Differentiële calculusfuncties van één en meerdere variabelen

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

De calculus is een tak van calculus die de afgeleide, differentiëlen en hun gebruik in de studie van een functie bestudeert.

Geschiedenis van het uiterlijk

Differentiaalrekening ontstond in de tweede helft van de 17e eeuw als een onafhankelijke discipline, dankzij het werk van Newton en Leibniz, die de basisbepalingen formuleerden in de differentiaalrekening en het verband tussen integratie en differentiatie opmerkten. Sindsdien heeft het vakgebied zich samen met de integralenrekening ontwikkeld en vormt zo de basis van de wiskundige analyse. Het verschijnen van deze calculus opende een nieuwe moderne periode in de wiskundige wereld en veroorzaakte de opkomst van nieuwe disciplines in de wetenschap. Het breidde ook de mogelijkheid uit om wiskundige wetenschap toe te passen in natuurwetenschappen en technologie.

Basisconcepten

Differentiaalrekening is gebaseerd op de fundamentele concepten van de wiskunde. Ze zijn: reëel getal, continuïteit, functie en limiet. Na verloop van tijd kregen ze een moderne uitstraling, dankzij integraal- en differentiaalrekening.

Creatieproces

De vorming van differentiaalrekening in de vorm van een toegepaste, en vervolgens een wetenschappelijke methode vond plaats vóór de opkomst van een filosofische theorie, die werd gecreëerd door Nicholas van Cusa. Zijn werken worden beschouwd als een evolutionaire ontwikkeling van de oordelen van de oude wetenschap. Ondanks het feit dat de filosoof zelf geen wiskundige was, is zijn bijdrage aan de ontwikkeling van de wiskundige wetenschap onmiskenbaar. Kuzansky was een van de eersten die afstand nam van het beschouwen van rekenkunde als het meest nauwkeurige wetenschapsgebied, waardoor de wiskunde van die tijd in twijfel werd getrokken.

Oude wiskundigen gebruikten de eenheid als universeel criterium, terwijl de filosoof oneindigheid voorstelde als een nieuwe maat in plaats van het exacte getal. In dit opzicht is de representatie van precisie in de wiskundige wetenschap omgekeerd. Wetenschappelijke kennis is volgens hem verdeeld in rationeel en intellectueel. De tweede is nauwkeuriger, volgens de wetenschapper, aangezien de eerste slechts een benaderend resultaat geeft.

Idee

Het belangrijkste idee en concept in differentiaalrekening is gerelateerd aan een functie in kleine buurten van bepaalde punten. Om dit te doen, is het nodig om een wiskundig apparaat te maken voor het bestuderen van een functie waarvan het gedrag in een kleine buurt van de vastgestelde punten dicht bij het gedrag van een polynoom of een lineaire functie ligt. Dit is gebaseerd op de definitie van een afgeleide en een differentiaal.

Het ontstaan van het concept van een afgeleide werd veroorzaakt door een groot aantal problemen uit de natuurwetenschappen en wiskunde,wat leidde tot het vinden van de waarden van limieten van hetzelfde type.

Een van de belangrijkste problemen die als voorbeeld worden gegeven vanaf de middelbare school, is om de snelheid te bepalen van een punt dat langs een rechte lijn beweegt en een raaklijn aan deze curve te construeren. Het differentieel houdt hiermee verband, aangezien het mogelijk is om de functie te benaderen in een kleine buurt van het beschouwde punt van de lineaire functie.

Vergeleken met het concept van de afgeleide van een functie van een reële variabele, gaat de definitie van differentiëlen eenvoudig over op een functie van algemene aard, in het bijzonder op het beeld van de ene Euclidische ruimte op een andere.

