De axiomatische methode is een manier om wetenschappelijke theorieën te construeren die al bestaan. Het is gebaseerd op argumenten, feiten, verklaringen die geen bewijs of weerlegging vereisen. In feite wordt deze versie van kennis gepresenteerd in de vorm van een deductieve structuur, die in eerste instantie een logische onderbouwing van de inhoud omvat vanuit de grondbeginselen - axioma's.
Deze methode kan geen ontdekking zijn, maar is slechts een classificerend concept. Het is meer geschikt voor het onderwijs. De basis bevat de initiële bepalingen en de rest van de informatie volgt als logisch gevolg. Waar is de axiomatische methode om een theorie te construeren? Het vormt de kern van de meeste moderne en gevestigde wetenschappen.
Vorming en ontwikkeling van het concept van axiomatische methode, definitie van het woord
Allereerst is dit concept ontstaan in het oude Griekenland dankzij Euclides. Hij werd de grondlegger van de axiomatische methode in de meetkunde. Tegenwoordig is het gebruikelijk in alle wetenschappen, maar vooral in de wiskunde. Deze methode wordt gevormd op basis van gevestigde uitspraken en de daaropvolgende theorieën worden afgeleid door logische constructie.
Dit wordt als volgt uitgelegd: er zijn woorden en concepten diegedefinieerd door andere termen. Als gevolg hiervan kwamen de onderzoekers tot de conclusie dat er elementaire conclusies zijn die gerechtvaardigd en constant zijn - fundamentele, dat wil zeggen axioma's. Als ze bijvoorbeeld een stelling bewijzen, vertrouwen ze meestal op feiten die al goed zijn vastgesteld en die geen weerlegging vereisen.
Vroeger moesten ze echter worden onderbouwd. Daarbij blijkt dat een onredelijke uitspraak als axioma wordt aangenomen. Op basis van een reeks constante concepten worden andere stellingen bewezen. Ze vormen de basis van de planimetrie en zijn de logische structuur van de geometrie. De gevestigde axioma's in deze wetenschap worden gedefinieerd als objecten van welke aard dan ook. Ze hebben op hun beurt eigenschappen die worden gespecificeerd in constante concepten.
Verdere verkenning van de axioma's
De methode werd tot in de negentiende eeuw als ideaal beschouwd. De logische manier van zoeken naar basisconcepten werd in die tijd niet bestudeerd, maar in het Euclid-systeem kan men de structuur waarnemen van het verkrijgen van zinvolle consequenties uit de axiomatische methode. Het onderzoek van de wetenschapper toonde het idee hoe je een compleet systeem van geometrische kennis kunt krijgen op basis van een puur deductief pad. Ze kregen een relatief klein aantal beweerde axioma's aangeboden die aantoonbaar waar zijn.
Verdienste van oude Griekse geesten
Euclid bewees veel concepten, en sommige waren gerechtvaardigd. De meerderheid schrijft deze verdiensten echter toe aan Pythagoras, Democritus en Hippocrates. De laatste stelde een complete cursus geometrie samen. Toegegeven, later in Alexandrië kwam uitverzameling "Begin", waarvan de auteur Euclid was. Daarna werd het omgedoopt tot "Elementaire Geometrie". Na een tijdje begonnen ze hem te bekritiseren om een aantal redenen:
- alle waarden zijn alleen gebouwd met een liniaal en een kompas;
- geometrie en rekenkunde werden gescheiden en bewezen met geldige getallen en concepten;
- axioma's, waarvan sommige, in het bijzonder het vijfde postulaat, werden voorgesteld om van de algemene lijst te worden geschrapt.
Als gevolg hiervan verschijnt in de 19e eeuw een niet-euclidische meetkunde, waarin er geen objectief waar postulaat is. Deze actie gaf een impuls aan de verdere ontwikkeling van het geometrische systeem. Zo kwamen wiskundige onderzoekers tot deductieve constructiemethoden.
Ontwikkeling van wiskundige kennis op basis van axioma's
Toen zich een nieuw geometriesysteem begon te ontwikkelen, veranderde ook de axiomatische methode. In de wiskunde begonnen ze zich vaker tot een puur deductieve theorieconstructie te wenden. Als gevolg hiervan is er een heel systeem van bewijzen ontstaan in de moderne numerieke logica, het belangrijkste onderdeel van alle wetenschap. In de wiskundige structuur begon de noodzaak van rechtvaardiging te begrijpen.
