Het is onwaarschijnlijk dat veel mensen erover nadenken of het mogelijk is om gebeurtenissen te berekenen die min of meer willekeurig zijn. In eenvoudige bewoordingen, is het realistisch om te weten welke kant van de dobbelsteen in de dobbelsteen er als volgende uit zal vallen. Het was deze vraag die twee grote wetenschappers stelden, die de basis legden voor een wetenschap als de waarschijnlijkheidstheorie, waarin de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis vrij uitgebreid wordt bestudeerd.
Oorsprong
Als je zo'n concept als waarschijnlijkheidstheorie probeert te definiëren, krijg je het volgende: dit is een van de takken van de wiskunde die de constantheid van willekeurige gebeurtenissen bestudeert. Natuurlijk onthult dit concept niet echt de hele essentie, dus het is noodzakelijk om het in meer detail te bekijken.
Ik wil beginnen met de makers van de theorie. Zoals hierboven vermeld, waren het er twee, dit zijn Pierre Fermat en Blaise Pascal. Zij waren de eersten die probeerden de uitkomst van een gebeurtenis te berekenen met behulp van formules en wiskundige berekeningen. Over het algemeen verschenen de beginselen van deze wetenschap al inMiddeleeuwen. In die tijd probeerden verschillende denkers en wetenschappers gokken te analyseren, zoals roulette, craps, enzovoort, en zo een patroon en percentage vast te stellen van een bepaald aantal dat uitviel. De basis werd in de zeventiende eeuw gelegd door bovengenoemde wetenschappers.
In het begin kon hun werk niet worden toegeschreven aan de geweldige prestaties op dit gebied, omdat alles wat ze deden gewoon empirische feiten waren, en de experimenten visueel werden opgezet, zonder het gebruik van formules. Na verloop van tijd bleek het geweldige resultaten te behalen, die verschenen als gevolg van het observeren van het gooien van dobbelstenen. Het was deze tool die hielp om de eerste begrijpelijke formules af te leiden.
Associates
Het is onmogelijk om iemand als Christian Huygens niet te noemen, terwijl hij bezig is met het bestuderen van een onderwerp dat 'waarschijnlijkheidstheorie' wordt genoemd (de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis wordt precies in deze wetenschap behandeld). Deze persoon is erg interessant. Hij probeerde, net als de hierboven gepresenteerde wetenschappers, de regelmaat van willekeurige gebeurtenissen af te leiden in de vorm van wiskundige formules. Het is opmerkelijk dat hij dit niet samen met Pascal en Fermat deed, dat wil zeggen dat al zijn werken op geen enkele manier met deze geesten kruisten. Huygens heeft de basisconcepten van de kansrekening afgeleid.
Een interessant feit is dat zijn werk lang voor de resultaten van het pionierswerk uitkwam, of liever twintig jaar eerder. Onder de aangewezen concepten zijn de meest bekende:
- het concept van waarschijnlijkheid als een grootte van kans;
- verwachting voor discreetgevallen;
- stellingen van vermenigvuldiging en optelling van kansen.
Het is ook onmogelijk om Jacob Bernoulli niet te herinneren, die ook een belangrijke bijdrage heeft geleverd aan de studie van het probleem. Door zijn eigen tests uit te voeren, onafhankelijk van wie dan ook, slaagde hij erin een bewijs te leveren van de wet van de grote getallen. Op hun beurt konden de wetenschappers Poisson en Laplace, die aan het begin van de negentiende eeuw werkten, de oorspronkelijke stellingen bewijzen. Vanaf dit moment begon de kansrekening te worden gebruikt om fouten in de loop van waarnemingen te analyseren. Ook Russische wetenschappers, of liever Markov, Chebyshev en Dyapunov, konden niet om deze wetenschap heen. Op basis van het werk van de grote genieën hebben ze dit onderwerp als een tak van de wiskunde vastgelegd. Deze figuren werkten al aan het eind van de negentiende eeuw, en dankzij hun bijdrage, fenomenen als:
- wet van de grote getallen;
- Markov-kettingtheorie;
- centrale limietstelling.
