Het vinden van de determinant van een matrix is een belangrijke actie, niet alleen voor lineaire algebra: bijvoorbeeld in de economie, met behulp van deze berekening, worden stelsels van lineaire vergelijkingen met veel onbekenden opgelost, die veel worden gebruikt in economische problemen.
Bepalend begrip
De determinant, of determinant, van een matrix is een waarde die gelijk is aan het volume van een parallellepipedum gebouwd op zijn rij- of kolomvectoren. Deze waarde kan alleen worden berekend voor een vierkante matrix, die hetzelfde aantal rijen en kolommen heeft. Als de leden van de matrix getallen zijn, dan is de determinant ook een getal.
Berekening van determinanten
Houd er rekening mee dat er verschillende regels zijn die dergelijke berekeningen aanzienlijk kunnen vergemakkelijken.
Dus de determinant van een matrix die uit één lid bestaat, is gelijk aan zijn enige element. Het is niet moeilijk om de determinant van de tweede orde te berekenen, hiervoor volstaat het om het product van de elementen op de secundaire diagonaal af te trekken van het product van de leden van de hoofddiagonaal.
Berekening van de determinant van de 3e orde is het gemakkelijkst te doenvolgens de driehoeksregel. Voer hiervoor de volgende acties uit:
- Zoek het product van drie leden van de matrix die zich op de hoofdmatrix bevinden
- Vermenigvuldig met drie termen op driehoeken waarvan de basis evenwijdig is aan de hoofddiagonaal.
- Herhaal de eerste en tweede actie voor de secundaire diagonaal.
- Zoek de som van alle waarden die in de vorige berekeningen zijn verkregen, terwijl de getallen die in de derde alinea zijn verkregen met een minteken worden genomen.
diagonalen.
Om gemakkelijk de determinant van een matrix van de 4e orde te vinden, evenals hogere dimensies, is het noodzakelijk om de eigenschappen te beschouwen die alle determinanten hebben:
- De waarde van de determinant verandert niet na matrixtranspositie.
- Het veranderen van de posities van twee aangrenzende rijen of kolommen leidt tot een verandering in het teken van de determinant.
- Als de matrix twee gelijke rijen of kolommen heeft, of alle elementen van de kolom (rij) zijn nul, dan is de determinant gelijk aan nul.
- Het vermenigvuldigen van de getallen van een matrix met een willekeurig getal leidt tot een toename van de determinant met hetzelfde aantal keren.
Het gebruik van de bovenstaande eigenschappen helpt om gemakkelijk de determinant van een matrix van een willekeurige orde te vinden. Gebruik hiervoor bijvoorbeeld de ordeverkleiningsmethode, waarbij de determinant wordt uitgebreid met de elementen van de rij (kolom) vermenigvuldigd met het algebraïsche complement.
Een andere manier die het vinden van de determinant veel gemakkelijker maakt
matrix is om het naar een driehoekige vorm te brengen, wanneer alle elementen onder de hoofddiagonaal gelijk zijn aan nul. In dit geval wordt de matrixdeterminant berekend als het product van de getallen op deze diagonaal.
En tot slot wil ik opmerken dat het berekenen van determinanten, hoewel het uit schijnbaar eenvoudige wiskundige berekeningen bestaat, toch veel zorg en doorzettingsvermogen vereist.
