Om het simpel en kort te zeggen, het bereik is de waarden die elke functie kan aannemen. Om dit onderwerp volledig te onderzoeken, moet u de volgende punten en concepten geleidelijk uit elkaar halen. Laten we eerst de definitie van de functie en de geschiedenis van het uiterlijk begrijpen.
Wat is een functie
Alle exacte wetenschappen bieden ons veel voorbeelden waarbij de variabelen in kwestie op de een of andere manier van elkaar afhankelijk zijn. De dichtheid van een stof wordt bijvoorbeeld volledig bepaald door zijn massa en volume. De druk van een ideaal gas bij constant volume varieert met de temperatuur. Deze voorbeelden worden verenigd door het feit dat alle formules afhankelijkheden hebben tussen variabelen, die functioneel worden genoemd.
Een functie is een concept dat de afhankelijkheid van de ene grootheid van de andere uitdrukt. Het heeft de vorm y=f(x), waarbij y de waarde is van de functie, die afhangt van x - het argument. We kunnen dus zeggen dat y een variabele is die afhankelijk is van de waarde van x. De waarden die x samen kunnen aannemen zijnhet domein van de gegeven functie (D(y) of D(f)), en dienovereenkomstig vormen de waarden van y de reeks functiewaarden (E(f) of E(y)). Er zijn gevallen waarin een functie wordt gegeven door een formule. In dit geval bestaat het definitiedomein uit de waarde van dergelijke variabelen, waarbij de notatie met de formule zinvol is.
Er zijn overeenkomende of gelijke kenmerken. Dit zijn twee functies met een gelijk bereik van geldige waarden, en de waarden van de functie zelf zijn gelijk voor dezelfde argumenten.
Veel wetten van de exacte wetenschappen hebben dezelfde naam als situaties in het echte leven. Er is ook zo'n interessant feit over de wiskundige functie. Er is een stelling over de limiet van een functie "ingeklemd" tussen twee andere die dezelfde limiet hebben - over twee politieagenten. Ze leggen het als volgt uit: aangezien twee politieagenten een gevangene naar een cel tussen hen in leiden, wordt de crimineel gedwongen daarheen te gaan en heeft hij gewoon geen keus.
Historische functiereferentie
Het concept van een functie is niet meteen definitief en precies geworden, het heeft een lange weg afgelegd om te worden. Ten eerste verklaarde Fermat's Introduction and Study of Plane and Solid Places, gepubliceerd in de late 17e eeuw, het volgende:
Wanneer er twee onbekenden in de uiteindelijke vergelijking zijn, is er ruimte.
In het algemeen spreekt dit werk over functionele afhankelijkheid en zijn materiële beeld (plaats=lijn).
Ook rond dezelfde tijd bestudeerde Rene Descartes de lijnen aan de hand van hun vergelijkingen in zijn werk "Geometry" (1637), waar opnieuw het feitafhankelijkheid van twee grootheden van elkaar.
De vermelding van de term 'functie' verscheen pas aan het einde van de 17e eeuw bij Leibniz, maar niet in zijn moderne interpretatie. In zijn wetenschappelijk werk was hij van mening dat een functie bestaat uit verschillende segmenten die verband houden met een gebogen lijn.
Maar al in de 18e eeuw begon de functie correcter te worden gedefinieerd. Bernoulli schreef het volgende:
Een functie is een waarde die bestaat uit een variabele en een constante.
Eulers gedachten kwamen hier ook dichtbij:
Een variabele hoeveelheidsfunctie is een analytische uitdrukking die op de een of andere manier bestaat uit deze variabele hoeveelheid en getallen of constante hoeveelheden.
Als sommige grootheden zo afhankelijk zijn van andere dat wanneer de laatste veranderen, ze zelf veranderen, dan worden de eerste functies van de laatste genoemd.
Functiegrafiek
De grafiek van de functie bestaat uit alle punten die behoren tot de assen van het coördinatenvlak, waarvan de abscis de waarden van het argument aannemen, en de waarden van de functie op deze punten zijn coördinaten.
De reikwijdte van een functie is direct gerelateerd aan zijn grafiek, want als een abscis wordt uitgesloten door het bereik van geldige waarden, dan moet u lege punten op de grafiek tekenen of de grafiek binnen bepaalde limieten tekenen. Als bijvoorbeeld een grafiek van de vorm y=tgx wordt genomen, wordt de waarde x=pi / 2 + pin, n∉R uitgesloten van het definitiegebied, in het geval van een raaklijngrafiek moet u tekenenverticale lijnen evenwijdig aan de y-as (ze worden asymptoten genoemd) die door de punten ±pi/2. gaan
Elke grondige en zorgvuldige studie van functies vormt een grote tak van wiskunde die calculus wordt genoemd. In de elementaire wiskunde komen ook elementaire vragen over functies aan bod, bijvoorbeeld het bouwen van een eenvoudige grafiek en het vaststellen van enkele basiseigenschappen van een functie.
Welke functie kan worden ingesteld op
Functie kan:
- een formule zijn, bijvoorbeeld: y=cos x;
- set door een tabel van paren van de vorm (x; y);
- direct een grafische weergave hebben, hiervoor moeten de paren uit het vorige item van het formulier (x; y) op de coördinaatassen worden weergegeven.
Wees voorzichtig bij het oplossen van enkele problemen op hoog niveau, bijna elke uitdrukking kan worden beschouwd als een functie met betrekking tot een argument voor de waarde van de functie y (x). Het vinden van het domein van definitie in dergelijke taken kan de sleutel tot de oplossing zijn.
Waarvoor is het toepassingsgebied?
