Vaak zijn er in de wiskundige wetenschap een aantal moeilijkheden en vragen, en veel van de antwoorden zijn niet altijd duidelijk. Geen uitzondering was zo'n onderwerp als de kardinaliteit van verzamelingen. In feite is dit niets meer dan een numerieke uitdrukking van het aantal objecten. In algemene zin is een verzameling een axioma; het heeft geen definitie. Het is gebaseerd op alle objecten, of liever hun verzameling, die leeg, eindig of oneindig kan zijn. Bovendien bevat het gehele getallen of natuurlijke getallen, matrices, rijen, segmenten en lijnen.
Over bestaande variabelen
Een null of lege verzameling zonder intrinsieke waarde wordt als een kardinaal element beschouwd omdat het een subset is. De verzameling van alle deelverzamelingen van een niet-lege verzameling S is een verzameling verzamelingen. De vermogensverzameling van een bepaalde verzameling wordt dus als veel, denkbaar, maar enkelvoudig beschouwd. Deze verzameling wordt de verzameling machten van S genoemd en wordt aangeduid met P (S). Als S N elementen bevat, dan bevat P(S) 2^n deelverzamelingen, aangezien een deelverzameling van P(S) ofwel ∅ is, ofwel een deelverzameling met r-elementen uit S, r=1, 2, 3, … Samengesteld uit alles oneindigverzameling M wordt een machtsgrootheid genoemd en wordt symbolisch aangeduid met P (M).
Elementen van de verzamelingenleer
Dit kennisgebied is ontwikkeld door George Cantor (1845-1918). Tegenwoordig wordt het in bijna alle takken van de wiskunde gebruikt en dient het als het fundamentele onderdeel ervan. In de verzamelingenleer worden elementen weergegeven in de vorm van een lijst en worden ze gegeven door typen (lege verzameling, singleton, eindige en oneindige verzamelingen, gelijk en equivalent, universeel), unie, snijpunt, verschil en optelling van getallen. In het dagelijks leven hebben we het vaak over een verzameling voorwerpen zoals een sleutelbos, een zwerm vogels, een pak kaarten, enz. In wiskunde graad 5 en hoger zijn er natuurlijke, gehele, priemgetallen en samengestelde getallen.
De volgende sets kunnen worden overwogen:
- natuurlijke getallen;
- letters van het alfabet;
- primaire kansen;
- driehoeken met verschillende kanten.
Het is te zien dat deze gespecificeerde voorbeelden goed gedefinieerde verzamelingen objecten zijn. Overweeg nog een paar voorbeelden:
- vijf beroemdste wetenschappers ter wereld;
- zeven mooie meisjes in de samenleving;
- drie beste chirurgen.
Deze kardinaliteitsvoorbeelden zijn geen goed gedefinieerde verzamelingen objecten, omdat de criteria voor "meest bekende", "mooiste", "beste" van persoon tot persoon verschillen.
Sets
Deze waarde is een goed gedefinieerd aantal verschillende objecten. Ervan uitgaande dat:
- wordset is een synoniem, aggregaat, klasse en bevat elementen;
- objecten, leden zijn gelijke termen;
- sets worden meestal aangeduid met hoofdletters A, B, C;
- set elementen worden weergegeven door kleine letters a, b, c.
Als "a" een element is van de verzameling A, dan wordt er gezegd dat "a" bij A hoort. Laten we de uitdrukking "behoort" aanduiden met het Griekse teken "∈" (epsilon). Het blijkt dus dat a A. Als 'b' een element is dat niet tot A behoort, wordt dit weergegeven als b ∉ A. Enkele belangrijke verzamelingen die in de wiskunde van graad 5 worden gebruikt, worden weergegeven met behulp van de drie volgende methoden:
- toepassingen;
- registers of tabel;
- regel voor het maken van een formatie.