Afgeleide

Laat het punt in de richting van de Oy-as bewegen, voor de tijd dat we x nemen, geteld vanaf een bepaald begin van het moment. Zo'n beweging kan beschreven worden door de functie y=f(x), die wordt toegekend aan elk tijdstip x van de coördinaat van het verplaatste punt. In de mechanica wordt deze functie de bewegingswet genoemd. Het belangrijkste kenmerk van beweging, vooral ongelijkmatig, is de momentane snelheid. Wanneer een punt langs de Oy-as beweegt volgens de wet van de mechanica, dan krijgt het op een willekeurig tijdstip x de coördinaat f (x). Op het tijdstip x + Δx, waarbij Δx de toename van de tijd aangeeft, zal de coördinaat f(x + Δx) zijn. Dit is hoe de formule Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) wordt gevormd, wat de toename van de functie wordt genoemd. Het vertegenwoordigt het pad dat is afgelegd door het tijdstip van x naar x + Δx.

Door de opkomst hiervansnelheid op tijd, wordt de afgeleide geïntroduceerd. In een willekeurige functie wordt de afgeleide op een vast punt de limiet genoemd (ervan uitgaande dat deze bestaat). Het kan worden aangeduid met bepaalde symbolen:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Het proces van het berekenen van de afgeleide wordt differentiatie genoemd.

Differentiaalberekening van een functie van meerdere variabelen

Deze berekeningsmethode wordt gebruikt bij het onderzoeken van een functie met meerdere variabelen. In aanwezigheid van twee variabelen x en y wordt de partiële afgeleide naar x in punt A de afgeleide van deze functie naar x met vaste y genoemd.

Kan worden weergegeven door de volgende tekens:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x of ∂f(x, y)’/∂x.

Vereiste vaardigheden

Vaardigheden in integratie en differentiatie zijn vereist om diffuses met succes te bestuderen en op te lossen. Om het gemakkelijker te maken om differentiaalvergelijkingen te begrijpen, moet u een goed begrip hebben van het onderwerp van de afgeleide en de onbepaalde integraal. Het kan ook geen kwaad om te leren hoe je de afgeleide van een impliciet gegeven functie kunt vinden. Dit komt doordat bij het bestuderen van integralen en differentiatie vaak gebruik zal moeten worden gemaakt van.

Soorten differentiaalvergelijkingen

In bijna alle testpapers die verband houden met differentiaalvergelijkingen van de eerste orde, zijn er 3 soorten vergelijkingen: homogeen, met scheidbare variabelen, lineair inhomogeen.

Er zijn ook zeldzamere varianten van vergelijkingen: met totale differentiëlen, Bernoulli's vergelijkingen en andere.

Beslissingsgrondslagen

Eerst moet je de algebraïsche vergelijkingen van de schoolcursus onthouden. Ze bevatten variabelen en getallen. Om een gewone vergelijking op te lossen, moet je een reeks getallen vinden die aan een bepaalde voorwaarde voldoen. In de regel hadden dergelijke vergelijkingen één wortel, en om de juistheid te controleren, hoefde men deze waarde alleen te vervangen door de onbekende.

Differentiaalvergelijking lijkt hierop. In het algemeen omvat zo'n eerste-ordevergelijking:

• Onafhankelijke variabele.
• De afgeleide van de eerste functie.
• Een functie of afhankelijke variabele.

In sommige gevallen kan een van de onbekenden, x of y, ontbreken, maar dit is niet zo belangrijk, aangezien de aanwezigheid van de eerste afgeleide, zonder afgeleiden van hogere orde, noodzakelijk is voor de oplossing en de differentiaal calculus om correct te zijn.

Een differentiaalvergelijking oplossen betekent de verzameling van alle functies vinden die overeenkomen met de gegeven uitdrukking. Een dergelijke reeks functies wordt vaak de algemene oplossing van DE genoemd.

Integrale calculus

Integrale calculus is een van de secties van wiskundige analyse die het concept van de integraal, eigenschappen en methoden voor de berekening ervan bestudeert.