Dus, met de geschiedenis van de geboorte van de wetenschap en met de belangrijkste mensen die haar hebben beïnvloed, is alles min of meer duidelijk. Nu is het tijd om alle feiten te concretiseren.
Basisconcepten
Alvorens in te gaan op wetten en stellingen, is het de moeite waard om de basisconcepten van de kansrekening te bestuderen. Het evenement neemt daarin de hoofdrol. Dit onderwerp is vrij omvangrijk, maar zonder dit is het niet mogelijk om al het andere te begrijpen.
Een gebeurtenis in de kanstheorie is een reeks uitkomsten van een experiment. Er zijn niet zo veel concepten van dit fenomeen. Dus, wetenschapper Lotman,werkzaam in dit gebied, zei dat we het in dit geval hebben over iets dat "is gebeurd, hoewel het misschien niet is gebeurd."
Willekeurige gebeurtenissen (waarschijnlijkheidstheorie besteedt speciale aandacht aan hen) is een concept dat absoluut elk fenomeen impliceert dat kan voorkomen. Of omgekeerd gebeurt dit scenario mogelijk niet wanneer aan veel voorwaarden wordt voldaan. Het is ook de moeite waard om te weten dat het willekeurige gebeurtenissen zijn die het hele volume van verschijnselen die hebben plaatsgevonden vastleggen. Waarschijnlijkheidstheorie geeft aan dat alle voorwaarden constant kunnen worden herhaald. Het was hun gedrag dat "ervaring" of "test" werd genoemd.
Een bepaalde gebeurtenis is er een die 100% zal plaatsvinden in een bepaalde test. Dienovereenkomstig is een onmogelijke gebeurtenis er een die niet zal plaatsvinden.
Combinatie van een paar acties (conventioneel geval A en geval B) is een fenomeen dat gelijktijdig optreedt. Ze worden aangeduid als AB.
De som van paren van gebeurtenissen A en B is C, met andere woorden, als minstens één van hen plaatsvindt (A of B), dan zal C worden verkregen. De formule van het beschreven fenomeen wordt als volgt geschreven: C=A + B.
Disjuncte gebeurtenissen in de kanstheorie impliceren dat twee gevallen elkaar uitsluiten. Ze kunnen nooit tegelijkertijd gebeuren. Gezamenlijke gebeurtenissen in de kansrekening zijn hun tegenpool. Dit houdt in dat als A is gebeurd, het B niet hindert.
Tegenovergestelde gebeurtenissen (waarschijnlijkheidstheorie behandelt ze tot in detail) zijn gemakkelijk te begrijpen. Het is het beste om ze in vergelijking te behandelen. Ze zijn bijna hetzelfde alsen onverenigbare gebeurtenissen in de kansrekening. Maar hun verschil ligt in het feit dat een van de vele fenomenen toch moet gebeuren.
Equivalente gebeurtenissen zijn die acties waarvan de mogelijkheid gelijk is. Om het duidelijker te maken, kunnen we ons het opgooien van een munt voorstellen: de val van de ene kant is even waarschijnlijk als de andere.
Een gunstige gebeurtenis is gemakkelijker te zien met een voorbeeld. Laten we zeggen dat er aflevering B en aflevering A is. De eerste is de worp van de dobbelstenen met het uiterlijk van een oneven getal, en de tweede is het verschijnen van het getal vijf op de dobbelsteen. Dan blijkt dat A de voorkeur geeft aan B.
Onafhankelijke gebeurtenissen in de kansrekening worden alleen geprojecteerd op twee of meer gevallen en impliceren de onafhankelijkheid van elke actie van een andere. A is bijvoorbeeld het verlies van staarten wanneer een munt wordt opgeworpen, en B is het trekken van een boer van het kaartspel. Het zijn onafhankelijke gebeurtenissen in de kansrekening. Met dit moment werd het duidelijker.
Afhankelijke gebeurtenissen in de kanstheorie zijn ook alleen toelaatbaar voor hun verzameling. Ze impliceren de afhankelijkheid van de een van de ander, dat wil zeggen dat het fenomeen B alleen kan optreden als A al is gebeurd of, integendeel, niet heeft plaatsgevonden, terwijl dit de belangrijkste voorwaarde voor B is.