Zo werden tegen het einde van de eeuw duidelijke taken en de constructie van complexe concepten gevormd, die van een complexe stelling werden teruggebracht tot de eenvoudigste logische verklaring. Zo stimuleerde de niet-euclidische meetkunde een solide basis voor het verdere bestaan van de axiomatische methode, evenals voor het oplossen van problemen van algemene aard.wiskundige constructies:
- consistentie;
- volheid;
- onafhankelijkheid.
Tijdens het proces ontstond een interpretatiemethode die met succes werd ontwikkeld. Deze methode wordt als volgt beschreven: voor elk outputconcept in de theorie wordt een wiskundig object ingesteld, waarvan het geheel een veld wordt genoemd. De verklaring over de opgegeven elementen kan onwaar of waar zijn. Als gevolg hiervan worden uitspraken benoemd afhankelijk van de conclusies.
Kenmerken van de theorie van interpretatie
In de regel wordt in het wiskundige systeem ook rekening gehouden met het veld en de eigenschappen, en dit kan op zijn beurt axiomatisch worden. De interpretatie bewijst uitspraken waarin sprake is van relatieve consistentie. Een extra optie is een aantal feiten waarbij de theorie tegenstrijdig wordt.
In sommige gevallen wordt zelfs aan de voorwaarde voldaan. Als gevolg hiervan blijkt dat als er twee valse of ware concepten zijn in de uitspraken van een van de uitspraken, deze als negatief of positief wordt beschouwd. Deze methode werd gebruikt om de consistentie van de geometrie van Euclides te bewijzen. Met behulp van de interpretatieve methode kan men de kwestie van de onafhankelijkheid van systemen van axioma's oplossen. Als je een theorie moet weerleggen, is het voldoende om te bewijzen dat een van de concepten niet is afgeleid van de andere en onjuist is.
Naast succesvolle uitspraken heeft de methode echter ook zwakke punten. Consistentie en onafhankelijkheid van systemen van axioma's worden opgelost als vragen die relatieve resultaten opleveren. De enige belangrijke prestatie van interpretatie is:ontdekking van de rol van rekenen als een structuur waarin de kwestie van consistentie wordt teruggebracht tot een aantal andere wetenschappen.
Moderne ontwikkeling van axiomatische wiskunde
De axiomatische methode begon zich te ontwikkelen in het werk van Gilbert. Op zijn school werd het concept van theorie en formeel systeem verduidelijkt. Als gevolg hiervan ontstond een algemeen systeem en werden wiskundige objecten nauwkeurig. Bovendien werd het mogelijk om de rechtvaardigingskwesties op te lossen. Een formeel systeem wordt dus geconstrueerd door een exacte klasse, die subsystemen van formules en stellingen bevat.
Om deze structuur te bouwen, hoeft u zich alleen te laten leiden door technisch gemak, omdat ze geen semantische belasting hebben. Ze kunnen worden gegraveerd met tekens, symbolen. Dat wil zeggen, in feite is het systeem zelf zo gebouwd dat de formele theorie adequaat en volledig kan worden toegepast.
Als resultaat wordt een specifiek wiskundig doel of taak in een theorie gegoten op basis van feitelijke inhoud of deductieve redenering. De taal van de numerieke wetenschap wordt overgebracht naar een formeel systeem, waarbij elke concrete en betekenisvolle uitdrukking wordt bepaald door de formule.
Formalisatiemethode
In de natuurlijke stand van zaken zal een dergelijke methode in staat zijn om mondiale problemen als consistentie op te lossen, evenals een positieve essentie van wiskundige theorieën op te bouwen volgens de afgeleide formules. En in principe zal dit alles worden opgelost door een formeel systeem op basis van bewezen verklaringen. Wiskundige theorieën werden voortdurend gecompliceerd door rechtvaardigingen, enGilbert stelde voor om deze structuur te onderzoeken met behulp van eindige methoden. Maar dit programma is mislukt. De resultaten van Gödel leidden al in de twintigste eeuw tot de volgende conclusies:
- natuurlijke consistentie is onmogelijk vanwege het feit dat geformaliseerde rekenkunde of andere soortgelijke wetenschap van dit systeem onvolledig zal zijn;
- onoplosbare formules verschenen;
- claims zijn niet te bewijzen.
Ware oordelen en redelijke eindige afwerking worden als formaliseerbaar beschouwd. Met dit in gedachten heeft de axiomatische methode bepaalde en duidelijke grenzen en mogelijkheden binnen deze theorie.
