In de praktijk komen er vaak taken voor die de mogelijkheid vereisen om secties van geometrische vormen van verschillende vormen te bouwen en het gebied van secties te vinden. In dit artikel zullen we bekijken hoe belangrijke secties van een prisma, piramide, kegel en cilinder zijn gebouwd en hoe ze hun oppervlakte kunnen berekenen.
3D-figuren
Van stereometrie is bekend dat een driedimensionale figuur van absoluut elk type wordt beperkt door een aantal oppervlakken. Voor dergelijke veelvlakken als een prisma en een piramide zijn deze oppervlakken bijvoorbeeld de veelhoekige zijden. Voor een cilinder en een kegel hebben we het over omwentelingsoppervlakken van cilindrische en conische figuren.
Als we een vlak nemen en willekeurig het oppervlak van een driedimensionale figuur snijden, krijgen we een doorsnede. Het gebied is gelijk aan het gebied van het deel van het vliegtuig dat zich binnen het volume van de figuur zal bevinden. De minimale waarde van dit gebied is nul, wat wordt gerealiseerd wanneer het vlak de figuur raakt. Een sectie die wordt gevormd door een enkel punt wordt bijvoorbeeld verkregen als het vlak door de top van een piramide of kegel gaat. De maximale waarde van het dwarsdoorsnede-oppervlak hangt af van:de relatieve positie van de figuur en het vlak, evenals de vorm en grootte van de figuur.
Hieronder zullen we bekijken hoe we het gebied van gevormde secties kunnen berekenen voor twee omwentelingscijfers (cilinder en kegel) en twee veelvlakken (piramide en prisma).
Cilinder
Cirkelcilinder is een rotatiefiguur van een rechthoek rond een van zijn zijden. De cilinder wordt gekenmerkt door twee lineaire parameters: basisstraal r en hoogte h. Het onderstaande diagram laat zien hoe een ronde rechte cilinder eruitziet.
Er zijn drie belangrijke sectietypes voor deze figuur:
- rond;
- rechthoekig;
- elliptische.
Elliptisch wordt gevormd als resultaat van het vlak dat het zijoppervlak van de figuur snijdt onder een bepaalde hoek met zijn basis. Rond is het resultaat van het snijvlak van het snijvlak van het zijvlak evenwijdig aan de basis van de cilinder. Ten slotte wordt een rechthoekige verkregen als het snijvlak evenwijdig is aan de as van de cilinder.
Circulair gebied wordt berekend met de formule:
S1=pir2
Het gebied van de axiale sectie, d.w.z. rechthoekig, dat door de as van de cilinder gaat, wordt als volgt gedefinieerd:
S2=2rh
Kegelsecties
Een kegel is een rotatiefiguur van een rechthoekige driehoek rond een van de benen. De kegel heeft één bovenkant en een ronde basis. De parameters zijn ook straal r en hoogte h. Hieronder ziet u een voorbeeld van een papieren kegel.
Er zijn verschillende soorten kegelsneden. Laten we ze opsommen:
- rond;
- elliptische;
- parabolisch;
- hyperbolisch;
- driehoekig.
Ze vervangen elkaar als je de hellingshoek van het snijvlak ten opzichte van de ronde basis vergroot. De eenvoudigste manier is om de formules voor het dwarsdoorsnede-oppervlak van cirkelvormig en driehoekig op te schrijven.
Een cirkelvormige doorsnede wordt gevormd als resultaat van het snijpunt van een kegelvormig oppervlak met een vlak dat evenwijdig is aan de basis. Voor zijn oppervlakte is de volgende formule geldig:
S1=pir2z2/h 2
Hier is z de afstand van de bovenkant van de figuur tot de gevormde sectie. Het is te zien dat als z=0, het vlak alleen door het hoekpunt gaat, dus het gebied S1 zal gelijk zijn aan nul. Sinds z < h zal het gebied van de sectie die wordt bestudeerd altijd kleiner zijn dan de waarde voor de basis.
Driehoekig wordt verkregen wanneer het vlak de figuur langs zijn rotatie-as snijdt. De vorm van de resulterende sectie zal een gelijkbenige driehoek zijn, waarvan de zijden de diameter van de basis en twee generatoren van de kegel zijn. Hoe het dwarsdoorsnede-oppervlak van een driehoek te vinden? Het antwoord op deze vraag is de volgende formule:
S2=rh
Deze gelijkheid wordt verkregen door de formule toe te passen voor de oppervlakte van een willekeurige driehoek door de lengte van de basis en de hoogte.
Prisma secties
Prisma is een grote klasse van figuren die wordt gekenmerkt door de aanwezigheid van twee identieke veelhoekige bases evenwijdig aan elkaar,verbonden door parallellogrammen. Elke sectie van een prisma is een veelhoek. Gezien de diversiteit van de beschouwde figuren (schuine, rechte, n-gonale, regelmatige, concave prisma's), is ook de verscheidenheid van hun secties groot. Hieronder beschouwen we slechts enkele speciale gevallen.
Als het snijvlak evenwijdig is aan de basis, dan is het dwarsdoorsnedegebied van het prisma gelijk aan het gebied van deze basis.
Als het vlak door de geometrische middelpunten van de twee basen gaat, dat wil zeggen, het is evenwijdig aan de zijranden van de figuur, dan wordt een parallellogram gevormd in de sectie. In het geval van rechte en regelmatige prisma's, zal de beschouwde doorsnede een rechthoek zijn.
Piramide
Piramide is een ander veelvlak dat bestaat uit een n-gon en n driehoeken. Hieronder ziet u een voorbeeld van een driehoekige piramide.
Als de doorsnede wordt getekend door een vlak evenwijdig aan de n-gonale basis, dan zal de vorm exact gelijk zijn aan de vorm van de basis. Het gebied van zo'n sectie wordt berekend met de formule:
S1=So(h-z)2/h 2
Waar z de afstand is van de basis tot het doorsnedevlak, is So de oppervlakte van de basis.
Als het snijvlak de top van de piramide bevat en de basis snijdt, dan krijgen we een driehoekige doorsnede. Om de oppervlakte te berekenen, moet u verwijzen naar het gebruik van de juiste formule voor een driehoek.
