Bij het woord "oneindig" heeft elke persoon zijn eigen associaties. Velen tekenen in hun verbeelding de zee die voorbij de horizon reikt, terwijl anderen een beeld van een eindeloze sterrenhemel voor hun ogen hebben. Wiskundigen, die gewend zijn om met getallen te werken, stellen zich de oneindigheid op een heel andere manier voor. Al vele eeuwen proberen ze de grootste van de fysieke grootheden te vinden die nodig zijn om te meten. Een daarvan is het Graham-nummer. Hoeveel nullen erin zitten en waarvoor het wordt gebruikt, zal dit artikel uitwijzen.
Oneindig groot aantal
In de wiskunde is dit de naam van zo'n variabele x , als men voor een bepaald positief getal M een natuurlijk getal N kan specificeren zodat voor alle getallen n groter dan N de ongelijkheid |x | > M. Nee, bijvoorbeeld, geheel getal Z kan als oneindig groot worden beschouwd, omdat het altijd kleiner zal zijn dan (Z + 1).
Een paar woorden over "reuzen"
De grootste getallen met een fysieke betekenis worden beschouwd als:
- 1080. Dit getal, dat gewoonlijk een quinquavigintillion wordt genoemd, wordt gebruikt om het geschatte aantal quarks en leptonen (de kleinste deeltjes) in het heelal aan te duiden.
- 1 Google. Zo'n getal in het decimale stelsel wordt geschreven als een eenheid met 100 nullen. Volgens sommige wiskundige modellen zou er vanaf het moment van de oerknal tot de explosie van het meest massieve zwarte gat 1 tot 1,5 googol-jaar moeten verstrijken, waarna ons universum naar de laatste fase van zijn bestaan zal gaan, d.w.z. we kunnen neem aan dat dit nummer een bepaalde fysieke betekenis heeft.
- 8, 5 x 10185. De constante van Planck is 1,616199 x 10-35 m, d.w.z. in decimale notatie lijkt het op 0,0000000000000000000000000000000616199 m. Er zijn ongeveer 1 googol Planck-lengte in een inch. Geschat wordt dat ongeveer 8,5 x 10185 Planck-lengtes in ons hele universum passen.
- 277 232 917 – 1. Dit is het grootste bekende priemgetal. Als de binaire notatie een vrij compacte vorm heeft, dan zal het niet minder dan 13 miljoen tekens nodig hebben om het in decimale vorm weer te geven. Het werd in 2017 gevonden als onderdeel van een project om Mersenne-nummers te zoeken. Als enthousiastelingen in deze richting blijven werken, is het onwaarschijnlijk dat ze op het huidige ontwikkelingsniveau van de computertechnologie in de nabije toekomst een Mersenne-getal kunnen vinden met een orde van grootte groter dan 277 232 917- 1, hoewel zulkede gelukkige winnaar ontvangt US$150.000.
- Hugoplex. Hier nemen we gewoon 1 en voegen er nullen aan toe in de hoeveelheid van 1 googol. U kunt dit nummer schrijven als 10^10^100. Het is onmogelijk om het in decimale vorm weer te geven, want als de hele ruimte van het heelal is gevuld met stukjes papier, waarop elk 0 zou worden geschreven met een lettergrootte "Woord" van 10, dan is in dit geval slechts de helft van alle 0 na 1 zou worden verkregen voor het googolplex-nummer.
- 10^10^10^10^10^1.1. Dit is een getal dat het aantal jaren aangeeft waarna, volgens de stelling van Poincaré, ons heelal, als gevolg van willekeurige kwantumfluctuaties, zal terugkeren naar een toestand die dicht bij vandaag ligt.
Hoe de nummers van Graham tot stand kwamen
In 1977 publiceerde de bekende popularisator van de wetenschap Martin Gardner een artikel in Scientific American over Grahams bewijs van een van de problemen van Ramse's theorie. Daarin noemde hij de door de wetenschapper vastgestelde limiet het grootste getal dat ooit is gebruikt in serieus wiskundig redeneren.