Vaak vindt de berekening van de integraal plaats bij het berekenen van de oppervlakte van een kromlijnig figuur. Dit gebied betekent de limiet waartoe het gebied van een veelhoek ingeschreven in een bepaalde figuur neigt met een geleidelijke toename van zijn zijde, terwijl deze zijden kleiner kunnen worden gemaakt dan een eerder gespecificeerde willekeurigekleine waarde.

Het belangrijkste idee bij het berekenen van het gebied van een willekeurige geometrische figuur is om het gebied van een rechthoek te berekenen, dat wil zeggen om te bewijzen dat het gebied gelijk is aan het product van lengte en breedte. Als het om geometrie gaat, worden alle constructies gemaakt met een liniaal en een passer, en dan is de verhouding tussen lengte en breedte een rationele waarde. Bij het berekenen van de oppervlakte van een rechthoekige driehoek kun je bepalen dat als je dezelfde driehoek ernaast zet, er een rechthoek ontstaat. In een parallellogram wordt het gebied berekend met een vergelijkbare, maar iets gecompliceerdere methode, door een rechthoek en een driehoek. In polygonen wordt de oppervlakte berekend via de driehoeken die erin zijn opgenomen.

Bij het bepalen van het sparen van een willekeurige curve, zal deze methode niet werken. Als je het in enkele vierkanten breekt, zijn er ongevulde plaatsen. In dit geval probeert men twee covers te gebruiken, met rechthoeken aan de boven- en onderkant, waardoor die de grafiek van de functie bevatten en niet. De wijze van opdelen in deze rechthoeken blijft hierbij van belang. Als we ook steeds kleinere partities nemen, dan zou het gebied erboven en eronder op een bepaalde waarde moeten convergeren.

Het zou terug moeten gaan naar de methode van opdelen in rechthoeken. Er zijn twee populaire methoden.

Riemann formaliseerde de definitie van de integraal gecreëerd door Leibniz en Newton als het gebied van een subgraaf. In dit geval werden cijfers beschouwd, bestaande uit een bepaald aantal verticale rechthoeken en verkregen door te delensegment. Wanneer, naarmate de partitie kleiner wordt, er een limiet is waartoe de oppervlakte van een vergelijkbare figuur kleiner wordt, wordt deze limiet de Riemann-integraal van een functie op een bepaald interval genoemd.

De tweede methode is de constructie van de Lebesgue-integraal, die erin bestaat dat voor de plaats van het verdelen van het gedefinieerde gebied in delen van de integrand en vervolgens het samenstellen van de integrale som uit de waarden die in deze delen zijn verkregen, het bereik van waarden is verdeeld in intervallen en vervolgens samengevat met de overeenkomstige maten van voorafbeeldingen van deze integralen.

Moderne voordelen

Een van de belangrijkste handleidingen voor de studie van differentiaal- en integraalrekening is geschreven door Fikhtengolts - "Cursus van differentiaal- en integraalrekening". Zijn leerboek is een fundamentele gids voor de studie van wiskundige analyse, die vele edities en vertalingen in andere talen heeft ondergaan. Gemaakt voor universiteitsstudenten en al lang in veel onderwijsinstellingen gebruikt als een van de belangrijkste studiehulpmiddelen. Geeft theoretische gegevens en praktische vaardigheden. Voor het eerst gepubliceerd in 1948.

Functieonderzoek algoritme

Om een functie te onderzoeken met behulp van de methoden van differentiaalrekening, moet je het reeds gegeven algoritme volgen:

1. Zoek het bereik van een functie.
2. Zoek de wortels van de gegeven vergelijking.
3. Bereken extremen. Om dit te doen, berekent u de afgeleide en de punten waar deze gelijk is aan nul.
4. Vervang de resulterende waarde in de vergelijking.

