Het belang van variabelen in de wiskunde is groot, omdat wetenschappers er tijdens hun bestaan in geslaagd zijn om veel ontdekkingen op dit gebied te doen, en om deze of gene stelling kort en duidelijk te formuleren, gebruiken we variabelen om de bijbehorende formules te schrijven. Bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras op een rechthoekige driehoek: a2 =b2 + c2. Hoe elke keer te schrijven bij het oplossen van een probleem: volgens de stelling van Pythagoras is het kwadraat van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de benen - we schrijven dit op met een formule, en alles wordt meteen duidelijk.
Dus, dit artikel bespreekt wat variabelen zijn, hun typen en eigenschappen. Verschillende wiskundige uitdrukkingen zullen ook worden overwogen: ongelijkheden, formules, systemen en algoritmen voor hun oplossing.
Variabele concept
Allereerst, wat is een variabele? Dit is een numerieke waarde die vele waarden kan aannemen. Het kan niet constant zijn, omdat we in verschillende problemen en vergelijkingen, gemakshalve, oplossingen nemen als:variabele verschillende getallen, dat wil zeggen, z is een algemene aanduiding voor elk van de grootheden waarvoor het is genomen. Meestal worden ze aangegeven met letters van het Latijnse of Griekse alfabet (x, y, a, b, enzovoort).
Er zijn verschillende soorten variabelen. Ze stellen zowel enkele fysieke grootheden in - pad (S), tijd (t) als gewoon onbekende waarden in vergelijkingen, functies en andere uitdrukkingen.
Er is bijvoorbeeld een formule: S=Vt. Hier duiden de variabelen bepaalde grootheden aan die verband houden met de echte wereld - het pad, de snelheid en de tijd.
En er is een vergelijking van de vorm: 3x - 16=12x. Hier wordt x al gezien als een abstract getal dat logisch is in deze notatie.
Soorten hoeveelheden
Bedrag betekent iets dat de eigenschappen van een bepaald object, stof of fenomeen uitdrukt. Bijvoorbeeld luchttemperatuur, gewicht van een dier, percentage vitamines in een tablet - dit zijn allemaal hoeveelheden waarvan de numerieke waarden kunnen worden berekend.
Elke grootheid heeft zijn eigen meeteenheden, die samen een systeem vormen. Het wordt het getallenstelsel (SI) genoemd.
Wat zijn variabelen en constanten? Overweeg ze met specifieke voorbeelden.
Laten we een rechtlijnige uniforme beweging nemen. Een punt in de ruimte beweegt elke keer met dezelfde snelheid. Dat wil zeggen, tijd en afstand veranderen, maar de snelheid blijft hetzelfde. In dit voorbeeld zijn tijd en afstand variabelen en is de snelheid constant.
Of bijvoorbeeld "pi". Dit is een irrationeel getal dat doorgaat zonder te herhaleneen reeks cijfers en kan niet volledig worden geschreven, dus in de wiskunde wordt het uitgedrukt door een algemeen aanvaard symbool dat alleen de waarde van een gegeven oneindige breuk aanneemt. Dat wil zeggen, "pi" is een constante waarde.
Geschiedenis
De geschiedenis van de notatie van variabelen begint in de zeventiende eeuw met de wetenschapper René Descartes.
Hij duidde de bekende waarden aan met de eerste letters van het alfabet: a, b enzovoort, en voor het onbekende stelde hij voor de laatste letters te gebruiken: x, y, z. Het is opmerkelijk dat Descartes dergelijke variabelen als niet-negatieve getallen beschouwde, en wanneer hij geconfronteerd werd met negatieve parameters, plaatste hij een minteken voor de variabele of, als niet bekend was welk teken het getal was, een weglatingsteken. Maar na verloop van tijd begonnen de namen van variabelen getallen van elk teken aan te duiden, en dit begon met de wiskundige Johann Hudde.
Met variabelen zijn berekeningen in de wiskunde gemakkelijker op te lossen, bijvoorbeeld, hoe lossen we nu bikwadratische vergelijkingen op? We voeren een variabele in. Bijvoorbeeld:
x4 + 15x2 + 7=0
Voor x2 nemen we wat k, en de vergelijking wordt duidelijk:
x2=k, voor k ≧ 0
k2 + 15k + 7=0
Dat is wat de introductie van variabelen in de wiskunde brengt.