Resultaten van de ontwikkeling van axioma's in het werk van wiskundigen
Ondanks het feit dat sommige oordelen zijn weerlegd en niet goed zijn ontwikkeld, speelt de methode van constante concepten een belangrijke rol bij het vormgeven van de grondslagen van de wiskunde. Bovendien hebben interpretatie en de axiomatische methode in de wetenschap de fundamentele resultaten onthuld van consistentie, onafhankelijkheid van keuzeverklaringen en hypothesen in meervoudige theorieën.
Bij het aanpakken van de kwestie van consistentie, is het belangrijkste om niet alleen gevestigde concepten toe te passen. Ze moeten ook worden aangevuld met ideeën, concepten en middelen voor eindige afwerking. In dit geval worden verschillende opvattingen, methoden en theorieën overwogen, waarbij rekening moet worden gehouden met de logische betekenis en rechtvaardiging.
De consistentie van het formele systeem duidt op een vergelijkbare afwerking van rekenkunde, die is gebaseerd op inductie, tellen, transfiniete getallen. Op wetenschappelijk gebied is axiomatisering het belangrijksteeen tool met onweerlegbare concepten en uitspraken die als basis worden genomen.
De essentie van eerste uitspraken en hun rol in theorieën
Evaluatie van een axiomatische methode geeft aan dat een bepaalde structuur in zijn essentie ligt. Dit systeem is opgebouwd uit de identificatie van het onderliggende concept en fundamentele uitspraken die niet gedefinieerd zijn. Hetzelfde gebeurt met stellingen die als origineel worden beschouwd en zonder bewijs worden aanvaard. In de natuurwetenschappen worden zulke uitspraken ondersteund door regels, aannames, wetten.
Dan vindt het proces plaats om de gevestigde redeneringen vast te stellen. In de regel wordt onmiddellijk aangegeven dat een andere wordt afgeleid uit één positie, en daarbij komt de rest naar buiten, die in wezen samenv alt met de deductieve methode.
Kenmerken van het systeem in de moderne tijd
Het axiomatische systeem omvat:
- logische conclusies;
- termen en definities;
- gedeeltelijk onjuiste uitspraken en concepten.
In de moderne wetenschap heeft deze methode zijn abstractie verloren. Euclidische geometrische axiomatisering was gebaseerd op intuïtieve en ware proposities. En de theorie werd op een unieke, natuurlijke manier geïnterpreteerd. Tegenwoordig is een axioma een bepaling die op zichzelf duidelijk is, en een overeenkomst, en elke overeenkomst, kan fungeren als een eerste concept dat geen rechtvaardiging behoeft. Als gevolg hiervan zijn de oorspronkelijke waarden mogelijk verre van beschrijvend. Deze methode vereist creativiteit, kennis van relaties en onderliggende theorie.
Basisprincipes voor het trekken van conclusies
Deductief axiomatische methode is wetenschappelijke kennis, gebouwd volgens een bepaald schema, dat is gebaseerd op correct gerealiseerde hypothesen, waarbij uitspraken worden gedaan over empirische feiten. Zo'n conclusie wordt gebouwd op basis van logische structuren, door harde afleiding. Axioma's zijn aanvankelijk onweerlegbare uitspraken waarvoor geen bewijs nodig is.
Tijdens deductie worden bepaalde eisen gesteld aan de initiële concepten: consistentie, volledigheid, onafhankelijkheid. Zoals de praktijk laat zien, is de eerste voorwaarde gebaseerd op formeel logische kennis. Dat wil zeggen dat de theorie niet de betekenissen van waarheid en onwaarheid zou moeten hebben, omdat ze dan geen betekenis en waarde meer heeft.
Als niet aan deze voorwaarde wordt voldaan, wordt het als onverenigbaar beschouwd en gaat elke betekenis erin verloren, omdat de semantische lading tussen waarheid en onwaarheid verloren gaat. Deductief is de axiomatische methode een manier om wetenschappelijke kennis te construeren en te onderbouwen.
Praktische toepassing van de methode
De axiomatische methode voor het construeren van wetenschappelijke kennis heeft een praktische toepassing. In feite beïnvloedt en heeft deze manier een wereldwijde betekenis voor de wiskunde, hoewel deze kennis al zijn hoogtepunt heeft bereikt. Voorbeelden van de axiomatische methode zijn als volgt:
- affiene vlakken hebben drie uitspraken en een definitie;
- equivalentietheorie heeft drie bewijzen;
- binaire relaties zijn onderverdeeld in een systeem van definities, concepten en aanvullende oefeningen.
Als je de oorspronkelijke betekenis wilt formuleren, moet je de aard van verzamelingen en elementen kennen. In wezen vormde de axiomatische methode de basis van verschillende wetenschapsgebieden.
