Om te begrijpen wat de extreme punten van een functie zijn, is het helemaal niet nodig om de aanwezigheid van de eerste en tweede afgeleiden te kennen en hun fysieke betekenis te begrijpen. Eerst moet je het volgende begrijpen:
- functie extrema maximaliseren of, omgekeerd, minimaliseren van de waarde van de functie in een willekeurig kleine buurt;
- Er mag geen functieonderbreking zijn op het uiterste punt.
En nu hetzelfde, alleen in gewone taal. Kijk naar de punt van een balpen. Als de pen verticaal wordt geplaatst, met het schrift naar boven, dan is het midden van de bal het uiterste punt - het hoogste punt. In dit geval hebben we het over het maximum. Als je nu de pen draait met het schrijfuiteinde naar beneden, dan is er in het midden van de bal al een minimum van de functie. Met behulp van de hier gegeven figuur kunt u zich de vermelde manipulaties voor een briefpapierpotlood voorstellen. De extrema van een functie zijn dus altijd kritische punten: de maxima of minima. Het aangrenzende gedeelte van de kaart kan willekeurig scherp of glad zijn, maar het moet aan beide zijden bestaan, alleen in dit geval is het punt een extremum. Als de kaart slechts aan één kant aanwezig is, zal dit punt geen extremum zijn, zelfs niet aan één kantextreme voorwaarden is voldaan. Laten we nu de extrema van de functie vanuit een wetenschappelijk oogpunt bestuderen. Om een punt als een extremum te beschouwen, is het noodzakelijk en voldoende dat:
- de eerste afgeleide was gelijk aan nul of bestond niet op het punt;
- de eerste afgeleide veranderde op dit punt van teken.
De voorwaarde wordt enigszins anders geïnterpreteerd vanuit het oogpunt van afgeleiden van hogere orde: voor een functie die differentieerbaar is in een punt, is het voldoende dat er een afgeleide van de oneven-orde is die niet gelijk is aan nul, terwijl alle afgeleiden van lagere orde moeten bestaan en gelijk zijn aan nul. Dit is de eenvoudigste interpretatie van stellingen uit leerboeken voor hogere wiskunde. Maar voor de meest gewone mensen is het de moeite waard om dit punt uit te leggen met een voorbeeld. De basis is een gewone parabool. Direct reserveren, op het nulpunt is het minimaal. Gewoon een beetje wiskunde:
- eerste afgeleide (X2)|=2X, voor nulpunt 2X=0;
- tweede afgeleide (2X)|=2, voor nulpunt 2=2.
Dit is een eenvoudige illustratie van de voorwaarden die de extremums van de functie bepalen, zowel voor afgeleiden van de eerste orde als voor afgeleiden van hogere orde. We kunnen hieraan toevoegen dat de tweede afgeleide precies dezelfde afgeleide is van een oneven orde, ongelijk aan nul, die iets hoger werd besproken. Als het gaat om extrema van een functie van twee variabelen, moet voor beide argumenten aan de voorwaarden worden voldaan. Wanneergeneralisatie optreedt, dan worden partiële afgeleiden gebruikt. Dat wil zeggen, het is noodzakelijk voor de aanwezigheid van een extremum op een punt dat beide eerste-orde afgeleiden gelijk zijn aan nul, of dat er tenminste één niet bestaat. Voor de toereikendheid van de aanwezigheid van een extremum wordt een uitdrukking onderzocht die het verschil is tussen het product van tweede-orde afgeleiden en het kwadraat van de gemengde tweede-orde afgeleide van de functie. Als deze uitdrukking groter is dan nul, dan is er een extremum, en als er nul is, blijft de vraag open en is aanvullend onderzoek nodig.