Bij nader onderzoek is het aanvraagformulier gebaseerd op het volgende. In dit geval wordt een duidelijke beschrijving van de elementen van de set gegeven. Ze zijn allemaal ingesloten in accolades. Bijvoorbeeld:
- set van oneven getallen kleiner dan 7 - geschreven als {minder dan 7};
- een reeks getallen groter dan 30 en kleiner dan 55;
- aantal leerlingen in een klas dat meer weegt dan de leraar.
In het register (tabel) worden de elementen van een set vermeld tussen een paar haakjes {} en gescheiden door komma's. Bijvoorbeeld:
- Laat N de verzameling van de eerste vijf natuurlijke getallen aanduiden. Daarom, N=→ registreer formulier
- Set van alle klinkers van het Engelse alfabet. Vandaar V={a, e, i, o, u, y} → registreer formulier
- De verzameling van alle oneven getallen is kleiner dan 9. Daarom is X={1, 3, 5, 7} → vormregister
- Set van alle letters in het woord "Math". Daarom Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registerformulier
- W is de set van de laatste vier maanden van het jaar. Daarom, W={september, oktober, november, december} → register.
Merk op dat de volgorde waarin de elementen worden vermeld er niet toe doet, maar ze mogen niet worden herhaald. Een gevestigde vorm van constructie, in een bepaald geval, wordt een regel, formule of operator tussen haakjes geschreven, zodat de set correct is gedefinieerd. In het setbuilderformulier moeten alle elementen dezelfde eigenschap hebben om lid te worden van de betreffende waarde.
In deze vorm van setrepresentatie wordt een element van de set beschreven met het teken "x" of een andere variabele gevolgd door een dubbele punt (":" of "|" wordt gebruikt om aan te geven). Stel bijvoorbeeld dat P de verzameling telbare getallen is die groter is dan 12. P in de set-buildervorm wordt geschreven als - {telbaar getal en groter dan 12}. Het leest op een bepaalde manier. Dat wil zeggen: "P is een verzameling x-elementen zodat x aftelbaar is en groter dan 12."
Opgelost voorbeeld met behulp van drie set-representatiemethoden: aantal gehele getallen tussen -2 en 3. Hieronder staan voorbeelden van verschillende soorten sets:
- Een lege of null-set die geen enkel element bevat en wordt aangeduid met het symbool ∅ en wordt gelezen als phi. In lijstvorm wordt ∅ geschreven {}. De eindige verzameling is leeg, aangezien het aantal elementen 0 is. De verzameling gehele getallen is bijvoorbeeld kleiner dan 0.
- Natuurlijk zou er geen <0 moeten zijn. Daarom ditlege set.
- Een set die slechts één variabele bevat, wordt een singleton-set genoemd. Is niet enkelvoudig of samengesteld.
Einde verzameling
Een verzameling die een bepaald aantal elementen bevat, wordt een eindige of oneindige verzameling genoemd. Leeg verwijst naar de eerste. Bijvoorbeeld een set van alle kleuren in de regenboog.
Oneindig is een verzameling. De elementen erin zijn niet op te sommen. Dat wil zeggen dat het bevatten van vergelijkbare variabelen een oneindige verzameling wordt genoemd. Voorbeelden:
- kracht van de verzameling van alle punten in het vlak;
- set van alle priemgetallen.
Maar je moet begrijpen dat alle kardinaliteiten van de vereniging van een set niet kunnen worden uitgedrukt in de vorm van een lijst. Bijvoorbeeld reële getallen, omdat hun elementen niet overeenkomen met een bepaald patroon.
Het hoofdtelwoord van een verzameling is het aantal verschillende elementen in een gegeven hoeveelheid A. Het wordt aangeduid met n (A).
Bijvoorbeeld:
- A {x: x ∈ N, x <5}. EEN={1, 2, 3, 4}. Daarom is n (A)=4.
- B=reeks letters in het woord ALGEBRA.
Equivalente sets voor setvergelijking
Twee kardinaliteiten van een verzameling A en B zijn zodanig als hun hoofdtelwoord hetzelfde is. Het symbool voor de equivalente set is "↔". Bijvoorbeeld: A ↔ B.