Het eerste dat u over een functie moet weten om deze te bestuderen of te bouwen, is de reikwijdte ervan. De grafiek mag alleen die punten bevatten waar de functie kan bestaan. Het domein van definitie (x) kan ook worden aangeduid als het domein van acceptabele waarden (afgekort als ODZ).
Om correct en snel een grafiek van functies te bouwen, moet u het domein van deze functie kennen, omdat het uiterlijk van de grafiek en de betrouwbaarheid ervan afhangenbouw. Om bijvoorbeeld een functie y=√x te construeren, moet je weten dat x alleen positieve waarden kan aannemen. Daarom is het alleen gebouwd in het eerste coördinatenkwadrant.
Reikwijdte van de definitie van het voorbeeld van elementaire functies
In haar arsenaal heeft wiskunde een klein aantal eenvoudige, gedefinieerde functies. Ze hebben een beperkte reikwijdte. De oplossing voor dit probleem zal geen problemen opleveren, zelfs niet als u een zogenaamde complexe functie voor u heeft. Het is gewoon een combinatie van een aantal simpele.
- De functie kan dus fractioneel zijn, bijvoorbeeld: f(x)=1/x. Dus de variabele (ons argument) zit in de noemer, en iedereen weet dat de noemer van een breuk niet gelijk kan zijn aan 0, daarom kan het argument elke waarde aannemen behalve 0. De notatie ziet er als volgt uit: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Als er een uitdrukking is met een variabele in de noemer, dan moet je de vergelijking voor x oplossen en de waarden uitsluiten die de noemer op 0 zetten. Voor een schematische weergave zijn 5 goed gekozen punten voldoende. De grafiek van deze functie is een hyperbool met een verticale asymptoot die door het punt (0; 0) gaat en, in combinatie, de assen Ox en Oy. Als de grafische afbeelding de asymptoten kruist, wordt een dergelijke fout als de meest grove beschouwd.
- Maar wat is het domein van de root? Het domein van een functie met een worteluitdrukking (f(x)=√(2x + 5)), die een variabele bevat, heeft ook zijn eigen nuances (geldt alleen voor de wortel van een even graad). Alsde rekenkundige wortel is een positieve uitdrukking of gelijk aan 0, dan moet de worteluitdrukking groter dan of gelijk zijn aan 0, we lossen de volgende ongelijkheid op: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, dus het domein hiervan functie: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). De grafiek is een van de takken van een parabool, 90 graden gedraaid, in het eerste coördinatenkwadrant.
- Als we te maken hebben met een logaritmische functie, onthoud dan dat er een beperking is met betrekking tot de basis van de logaritme en de uitdrukking onder het teken van de logaritme, in dit geval kun je het definitiedomein vinden als volgt. We hebben een functie: y=loga(x + 7), we lossen de ongelijkheid op: x + 7 > 0, x > -7. Dan is het domein van deze functie D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Let ook op trigonometrische functies van de vorm y=tgx en y=ctgx, aangezien y=tgx=sinx/cos/x en y=ctgx=cosx/sinx, daarom moet u waarden uitsluiten waarbij de noemer gelijk kan zijn aan nul. Als u bekend bent met de grafieken van trigonometrische functies, is het begrijpen van hun domein een eenvoudige taak.
Hoe werkt het anders met complexe functies
Onthoud een paar basisregels. Als we met een complexe functie werken, dan is het niet nodig om iets op te lossen, te vereenvoudigen, breuken op te tellen, te reduceren tot de kleinste gemene deler en wortels te extraheren. We moeten deze functie onderzoeken omdat verschillende (zelfs identieke) bewerkingen het bereik van de functie kunnen veranderen, wat resulteert in een onjuist antwoord.
We hebben bijvoorbeeld een complexe functie: y=(x2 - 4)/(x - 2). We kunnen de teller en noemer van de breuk niet verkleinen, omdat dit alleen mogelijk is als x ≠ 2, en dit is de taak om het domein van de functie te vinden, dus we houden geen rekening met de teller en lossen geen ongelijkheden op, omdat de waarde waarbij de functie niet bestaat, zichtbaar voor het blote oog. In dit geval kan x geen waarde 2 aannemen, aangezien de noemer niet naar 0 kan gaan, ziet de notatie er als volgt uit: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Wederzijdse functies
Om te beginnen is het de moeite waard om te zeggen dat een functie alleen omkeerbaar kan worden met een interval van toename of afname. Om de inverse functie te vinden, moet je x en y in de notatie omwisselen en de vergelijking voor x oplossen. Domeinen van definitie en domeinen van waarde zijn gewoon omgedraaid.
De belangrijkste voorwaarde voor omkeerbaarheid is een monotoon interval van een functie, als een functie intervallen heeft van toename en afname, dan is het mogelijk om de inverse functie van een willekeurig interval (toenemend of afnemend) samen te stellen.
Voor de exponentiële functie y=ex is de reciproke bijvoorbeeld de natuurlijke logaritmische functie y=logea=lna. Voor trigonometrie zijn dit functies met het voorvoegsel arc-: y=sinx en y=arcsinx enzovoort. Grafieken worden symmetrisch geplaatst ten opzichte van sommige assen of asymptoten.
Conclusies
Zoeken naar het bereik van acceptabele waarden komt neer op het onderzoeken van de grafiek van functies (als die er is),het vastleggen en oplossen van het noodzakelijke specifieke systeem van ongelijkheden.
Dus, dit artikel heeft je geholpen te begrijpen waar de reikwijdte van een functie voor is en hoe je deze kunt vinden. We hopen dat het je zal helpen om de basiscursus goed te begrijpen.