Rassen van differentiaalvergelijkingen

eerste-orde controle (anders, differentieelenkele variabele calculus) en hun typen:

• Scheidbare vergelijking: f(y)dy=g(x)dx.
• De eenvoudigste vergelijkingen, of differentiaalberekening van een functie van één variabele, met de formule: y'=f(x).
• Lineair inhomogene eerste-orde DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernoulli differentiaalvergelijking: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Vergelijking met totale differentiëlen: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Tweede orde differentiaalvergelijkingen en hun typen:

• Lineaire tweede orde homogene differentiaalvergelijking met constante coëfficiëntwaarden: y +py'+qy=0 p, q behoort tot R.
• Lineaire inhomogene tweede-orde differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten: y +py'+qy=f(x).
• Lineaire homogene differentiaalvergelijking: y +p(x)y'+q(x)y=0, en inhomogene tweede orde vergelijking: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Differentiaalvergelijkingen van hogere orde en hun typen:

• Differentiaalvergelijking die in de volgende volgorde kan worden gereduceerd: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Lineaire homogene vergelijking van hogere orde: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, en inhomogeen: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Stappen bij het oplossen van een probleem met een differentiaalvergelijking

Met behulp van afstandsbediening worden niet alleen wiskundige of fysieke vragen opgelost, maar ook verschillende problemen vanbiologie, economie, sociologie, enz. Ondanks de grote verscheidenheid aan onderwerpen, moet men zich houden aan een enkele logische volgorde bij het oplossen van dergelijke problemen:

1. Compilatie van afstandsbediening. Een van de moeilijkste stappen die maximale precisie vereist, aangezien elke fout tot volledig verkeerde resultaten zal leiden. Er moet rekening worden gehouden met alle factoren die van invloed zijn op het proces en de beginvoorwaarden moeten worden bepaald. Het moet ook gebaseerd zijn op feiten en logische conclusies.
2. Oplossing van de geformuleerde vergelijking. Dit proces is eenvoudiger dan de eerste stap, omdat het alleen strikte wiskundige berekeningen vereist.
3. Analyse en evaluatie van de resultaten. De afgeleide oplossing moet worden geëvalueerd om de praktische en theoretische waarde van het resultaat vast te stellen.

Een voorbeeld van het gebruik van differentiaalvergelijkingen in de geneeskunde

Het gebruik van afstandsbediening op het gebied van geneeskunde vindt plaats bij het bouwen van een epidemiologisch wiskundig model. Tegelijkertijd moet men niet vergeten dat deze vergelijkingen ook worden gevonden in de biologie en chemie, die dicht bij de geneeskunde staan, omdat de studie van verschillende biologische populaties en chemische processen in het menselijk lichaam daarin een belangrijke rol speelt.

In het bovenstaande voorbeeld van een epidemie kunnen we de verspreiding van infecties in een geïsoleerde samenleving beschouwen. De bewoners zijn onderverdeeld in drie typen:

• Geïnfecteerd, nummer x(t), bestaande uit individuen, dragers van de infectie, die elk besmettelijk zijn (de incubatietijd is kort).
• Het tweede type omvatgevoelige personen die in staat zijn besmet te raken door contact met geïnfecteerde personen.
• De derde soort omvat immuun individuen z(t) die immuun zijn of zijn gestorven als gevolg van een ziekte.

Het aantal individuen is constant, er wordt geen rekening gehouden met geboorten, natuurlijke sterftes en migratie. Er zullen twee hypothesen zijn.

Het percentage incidentie op een bepaald tijdstip is x(t)y(t) (gebaseerd op de theorie dat het aantal gevallen evenredig is met het aantal kruispunten tussen zieke en vatbare vertegenwoordigers, wat in de eerste benadering zal evenredig zijn met x(t)y(t)), in verband hiermee neemt het aantal gevallen toe en neemt het aantal vatbare af met een snelheid die wordt berekend met de formule ax(t)y(t) (een > 0).

Het aantal immuun individuen dat immuun is geworden of is overleden, neemt toe met een snelheid die evenredig is met het aantal gevallen, bx(t) (b > 0).

Als resultaat kun je een systeem van vergelijkingen maken, rekening houdend met alle drie de indicatoren, en op basis daarvan conclusies trekken.