Ongelijkheid, voorbeelden van oplossingen
Een ongelijkheid is een record waarin twee wiskundige uitdrukkingen of twee getallen zijn verbonden door vergelijkingstekens:, ≦, ≧. Ze zijn streng en worden aangegeven met borden of niet-streng met borden ≦, ≧.
Voor het eerst werden deze tekens geïntroduceerdThomas Harriot. Na de dood van Thomas werd zijn boek met deze notaties gepubliceerd, wiskundigen waren er dol op en na verloop van tijd werden ze veel gebruikt in wiskundige berekeningen.
Er zijn verschillende regels die moeten worden gevolgd bij het oplossen van ongelijkheden met één variabele:
- Bij het overdragen van een getal van het ene deel van de ongelijkheid naar het andere, verander het teken in het tegenovergestelde.
- Bij het vermenigvuldigen of delen van delen van een ongelijkheid door een negatief getal, worden hun tekens omgekeerd.
- Als je beide zijden van de ongelijkheid vermenigvuldigt of deelt door een positief getal, krijg je een ongelijkheid die gelijk is aan de oorspronkelijke.
Een ongelijkheid oplossen betekent het vinden van alle geldige waarden voor een variabele.
Enkele variabele voorbeeld:
10x - 50 > 150
We lossen het op als een normale lineaire vergelijking - we verplaatsen de termen met een variabele naar links, zonder een variabele - naar rechts en geven vergelijkbare termen:
10x > 200
We delen beide zijden van de ongelijkheid door 10 en krijgen:
x > 20
Voor de duidelijkheid, in het voorbeeld van het oplossen van een ongelijkheid met één variabele, teken een getallenlijn, markeer het doorboorde punt 20 erop, aangezien de ongelijkheid strikt is en dit getal niet is opgenomen in de verzameling oplossingen.
De oplossing voor deze ongelijkheid is het interval (20; +∞).
Oplossing van een niet-strikte ongelijkheid wordt op dezelfde manier uitgevoerd als een strikte:
6x - 12 ≧ 18
6x ≧ 30
x ≧ 5
Maar er is één uitzondering. Een record van de vorm x ≧ 5 moet als volgt worden begrepen: x is groter dan of gelijk aan vijf, wat betekent:het getal vijf is opgenomen in de verzameling van alle oplossingen voor de ongelijkheid, dat wil zeggen, bij het schrijven van het antwoord plaatsen we een vierkant haakje voor het getal vijf.
x ∈ [5; +∞)
Vierkante ongelijkheden
Als we een kwadratische vergelijking nemen van de vorm ax2 + bx +c=0 en het gelijkteken veranderen in het ongelijkheidsteken daarin, dan krijgen we dienovereenkomstig een kwadratische ongelijkheid.
Om een kwadratische ongelijkheid op te lossen, moet je kwadratische vergelijkingen kunnen oplossen.
y=ax2 + bx + c is een kwadratische functie. We kunnen het oplossen met behulp van de discriminant of met de stelling van Vieta. Bedenk hoe deze vergelijkingen worden opgelost:
1) y=x2 + 12x + 11 - de functie is een parabool. De takken zijn naar boven gericht, aangezien het teken van de coëfficiënt "a" positief is.
2) x2 + 12x + 11=0 - gelijk aan nul en oplossen met behulp van de discriminant.
a=1, b=12, c=11
D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 wortels
Volgens de formule van de wortels van de kwadratische vergelijking krijgen we:
x1 =-1, x2=-11
Of je zou deze vergelijking kunnen oplossen met behulp van de Vieta-stelling:
x1 + x2 =-b/a, x1 + x 2=-12
x1x2 =c/a, x1x2=11
Met behulp van de selectiemethode verkrijgen we dezelfde wortels van de vergelijking.
Parabool
Dus, de eerste manier om een kwadratische ongelijkheid op te lossen is een parabool. Het algoritme om het op te lossen is als volgt:
1. Bepaal waar de takken van de parabool naar toe zijn gericht.
2. Stel de functie gelijk aan nul en vind de wortels van de vergelijking.
3. We bouwen een getallenlijn, markeren de wortels erop, tekenen een parabool en vinden de opening die we nodig hebben, afhankelijk van het teken van de ongelijkheid.
Los de ongelijkheid op x2 + x - 12 > 0
Schrijf uit als een functie:
1) y=x2 + x - 12 - parabool, vertakt omhoog.
Zet op nul.