De uitkomst van een willekeurig experiment dat uit één component bestaat, zijn elementaire gebeurtenissen. Waarschijnlijkheidstheorie legt uit dat dit een fenomeen is dat slechts één keer is voorgekomen.
Basisformules
Dus, de concepten van "gebeurtenis", "waarschijnlijkheidstheorie",de definitie van de basistermen van deze wetenschap werd ook gegeven. Nu is het tijd om direct kennis te maken met de belangrijke formules. Deze uitdrukkingen bevestigen wiskundig alle hoofdconcepten in zo'n moeilijk onderwerp als kansrekening. De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis speelt hier ook een grote rol.
Beter beginnen met de basisformules van combinatoriek. En voordat we ermee verder gaan, is het de moeite waard om te overwegen wat het is.
Combinatoriek is in de eerste plaats een tak van de wiskunde, het houdt zich bezig met de studie van een groot aantal gehele getallen, evenals verschillende permutaties van zowel de getallen zelf als hun elementen, verschillende gegevens, enz., Wat leidt tot het verschijnen van een aantal combinaties. Naast de kansrekening is deze tak van belang voor statistiek, informatica en cryptografie.
Dus nu kunnen we verder gaan met het presenteren van de formules zelf en het definiëren ervan.
De eerste is de uitdrukking voor het aantal permutaties, het ziet er als volgt uit:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Vergelijking is alleen van toepassing als elementen alleen in volgorde verschillen.
Nu zal de plaatsingsformule worden overwogen, het ziet er als volgt uit:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Deze uitdrukking is niet alleen van toepassing op de volgorde van het element, maar ook op de samenstelling ervan.
De derde vergelijking uit combinatoriek, en het is ook de laatste, wordt de formule voor het aantal combinaties genoemd:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Combinaties zijn selecties die respectievelijk niet zijn geordend, en deze regel is daarop van toepassing.
Het bleek gemakkelijk om de formules van combinatoriek te achterhalen, nu kunnen we verder gaan met de klassieke definitie van kansen. Deze uitdrukking ziet er als volgt uit:
P(A)=m: n.
In deze formule is m het aantal gunstige voorwaarden voor gebeurtenis A, en is n het aantal van absoluut alle even mogelijke en elementaire uitkomsten.
Er zijn een groot aantal uitdrukkingen, het artikel zal ze niet allemaal behandelen, maar de belangrijkste zullen worden besproken, zoals bijvoorbeeld de waarschijnlijkheid van de som van gebeurtenissen:
P(A + B)=P(A) + P(B) - deze stelling is alleen voor het toevoegen van incompatibele gebeurtenissen;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - en deze is om alleen compatibele toe te voegen.
Kans op het produceren van evenementen:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – deze stelling is voor onafhankelijke gebeurtenissen;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - en deze is voor verslaafden
De gebeurtenisformule beëindigt de lijst. Kansrekening vertelt ons over de stelling van Bayes, die er als volgt uitziet:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
In deze formule is H1, H2, …, H de complete groep hypothesen.
Laten we hier stoppen, dan zullen voorbeelden worden beschouwd van het toepassen van formules om specifieke problemen uit de praktijk op te lossen.
Voorbeelden
Als je een sectie zorgvuldig bestudeertwiskunde kan het niet zonder oefeningen en voorbeeldoplossingen. Dat geldt ook voor de waarschijnlijkheidstheorie: gebeurtenissen, voorbeelden hier zijn een integraal onderdeel dat wetenschappelijke berekeningen bevestigt.
Formule voor het aantal permutaties
Laten we zeggen dat er dertig kaarten in een pak kaarten zitten, te beginnen met de nominale waarde één. Volgende vraag. Hoeveel manieren zijn er om de stapel zo te stapelen dat kaarten met een nominale waarde van één en twee niet naast elkaar liggen?