Gelijke verzamelingen: twee kardinaliteiten van verzamelingen A en B als ze dezelfde elementen bevatten. Elke coëfficiënt van A is een variabele van B en elk van B is de gespecificeerde waarde van A. Daarom, A=B. De verschillende soorten kardinaliteitsverenigingen en hun definities worden uitgelegd aan de hand van de gegeven voorbeelden.
Essentie van eindigheid en oneindigheid
Wat zijn de verschillen tussen de kardinaliteit van een eindige verzameling en een oneindige verzameling?
De eerste waarde heeft de volgende naam als deze leeg is of een eindig aantal elementen heeft. In een eindige verzameling kan een variabele worden gespecificeerd als deze een beperkt aantal heeft. Gebruik bijvoorbeeld het natuurlijke getal 1, 2, 3. En het lijstproces eindigt op een N. Het aantal verschillende elementen geteld in de eindige verzameling S wordt aangegeven met n (S). Het wordt ook orde of kardinaal genoemd. Symbolisch aangeduid volgens het standaardprincipe. Dus als de verzameling S het Russische alfabet is, dan bevat deze 33 elementen. Het is ook belangrijk om te onthouden dat een element niet meer dan één keer in een set voorkomt.
Oneindig in de verzameling
Een verzameling wordt oneindig genoemd als de elementen niet kunnen worden opgesomd. Als het een onbegrensd (dat wil zeggen, ontelbaar) natuurlijk getal 1, 2, 3, 4 heeft voor elke n. Een verzameling die niet eindig is, wordt oneindig genoemd. We kunnen nu voorbeelden bespreken van de beschouwde numerieke waarden. Eindwaarde opties:
- Let Q={natuurlijke getallen kleiner dan 25}. Dan is Q een eindige verzameling en n (P)=24.
- Let R={gehele getallen tussen 5 en 45}. Dan is R een eindige verzameling en n (R)=38.
- Let S={getallen modulo 9}. Dan S={-9, 9} is een eindige verzameling en n (S)=2.
- Set van alle mensen.
- Aantal van alle vogels.
Oneindige voorbeelden:
- aantal bestaande punten op het vliegtuig;
- aantal van alle punten in het lijnsegment;
- de verzameling positieve gehele getallen deelbaar door 3 is oneindig;
- alle gehele en natuurlijke getallen.
Vanuit de bovenstaande redenering is het dus duidelijk hoe onderscheid te maken tussen eindige en oneindige verzamelingen.
Kracht van de continuümverzameling
Als we de set en andere bestaande waarden vergelijken, wordt er een toevoeging aan de set toegevoegd. Als ξ universeel is en A een deelverzameling van ξ, dan is het complement van A het aantal van alle elementen van ξ die geen elementen van A zijn. Symbolisch gezien is het complement van A met betrekking tot ξ A'. Bijvoorbeeld, 2, 4, 5, 6 zijn de enige elementen van ξ die niet bij A horen. Daarom is A'={2, 4, 5, 6}
Een set met kardinaliteitscontinuüm heeft de volgende kenmerken:
- complement van de universele hoeveelheid is de lege waarde in kwestie;
- deze nulsetvariabele is universeel;
- bedrag en zijn complement zijn onsamenhangend.
Bijvoorbeeld:
- Laat het aantal natuurlijke getallen een universele verzameling zijn en A even. Dan is A '{x: x een oneven verzameling met dezelfde cijfers}.
- Let ξ=verzameling letters in het alfabet. A=verzameling medeklinkers. Dan A '=aantal klinkers.
- De aanvulling op de universele set is de lege hoeveelheid. Kan worden aangeduid met ξ. Dan ξ '=De verzameling van die elementen die niet zijn opgenomen in ξ. De lege verzameling φ wordt geschreven en aangegeven. Daarom ξ=. De aanvulling op de universele verzameling is dus leeg.
