeem inwerken, kan worden weergegeven als een moment van één kracht, die gelijk is aan de som van alle andere en wordt toegepast op een bepaald punt." Wiskundig kan de stelling als volgt worden geschreven:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Deze belangrijke stelling wordt in de praktijk vaak gebruikt om problemen met de rotatie en balans van lichamen op te lossen.
Werkt een moment van kracht?
Als we de bovenstaande formules in scalaire of vectorvorm analyseren, kunnen we concluderen dat de waarde van M wat werk is. De afmeting is inderdaad Nm, wat in SI overeenkomt met de joule (J). In feite is het moment van kracht geen arbeid, maar slechts een hoeveelheid die daartoe in staat is. Om dit te laten gebeuren, is het noodzakelijk om een cirkelvormige beweging in het systeem te hebben en een langdurige actie M. Daarom is de formule voor de arbeid van het krachtmoment als volgt geschreven:
A=Mθ
BIn deze uitdrukking is θ de hoek waarover de rotatie is gemaakt door het moment van kracht M. Als resultaat kan de werkeenheid worden geschreven als Nmrad of Jrad. Een waarde van 60 Jrad geeft bijvoorbeeld aan dat bij rotatie met 1 radiaal (ongeveer 1/3 van de cirkel), de kracht F ontstaat die het moment veroorzaakt dat M 60 joule arbeid deed. Deze formule wordt vaak gebruikt bij het oplossen van problemen in systemen waar wrijvingskrachten optreden, zoals hieronder zal worden getoond.
Moment van kracht en moment van momentum
Zoals getoond, leidt de impact van het moment M op het systeem tot het verschijnen van een roterende beweging erin. De laatste wordt gekenmerkt door een hoeveelheid die "momentum" wordt genoemd. Het kan worden berekend met behulp van de formule:
L=ikω
Hier is I het traagheidsmoment (een waarde die dezelfde rol speelt bij rotatie als de massa in de lineaire beweging van het lichaam), ω is de hoeksnelheid, het is gerelateerd aan de lineaire snelheid door de formule ω=v/r.
Beide momenten (momentum en kracht) zijn aan elkaar gerelateerd door de volgende uitdrukking:
M=Iα, waarbij α=dω / dt de hoekversnelling is.
Laten we een andere formule geven die belangrijk is voor het oplossen van problemen voor het werk van momenten van krachten. Met deze formule kun je de kinetische energie van een roterend lichaam berekenen. Ze ziet er zo uit:
Ek=1/2Iω2
Vervolgens presenteren we twee problemen met oplossingen, waarin we laten zien hoe we de overwogen fysieke formules kunnen gebruiken.
Evenwicht van verschillende lichamen
De eerste taak heeft betrekking op het evenwicht van een systeem waarin verschillende krachten werken. Op deOnderstaande figuur toont een systeem waarop drie krachten werken. Het is noodzakelijk om te berekenen welke massa het object aan deze hefboom moet worden opgehangen en op welk punt dit moet worden gedaan om dit systeem in balans te brengen.
Uit de voorwaarden van het probleem kunnen we opmaken dat men de stelling van Varignon moet gebruiken om het op te lossen. Het eerste deel van het probleem kan onmiddellijk worden beantwoord, aangezien het gewicht van het object dat aan de hendel moet worden gehangen zal zijn:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
De tekens hier zijn gekozen rekening houdend met het feit dat de kracht die de hendel tegen de klok in draait een negatief moment creëert.
De positie van punt d, waar dit gewicht moet worden opgehangen, wordt berekend met de formule:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4.714 m
Merk op dat met behulp van de formule voor het moment van zwaartekracht, we de equivalente waarde M hebben berekend van de waarde gecreëerd door drie krachten. Om het systeem in evenwicht te brengen, moet een lichaam met een gewicht van 35 N op een punt 4.714 m van de as aan de andere kant van de hendel worden opgehangen.
Bewegende schijfprobleem
De oplossing van het volgende probleem is gebaseerd op het gebruik van de formule voor het moment van de wrijvingskracht en de kinetische energie van het omwentelingslichaam. Taak: Gegeven een schijf met een straal van r=0,3 meter, die roteert met een snelheid van ω=1 rad/s. Het is noodzakelijk om te berekenen hoe ver het op het oppervlak kan reizen als de rolwrijvingscoëfficiënt Μ=0,001 is.
Dit probleem is het gemakkelijkst op te lossen als je de wet van behoud van energie gebruikt. We hebben de initiële kinetische energie van de schijf. Wanneer het begint te rollen, wordt al deze energie besteed aan het verwarmen van het oppervlak door de werking van de wrijvingskracht. Als we beide grootheden gelijkstellen, krijgen we de uitdrukking:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Het eerste deel van de formule is de kinetische energie van de schijf. Het tweede deel is de arbeid van het moment van de wrijvingskracht F=ΜN/r, toegepast op de rand van de schijf (M=Fr).
Gegeven dat N=mg en I=1/2mr2, berekenen we θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40.0019.81)=2.29358 rad
Aangezien 2pi radialen overeenkomen met de lengte van 2pir, krijgen we dat de vereiste afstand die de schijf zal afleggen is:
s=θr=2.293580.3=0.688m of ongeveer 69cm
Merk op dat de massa van de schijf dit resultaat niet beïnvloedt.