De taak is ingesteld, laten we nu verder gaan met het oplossen ervan. Eerst moet je het aantal permutaties van dertig elementen bepalen, hiervoor nemen we de bovenstaande formule, het blijkt P_30=30!.
Op basis van deze regel zullen we uitvinden hoeveel opties er zijn om de stapel op verschillende manieren te vouwen, maar we moeten diegene aftrekken waarin de eerste en tweede kaart de volgende zijn. Om dit te doen, laten we beginnen met de optie wanneer de eerste boven de tweede staat. Het blijkt dat de eerste kaart negenentwintig plaatsen kan innemen - van de eerste tot de negenentwintigste, en de tweede kaart van de tweede tot de dertigste, het blijken negenentwintig plaatsen te zijn voor een paar kaarten. De rest kan op zijn beurt achtentwintig plaatsen innemen, en in willekeurige volgorde. Dat wil zeggen, voor een permutatie van achtentwintig kaarten zijn er achtentwintig opties P_28=28!
Als gevolg hiervan blijkt dat als we kijken naar de oplossing als de eerste kaart over de tweede is, er 29 ⋅ 28 extra mogelijkheden zijn!=29!
Met dezelfde methode moet je het aantal overtollige opties berekenen voor het geval dat de eerste kaart onder de tweede ligt. Het wordt ook 29 ⋅ 28!=29!
Hieruit volgt dat er 2 ⋅ 29 extra opties zijn!, terwijl er 30 vereiste manieren zijn om een kaartspel te bouwen! - 2 ⋅ 29!. Het blijft alleen om te tellen.
30!=29! 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Nu moet je alle getallen van één tot negenentwintig met elkaar vermenigvuldigen en aan het eind alles met 28 vermenigvuldigen. Het antwoord is 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Oplossing van het voorbeeld. Formule voor plaatsingsnummer
In dit probleem moet je uitzoeken hoeveel manieren er zijn om vijftien delen op één plank te plaatsen, maar op voorwaarde dat er in totaal dertig delen zijn.
Dit probleem heeft een iets eenvoudigere oplossing dan het vorige. Met behulp van de al bekende formule is het nodig om het totale aantal locaties te berekenen uit dertig delen van vijftien.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000
Het antwoord is respectievelijk 202 843 204 931 727 360 000.
Laten we de taak nu wat moeilijker nemen. Je moet uitzoeken hoeveel manieren er zijn om dertig boeken op twee boekenplanken te rangschikken, op voorwaarde dat er maar vijftien delen op één plank kunnen staan.
Voordat ik met de oplossing begin, wil ik graag verduidelijken dat sommige problemen op verschillende manieren worden opgelost, dus er zijn twee manieren in deze, maar in beide wordt dezelfde formule gebruikt.
In deze opgave kun je het antwoord uit de vorige nemen, want daar hebben we berekend hoe vaak je een plank met vijftien boeken kunt vullen voor-anders. Het bleek A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
We zullen de tweede plank berekenen met behulp van de permutatieformule, omdat er vijftien boeken in worden geplaatst, terwijl er nog maar vijftien over zijn. Gebruik de formule P_15=15!.
Het blijkt dat het totaal A_30^15 ⋅ P_15 manieren zal zijn, maar bovendien moet het product van alle getallen van dertig tot zestien worden vermenigvuldigd met het product van getallen van één tot vijftien, zoals een resultaat, het product van alle getallen van één tot dertig, dus het antwoord is 30!
Maar dit probleem kan op een andere manier worden opgelost - gemakkelijker. Om dit te doen, kun je je voorstellen dat er één plank is voor dertig boeken. Ze zijn allemaal op dit vlak geplaatst, maar aangezien de voorwaarde vereist dat er twee planken zijn, snijden we een lange doormidden, het worden er twee vijftien elk. Hieruit blijkt dat de plaatsingsopties P_30=30!.
kunnen zijn
Oplossing van het voorbeeld. Formule voor combinatienummer
Nu zullen we een variant van het derde probleem uit combinatoriek bekijken. Je moet uitzoeken hoeveel manieren er zijn om vijftien boeken te rangschikken, op voorwaarde dat je moet kiezen uit dertig absoluut identieke.