Economisch voorbeeld

Differentiaalrekening wordt vaak gebruikt in economische analyse. De belangrijkste taak in de economische analyse is de studie van grootheden uit de economie, die zijn geschreven in de vorm van een functie. Dit wordt gebruikt bij het oplossen van problemen zoals inkomensveranderingen onmiddellijk na een belastingverhoging, invoer van accijnzen, veranderingen in bedrijfsinkomsten wanneer de productiekosten veranderen, in welke mate kunnen gepensioneerde werknemers worden vervangen door nieuwe apparatuur. Om dergelijke problemen op te lossen, is het noodzakelijk:bouw een verbindingsfunctie van de invoervariabelen, die vervolgens worden bestudeerd met behulp van de differentiaalrekening.

Op economisch gebied is het vaak nodig om de meest optimale indicatoren te vinden: maximale arbeidsproductiviteit, het hoogste inkomen, de laagste kosten, enzovoort. Elke dergelijke indicator is een functie van een of meer argumenten. Productie kan bijvoorbeeld worden gezien als een functie van de input van arbeid en kapitaal. In dit opzicht kan het vinden van een geschikte waarde worden teruggebracht tot het vinden van het maximum of minimum van een functie uit een of meer variabelen.

Dit soort problemen creëren een klasse van extreme problemen op economisch gebied, waarvan de oplossing differentiaalrekening vereist. Wanneer een economische indicator moet worden geminimaliseerd of gemaximaliseerd als een functie van een andere indicator, dan zal op het punt van het maximum de verhouding van de toename van de functie tot de argumenten naar nul neigen als de toename van het argument naar nul neigt. Anders, wanneer een dergelijke verhouding neigt naar een positieve of negatieve waarde, is het gespecificeerde punt niet geschikt, omdat u door het verhogen of verlagen van het argument de afhankelijke waarde in de vereiste richting kunt veranderen. In de terminologie van differentiaalrekening betekent dit dat de vereiste voorwaarde voor het maximum van een functie de nulwaarde van zijn afgeleide is.

In de economie zijn er vaak problemen met het vinden van het uiterste van een functie met meerdere variabelen, omdat economische indicatoren uit veel factoren bestaan. Dit soort vragen zijn goed.bestudeerd in de theorie van functies van verschillende variabelen, met behulp van methoden voor differentiële berekening. Dergelijke problemen omvatten niet alleen gemaximaliseerde en geminimaliseerde functies, maar ook beperkingen. Dergelijke vragen hebben betrekking op wiskundig programmeren en worden opgelost met behulp van speciaal ontwikkelde methoden, ook gebaseerd op deze tak van wetenschap.

Van de methoden voor differentiaalrekening die in de economie worden gebruikt, is marginale analyse een belangrijk onderdeel. In de economische sfeer verwijst deze term naar een reeks methoden voor het bestuderen van variabele indicatoren en resultaten bij het veranderen van het volume van creatie, consumptie, op basis van de analyse van hun marginale indicatoren. De beperkende indicator is de afgeleide of gedeeltelijke afgeleide met verschillende variabelen.

Differentiële berekening van verschillende variabelen is een belangrijk onderwerp op het gebied van wiskundige analyse. Voor een uitgebreide studie kun je gebruik maken van verschillende studieboeken voor het hoger onderwijs. Een van de meest bekende is gemaakt door Fikhtengolts - "Cursus van differentiaal- en integraalrekening". Zoals de naam al aangeeft, zijn vaardigheden in het werken met integralen van groot belang voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Wanneer de differentiaalberekening van een functie van één variabele plaatsvindt, wordt de oplossing eenvoudiger. Hoewel het moet worden opgemerkt, is het onderworpen aan dezelfde basisregels. Om een functie in de praktijk te bestuderen door middel van differentiaalrekening, volstaat het om het reeds bestaande algoritme te volgen, dat op de middelbare school wordt gegeven en slechts een beetje ingewikkeld is wanneer nieuwe worden geïntroduceerd.variabelen.