Wie is Ronald Lewis Graham
De wetenschapper, nu in de 80, werd geboren in Californië. In 1962 behaalde hij een doctoraat in de wiskunde aan de Universiteit van Berkeley. Hij werkte 37 jaar bij Bell Labs en stapte later over naar AT&T Labs. De wetenschapper werkte actief samen met een van de grootste wiskundigen van de 20e eeuw, Pal Erdős, en is de winnaar van vele prestigieuze prijzen. Graham's wetenschappelijke bibliografie bevat meer dan 320 wetenschappelijke artikelen.
Halverwege de jaren 70 was de wetenschapper geïnteresseerd in het probleem dat verband houdt met de theorieRamsey. In zijn bewijs werd de bovengrens van de oplossing bepaald, wat een zeer groot aantal is, en vervolgens genoemd naar Ronald Graham.
Hyperkubusprobleem
Om de essentie van het Graham-getal te begrijpen, moet je eerst begrijpen hoe het is verkregen.
De wetenschapper en zijn collega Bruce Rothschild waren het volgende probleem aan het oplossen:
Er is een n-dimensionale hyperkubus. Alle paren van zijn hoekpunten zijn zo verbonden dat een volledige graaf met 2hoekpunten wordt verkregen. Elk van de randen is blauw of rood gekleurd. Het was nodig om het minimumaantal hoekpunten te vinden dat een hyperkubus zou moeten hebben, zodat elke dergelijke kleur een volledige monochromatische subgraaf bevat met 4 hoekpunten die in hetzelfde vlak liggen.
Beslissing
Graham en Rothschild bewezen dat het probleem een oplossing N' heeft die voldoet aan de voorwaarde 6 ⩽ N' ⩽N waarbij N een goed gedefinieerd, zeer groot getal is.
De ondergrens voor N werd vervolgens verfijnd door andere wetenschappers, die bewezen dat N groter dan of gelijk moet zijn aan 13. Zo werd de uitdrukking voor het kleinste aantal hoekpunten van een hyperkubus die voldoet aan de hierboven gepresenteerde voorwaarden 13 ⩽ N'⩽ N.
Knuth's pijlnotatie
Voordat u het Graham-getal definieert, moet u zich vertrouwd maken met de methode van de symbolische weergave, aangezien decimale of binaire notatie hiervoor absoluut geschikt is.
Momenteel wordt de pijlnotatie van Knuth gebruikt om deze hoeveelheid weer te geven. Volgens haar:
ab=een "pijl omhoog" b.
Voor de werking van meervoudige machtsverheffing werd de invoer geïntroduceerd:
a "pijl omhoog" "pijl omhoog" b=ab="een toren bestaande uit a in het aantal b stukken."
En voor pentatie, d.w.z. symbolische aanduiding van herhaalde machtsverheffing van de vorige operator, gebruikte Knuth al 3 pijlen.
Als we deze notatie gebruiken voor het Graham-getal, hebben we "pijl"-reeksen in elkaar genest, in een hoeveelheid van 64 stuks.
Schaal
Hun beroemde getal, dat de verbeelding prikkelt en de grenzen van het menselijk bewustzijn verlegt en het buiten de grenzen van het heelal brengt, hebben Graham en zijn collega's verkregen als een bovengrens voor het getal N in het bewijs van de hyperkubus bovenstaand probleem. Het is buitengewoon moeilijk voor een gewoon persoon om zich voor te stellen hoe groot de schaal is.
De kwestie van het aantal karakters, of zoals het soms ten onrechte wordt gezegd, nullen in het getal van Graham, is van belang voor bijna iedereen die voor het eerst over deze waarde hoort.
Het volstaat te zeggen dat we te maken hebben met een snelgroeiende reeks die uit 64 leden bestaat. Zelfs de eerste term is onmogelijk voor te stellen, aangezien deze bestaat uit n "torens", bestaande uit 3-to. De "onderste verdieping" van 3 triples is al gelijk aan 7.625.597.484.987, d.w.z. het overschrijdt 7 miljard, dat wil zeggen over de 64e verdieping (geen lid!). Het is dus momenteel onmogelijk om precies te zeggen wat het Graham-getal is, omdat het niet voldoende is om het te berekenen.de gecombineerde kracht van alle computers die tegenwoordig op aarde bestaan.