Voor de oplossing wordt natuurlijk de formule voor het aantal combinaties toegepast. Uit de conditie blijkt dat de volgorde van de identieke vijftien boeken niet belangrijk is. Daarom moet u in eerste instantie het totale aantal combinaties van dertig boeken van vijftien weten.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: vijftien !=155 117 520
Dat is het. Met behulp van deze formule was het in de kortst mogelijke tijd mogelijkom een dergelijk probleem op te lossen, is het antwoord respectievelijk 155 117 520.
Oplossing van het voorbeeld. De klassieke definitie van waarschijnlijkheid
Met de bovenstaande formule kun je het antwoord op een eenvoudig probleem vinden. Maar het zal helpen om de gang van zaken visueel te zien en te volgen.
In de opgave staat dat er tien absoluut identieke ballen in de urn zitten. Hiervan zijn er vier geel en zes blauw. Er wordt één bal uit de urn gehaald. Je moet weten hoe groot de kans is dat je blauw wordt.
Om het probleem op te lossen, is het noodzakelijk om het krijgen van de blauwe bal aan te duiden als gebeurtenis A. Deze ervaring kan tien uitkomsten hebben, die op hun beurt elementair en even waarschijnlijk zijn. Tegelijkertijd zijn zes van de tien gunstig voor gebeurtenis A. We lossen op volgens de formule:
P(A)=6: 10=0, 6
Door deze formule toe te passen, kwamen we erachter dat de kans om de blauwe bal te krijgen 0,6 is.
Oplossing van het voorbeeld. Waarschijnlijkheid van de som van gebeurtenissen
Nu wordt een variant gepresenteerd, die wordt opgelost met behulp van de formule voor de kans op de som van gebeurtenissen. Dus, in de voorwaarde dat er twee dozen zijn, bevat de eerste één grijze en vijf witte ballen, en de tweede bevat acht grijze en vier witte ballen. Als gevolg hiervan werd een van hen uit de eerste en tweede doos gehaald. Je moet uitzoeken wat de kans is dat de ballen die je krijgt grijs en wit zijn.
Om dit probleem op te lossen, moet je de gebeurtenissen een label geven.
- Dus, A - pak een grijze bal uit het eerste vak: P(A)=1/6.
- A’ – pak ook een witte bal uit het eerste vakje: P(A')=5/6.
- B – de grijze bal is al uit de tweede doos gehaald: P(B)=2/3.
- B’ – pak een grijze bal uit het tweede vakje: P(B')=1/3.
Volgens de toestand van het probleem moet een van de verschijnselen plaatsvinden: AB' of A'B. Met behulp van de formule krijgen we: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Nu is de kansvermenigvuldigingsformule gebruikt. Vervolgens, om het antwoord te vinden, moet je de vergelijking toepassen voor hun toevoeging:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=18/11.
Zo kun je met behulp van de formule soortgelijke problemen oplossen.
Resultaat
Het artikel gaf informatie over het onderwerp "Kanstheorie", waarin de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis een cruciale rol speelt. Natuurlijk werd niet met alles rekening gehouden, maar op basis van de gepresenteerde tekst kan men theoretisch kennis maken met dit deel van de wiskunde. De wetenschap in kwestie kan niet alleen nuttig zijn in het professionele werk, maar ook in het dagelijks leven. Met zijn hulp kun je elke mogelijkheid van een evenement berekenen.
De tekst raakte ook belangrijke data in de geschiedenis van de vorming van kansrekening als wetenschap, en de namen van mensen wiens werken erin geïnvesteerd waren. Dit is hoe menselijke nieuwsgierigheid ertoe leidde dat mensen zelfs willekeurige gebeurtenissen leerden berekenen. Ooit waren ze er gewoon in geïnteresseerd, maar tegenwoordig weet iedereen het al. En niemand zal zeggen wat ons in de toekomst te wachten staat, welke andere briljante ontdekkingen met betrekking tot de beschouwde theorie zullen worden gedaan. Maar één ding is zeker: het onderzoek staat niet stil!
