Als de lineaire beweging van lichamen wordt beschreven in de klassieke mechanica met behulp van de wetten van Newton, dan worden de kenmerken van de beweging van mechanische systemen langs cirkelvormige banen berekend met behulp van een speciale uitdrukking, die de momentenvergelijking wordt genoemd. Over welke momenten hebben we het en wat is de betekenis van deze vergelijking? Deze en andere vragen worden onthuld in het artikel.
Moment van kracht
Iedereen is zich terdege bewust van de Newtoniaanse kracht, die, inwerkend op het lichaam, leidt tot het verlenen van versnelling eraan. Wanneer zo'n kracht wordt uitgeoefend op een object dat op een bepaalde rotatie-as is gefixeerd, dan wordt deze eigenschap meestal het krachtmoment genoemd. De krachtmomentvergelijking kan als volgt worden geschreven:
M¯=L¯F¯
De afbeelding die deze uitdrukking uitlegt wordt hieronder getoond.
Hier kun je zien dat de kracht F¯ onder een hoek Φ op de vector L¯ is gericht. De vector L¯ zelf wordt verondersteld te zijn gericht vanaf de rotatie-as (aangegeven door de pijl) naar het aangrijpingspuntF¯.
De bovenstaande formule is een product van twee vectoren, dus M¯ is ook directioneel. Waar wordt het krachtmoment M¯ gedraaid? Dit kan worden bepaald door de rechterhandregel (vier vingers zijn gericht langs het traject van het einde van de vector L¯ naar het einde van F¯, en de linkerduim geeft de richting van M¯ aan).
In de bovenstaande afbeelding zal de uitdrukking voor het krachtmoment in scalaire vorm de vorm aannemen:
M=LFsin(Φ)
Als je goed naar de figuur kijkt, zie je dat Lsin(Φ)=d, dan hebben we de formule:
M=dF
De waarde van d is een belangrijk kenmerk bij het berekenen van het krachtmoment, omdat het de effectiviteit van de toegepaste F op het systeem weerspiegelt. Deze waarde wordt de hefboom van kracht genoemd.
De fysieke betekenis van M ligt in het vermogen van de kracht om het systeem te roteren. Iedereen kan dit vermogen voelen als ze de deur openen aan de hendel, hem dicht bij de scharnieren duwen, of als ze proberen de moer los te draaien met een korte en lange sleutel.
Evenwicht van het systeem
Het concept van het krachtmoment is erg handig bij het beschouwen van het evenwicht van een systeem waarop meerdere krachten werken en een as of rotatiepunt heeft. Pas in dergelijke gevallen de formule toe:
∑iMi¯=0
Dat wil zeggen, het systeem zal in evenwicht zijn als de som van alle krachtmomenten die erop worden uitgeoefend nul is. Merk op dat er in deze formule een vectorteken is over het moment, dat wil zeggen dat men bij het oplossen niet moet vergeten rekening te houden met het teken hiervanhoeveelheden. De algemeen aanvaarde regel is dat de werkende kracht die het systeem tegen de klok in draait een positieve Mi¯.
creëert
Een treffend voorbeeld van dit soort problemen zijn problemen met de balans van de hefbomen van Archimedes.
Moment van momentum
Dit is een ander belangrijk kenmerk van cirkelvormige beweging. In de natuurkunde wordt het beschreven als het product van het momentum en de hefboom. De impulsvergelijking ziet er als volgt uit:
T¯=r¯p¯
Hier is p¯ de momentumvector, r¯ is de vector die het roterende materiaalpunt verbindt met de as.
De onderstaande afbeelding illustreert deze uitdrukking.
Hier is ω de hoeksnelheid, die verder in de momentvergelijking zal verschijnen. Merk op dat de richting van de vector T¯ wordt gevonden door dezelfde regel als M¯. In de bovenstaande figuur v alt T¯ in richting samen met de hoeksnelheidsvector ω¯.
De fysieke betekenis van T¯ is hetzelfde als de kenmerken van p¯ in het geval van lineaire beweging, d.w.z. impulsmoment beschrijft de hoeveelheid rotatiebeweging (opgeslagen kinetische energie).
Traagheidsmoment
Het derde belangrijke kenmerk, zonder welke het onmogelijk is om de bewegingsvergelijking van een roterend object te formuleren, is het traagheidsmoment. Het verschijnt in de natuurkunde als resultaat van wiskundige transformaties van de formule voor het impulsmoment van een materieel punt. Laten we je laten zien hoe het moet.
Laten we ons de waarde eens voorstellenT¯ als volgt:
T¯=r¯mv¯, waarbij p¯=mv¯
Gebruikmakend van de relatie tussen hoek- en lineaire snelheden, kunnen we deze uitdrukking als volgt herschrijven:
T¯=r¯mr¯ω¯, waarbij v¯=r¯ω¯
Schrijf de laatste uitdrukking als volgt:
T¯=r2mω¯
De waarde r2m is het traagheidsmoment I voor een massapunt m dat een cirkelvormige beweging maakt om een as op een afstand r daarvan. Dit speciale geval stelt ons in staat om de algemene vergelijking van het traagheidsmoment voor een lichaam met een willekeurige vorm te introduceren:
I=∫m (r2dm)
I is een additieve grootheid, waarvan de betekenis ligt in de traagheid van het roterende systeem. Hoe groter ik, hoe moeilijker het is om het lichaam rond te draaien, en het kost veel moeite om het te stoppen.
Momentvergelijking
We hebben drie grootheden overwogen, waarvan de naam begint met het woord "moment". Dit is opzettelijk gedaan, omdat ze allemaal verbonden zijn in één uitdrukking, de 3-momentenvergelijking. Laten we het eruit halen.
Beschouw de uitdrukking voor het impulsmoment T¯:
T¯=Iω¯
Zoek hoe de waarde van T¯ verandert in de tijd, we hebben:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Aangezien de afgeleide van de hoeksnelheid gelijk is aan die van de lineaire snelheid gedeeld door r, en de waarde van I uitbreidend, komen we tot de uitdrukking:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, waarbij a¯=dv¯/dt lineaire versnelling is.
Merk op dat het product van massa en versnelling niets anders is dan de werkende externe kracht F¯. Als resultaat krijgen we:
dT¯/dt=rF¯=M¯
We kwamen tot een interessante conclusie: de verandering in het impulsmoment is gelijk aan het moment van de optredende externe kracht. Deze uitdrukking wordt meestal in een iets andere vorm geschreven:
M¯=Iα¯, waarbij α¯=dω¯/dt - hoekversnelling.
Deze gelijkheid wordt de momentenvergelijking genoemd. Hiermee kunt u elk kenmerk van een roterend lichaam berekenen, waarbij u de parameters van het systeem kent en de omvang van de externe impact erop.
Instandhoudingswet T¯
De conclusie die in de vorige paragraaf is verkregen, geeft aan dat als het externe krachtmoment gelijk is aan nul, het impulsmoment niet zal veranderen. In dit geval schrijven we de uitdrukking:
T¯=const. of I1ω1¯=I2ω2 ¯
Deze formule wordt de wet van behoud van T¯ genoemd. Dat wil zeggen dat eventuele veranderingen binnen het systeem het totale impulsmoment niet veranderen.
Dit feit wordt gebruikt door kunstschaatsers en ballerina's tijdens hun optredens. Het wordt ook gebruikt als het nodig is om een kunstmatige satelliet te roteren die in de ruimte rond zijn as beweegt.