Record verbroken?
Tijdens het bewijzen van de stelling van Kruskal werd het getal van Graham "van zijn voetstuk gegooid". De wetenschapper stelde het volgende probleem voor:
Er is een oneindige reeks eindige bomen. Kruskal bewees dat er altijd een gedeelte van een grafiek bestaat, die zowel deel uitmaakt van een grotere grafiek als de exacte kopie ervan. Deze stelling roept geen twijfel op, aangezien het duidelijk is dat er altijd een exact herhalende combinatie op oneindig zal zijn
Later heeft Harvey Friedman dit probleem enigszins verkleind door alleen zulke acyclische grafieken (bomen) te beschouwen dat er voor een bepaalde met coëfficiënt i hoogstens (i + k) hoekpunten zijn. Hij besloot uit te zoeken wat het aantal acyclische grafieken zou moeten zijn, zodat het met deze methode van hun taak altijd mogelijk zou zijn om een subboom te vinden die in een andere boom zou worden ingebed.
Als resultaat van onderzoek naar dit onderwerp, bleek dat N, afhankelijk van k, met een enorme snelheid groeit. In het bijzonder, als k=1, dan is N=3. Echter, bij k=2, bereikt N al 11. Het meest interessante begint wanneer k=3. In dit geval "stijgt N" snel en bereikt een waarde die vele malen groter is dan het Grahamgetal. Om je voor te stellen hoe groot het is, volstaat het om het door Ronald Graham berekende getal op te schrijven in de vorm van G64 (3). Dan zal de Friedman-Kruskal-waarde (rev. FinKraskal(3)) in de orde van G(G(187196)) zijn. Met andere woorden, er wordt een megawaarde verkregen, die oneindig veel groter iseen onvoorstelbaar groot Graham-getal. Tegelijkertijd zal zelfs het een gigantisch aantal keren minder dan oneindig zijn. Het is logisch om meer in detail over dit concept te praten.
Oneindig
Nu we hebben uitgelegd wat het Graham-getal op de vingers is, moeten we de betekenis begrijpen die is en wordt geïnvesteerd in dit filosofische concept. Immers, "oneindig" en "een oneindig groot aantal" kunnen in een bepaalde context als identiek worden beschouwd.
De grootste bijdrage aan de studie van deze kwestie werd geleverd door Aristoteles. De grote denker uit de oudheid verdeelde oneindigheid in potentieel en actueel. Met dat laatste bedoelde hij de realiteit van het bestaan van oneindige dingen.
Volgens Aristoteles zijn de bronnen van ideeën over dit fundamentele concept:
- tijd;
- scheiding van waarden;
- het concept van de grens en het bestaan van iets daarbuiten;
- de onuitputtelijkheid van de creatieve natuur;
- denken dat geen grenzen kent.
In de moderne interpretatie van oneindigheid kun je geen kwantitatieve maat opgeven, dus het zoeken naar het grootste getal kan eeuwig doorgaan.
Conclusie
Kunnen de metafoor "Blik in het oneindige" en het getal van Graham in zekere zin als synoniemen worden beschouwd? Liever ja en nee. Beide zijn onmogelijk voor te stellen, zelfs met de sterkste verbeeldingskracht. Zoals reeds vermeld, kan het echter niet als "het meest, het meest" worden beschouwd. Een ander ding is dat op dit moment waarden groter dan het Graham-getal geen vaste waarde hebbenfysiek gevoel.
Het heeft ook niet de eigenschappen van een oneindig aantal, zoals:
- ∞ + 1=∞;
- er is een oneindig aantal van zowel oneven als even getallen;
- ∞ - 1=∞;
- het aantal oneven getallen is precies de helft van alle getallen;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Samenvattend: het getal van Graham is het grootste getal in de praktijk van wiskundig bewijs, volgens het Guinness Book of Records. Er zijn echter getallen die vele malen groter zijn dan deze waarde.
Hoogstwaarschijnlijk zal er in de toekomst behoefte zijn aan nog grotere "reuzen", vooral als een persoon verder gaat dan ons zonnestelsel of iets onvoorstelbaars uitvindt op het huidige niveau van ons bewustzijn.