In de wiskunde wordt 'continuüm' soms gebruikt om een echte lijn weer te geven. En meer in het algemeen, om vergelijkbare objecten te beschrijven:
- continuum (in verzamelingenleer) - echte lijn of corresponderend hoofdtelwoord;
- linear - elke geordende set die bepaalde eigenschappen van een echte lijn deelt;
- continuum (in topologie) - niet-lege compacte verbonden metrische ruimte (soms Hausdorff);
- de hypothese dat geen oneindige verzamelingen groter zijn dan gehele getallen maar kleiner dan reële getallen;
- de kracht van het continuüm is een hoofdtelwoord dat de grootte van de verzameling reële getallen weergeeft.
In wezen een continuüm (meting), theorieën of modellen die geleidelijke overgangen van de ene toestand naar de andere verklaren zonder enige abrupte verandering.
Problemen van unie en kruising
Het is bekend dat het snijpunt van twee of meer verzamelingen het getal is dat alle elementen bevat die in deze waarden voorkomen. Woordtaken op verzamelingen worden opgelost om basisideeën te krijgen over het gebruik van de unie en intersectie-eigenschappen van verzamelingen. Opgelost de belangrijkste problemen van woorden opsets zien er als volgt uit:
Laat A en B twee eindige verzamelingen zijn. Ze zijn zodanig dat n (A)=20, n (B)=28 en n (A B)=36, vind n (A ∩ B)
Relatie in sets met behulp van Venn-diagram:
- De vereniging van twee verzamelingen kan worden weergegeven door een gearceerd gebied dat A B voorstelt. A ∪ B wanneer A en B onsamenhangende verzamelingen zijn.
- Het snijpunt van twee verzamelingen kan worden weergegeven door een Venn-diagram. Met gearceerd gebied voor A ∩ B.
- Het verschil tussen de twee sets kan worden weergegeven door Venn-diagrammen. Met een gearceerd gebied dat A - B voorstelt.
- Relatie tussen drie sets met behulp van een Venn-diagram. Als ξ een universele grootheid voorstelt, dan zijn A, B en C drie deelverzamelingen. Hier overlappen alle drie de sets elkaar.
Samenvattende set-informatie
De kardinaliteit van een verzameling wordt gedefinieerd als het totale aantal individuele elementen in de verzameling. En de laatst opgegeven waarde wordt beschreven als het aantal van alle subsets. Bij het bestuderen van dergelijke vraagstukken zijn methoden, methoden en oplossingen nodig. Dus voor de kardinaliteit van een verzameling kunnen de volgende voorbeelden dienen als:
Laat A={0, 1, 2, 3}| |=4, waar | een | vertegenwoordigt de kardinaliteit van set A.
Nu kun je je powerpack vinden. Het is ook vrij eenvoudig. Zoals reeds gezegd, wordt de vermogensset ingesteld uit alle subsets van een bepaald aantal. Dus men zou in principe alle variabelen, elementen en andere waarden van A moeten definiëren,welke zijn {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Nu bedenken P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} die 16 elementen heeft. Dus de kardinaliteit van de verzameling A=16. Het is duidelijk dat dit een vervelende en omslachtige methode is om dit probleem op te lossen. Er is echter een eenvoudige formule waarmee u direct het aantal elementen in de machtenverzameling van een bepaald getal kunt weten. | P |=2 ^ N, waarbij N het aantal elementen in een A is. Deze formule kan worden verkregen met behulp van eenvoudige combinatoriek. Dus de vraag is 2^11 aangezien het aantal elementen in set A 11.
is
Dus, een verzameling is elke numeriek uitgedrukte hoeveelheid, die elk mogelijk object kan zijn. Bijvoorbeeld auto's, mensen, cijfers. In wiskundige zin is dit concept breder en algemener. Als in de beginfase de getallen en opties voor hun oplossing zijn uitgezocht, dan zijn in de middelste en hogere fasen de voorwaarden en taken gecompliceerd. In feite wordt de kardinaliteit van de vereniging van een verzameling bepaald door het behoren van het object tot een groep. Dat wil zeggen, één element behoort tot een klasse, maar heeft een of meer variabelen.