2) x2 + x -12=0
Vervolgens lossen we op als een kwadratische vergelijking en vinden de nullen van de functie:
x1 =3, x2=-4
3) Teken een getallenlijn met de punten 3 en -4 erop. De parabool gaat erdoorheen, vertakt zich en het antwoord op de ongelijkheid zal een reeks positieve waarden zijn, dat wil zeggen, (-∞; -4), (3; +∞).
Intervalmethode
De tweede manier is de afstandsmethode. Algoritme om het op te lossen:
1. Zoek de wortels van de vergelijking waarvoor de ongelijkheid gelijk is aan nul.
2. We markeren ze op de getallenlijn. Het is dus verdeeld in verschillende intervallen.
3. Bepaal het teken van een interval.
4. We plaatsen borden met de resterende intervallen en veranderen ze na één.
Los de ongelijkheid (x - 4)(x - 5)(x + 7) op ≦ 0
1) Ongelijkheid nullen: 4, 5 en -7.
2) Teken ze op de getallenlijn.
3) Bepaal de tekens van intervallen.
Antwoord: (-∞; -7]; [4; 5].
Los nog een ongelijkheid op: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0
1. Ongelijkheid nullen: 0, 2, -2 en 1.
2. Markeer ze op de getallenlijn.
3. Bepaal interv altekens.
De lijn is verdeeld in intervallen - van -2 tot 0, van 0 tot 1, van 1 tot 2.
Neem de waarde op het eerste interval - (-1). Plaatsvervanger in ongelijkheid. Met deze waarde wordt de ongelijkheid positief, wat betekent dat het teken op dit interval +. zal zijn
Verder, vanaf de eerste opening, rangschikken we de borden en veranderen ze na één.
De ongelijkheid is groter dan nul, dat wil zeggen, je moet een reeks positieve waarden op de lijn vinden.
Antwoord: (-2; 0), (1; 2).
Systeem van vergelijkingen
Een stelsel van vergelijkingen met twee variabelen zijn twee vergelijkingen die zijn verbonden door een accolade waarvoor een gemeenschappelijke oplossing moet worden gevonden.
Systemen kunnen equivalent zijn als de algemene oplossing van de ene de oplossing van de andere is, of als beide geen oplossingen hebben.
We zullen de oplossing van stelsels van vergelijkingen met twee variabelen bestuderen. Er zijn twee manieren om ze op te lossen: de substitutiemethode of de algebraïsche methode.
Algebraïsche methode
Om het in de afbeelding getoonde systeem met deze methode op te lossen, moet je eerst een van zijn delen met zo'n getal vermenigvuldigen, zodat je later wederzijds een variabele uit beide delen van de vergelijking kunt annuleren. Hier vermenigvuldigen we met drie, trekken een lijn onder het systeem en tellen de delen op. Als resultaat worden x's identiek in modulus, maar tegengesteld in teken, en we verkleinen ze. Vervolgens krijgen we een lineaire vergelijking met één variabele en lossen deze op.
We hebben Y gevonden, maar we kunnen daar niet stoppen, want we hebben X nog niet gevonden. VervangingY naar het gedeelte waarvan het handig is om X terug te trekken, bijvoorbeeld:
-x + 5y=8, met y=1
-x + 5=8
Los de resulterende vergelijking op en vind x.
-x=-5 + 8
-x=3
x=-3
Het belangrijkste in de oplossing van het systeem is om het antwoord correct op te schrijven. Veel studenten maken de fout om te schrijven:
Antwoord: -3, 1.
Maar dit is een verkeerde invoer. Immers, zoals hierboven al vermeld, zoeken we bij het oplossen van een stelsel vergelijkingen naar een algemene oplossing voor de delen ervan. Het juiste antwoord zou zijn:
(-3; 1)
Vervangingsmethode
Dit is waarschijnlijk de eenvoudigste methode en het is moeilijk om een fout te maken. Laten we het stelsel van vergelijkingen nummer 1 van deze afbeelding nemen.
In het eerste deel is x al teruggebracht tot de vorm die we nodig hebben, dus we hoeven het alleen maar te vervangen door een andere vergelijking:
5j + 3j - 25=47
Verplaats het getal zonder variabele naar rechts, breng gelijke termen naar een gemeenschappelijke waarde en vind de y:
8y=72
y=9
Vervolgens, zoals bij de algebraïsche methode, vervangen we de waarde van de y in een van de vergelijkingen en vinden we x:
x=3y - 25, met y=9
x=27 - 25
x=2
Antwoord: (2; 9).
