Vanaf het begin moet eraan worden herinnerd, om later niet in de war te raken: er zijn cijfers - er zijn er 10. Van 0 tot 9. Er zijn cijfers en ze bestaan uit cijfers. Er zijn oneindig veel getallen. Absoluut meer dan de sterren aan de hemel.
Een wiskundige uitdrukking is een instructie geschreven met wiskundige symbolen, welke acties moeten worden uitgevoerd met getallen om een resultaat te krijgen. Niet om het gewenste resultaat te 'bereiken', zoals in statistieken, maar om precies te weten hoeveel het er waren. Maar wat er gebeurde en wanneer - v alt niet langer binnen de reikwijdte van de rekenkundige interesses. Tegelijkertijd is het belangrijk om geen fout te maken in de volgorde van acties, wat is de eerste - optellen of vermenigvuldigen? Een uitdrukking op school wordt soms een "voorbeeld" genoemd.
Optellen en aftrekken
Welke acties kunnen met getallen worden uitgevoerd? Er zijn twee fundamentele. Dit is optellen en aftrekken. Alle andere acties zijn gebaseerd op deze twee.
De eenvoudigste menselijke actie: neem twee stapels stenen en meng ze tot één. Dit is een toevoeging. Om het resultaat van zo'n actie te krijgen, weet je misschien niet eens wat optellen is. Het is voldoende om een hoop stenen van Petya en een hoop stenen van Vasya te nemen. Zet alles bij elkaar, tel alles opnieuw. Het nieuwe resultaat van het opeenvolgende tellen van stenen van de nieuwe stapel is de som.
Op dezelfde manier kun je niet weten wat aftrekken is, neem gewoon een stapel stenen en verdeel deze in twee delen of neem een bepaald aantal stenen van een stapel. Dus wat het verschil wordt genoemd, blijft in de hoop. Je mag alleen pakken wat op de stapel ligt. Krediet en andere economische termen worden in dit artikel niet in overweging genomen.
Om de stenen niet elke keer te tellen, omdat het er veel zijn en ze zwaar zijn, bedachten ze wiskundige bewerkingen: optellen en aftrekken. En voor deze acties bedachten ze een rekentechniek.
De som van twee willekeurige getallen wordt dom onthouden zonder enige techniek. 2 plus 5 is zeven. U kunt rekenen op het tellen van stokken, stenen, vissenkoppen - het resultaat is hetzelfde. Leg eerst 2 stokjes, dan 5, en tel dan alles bij elkaar. Er is geen andere manier.
Degenen die slimmer zijn, meestal kassiers en studenten, onthouden meer, niet alleen de som van twee cijfers, maar ook de som van cijfers. Maar het belangrijkste is dat ze getallen in hun hoofd kunnen toevoegen met behulp van verschillende technieken. Dit wordt de vaardigheid van mentaal tellen genoemd.
Om getallen toe te voegen die uit tientallen, honderden, duizenden en zelfs grotere cijfers bestaan, gebruik jespeciale technieken - kolomtoevoeging of rekenmachine. Met een rekenmachine kun je niet eens getallen toevoegen en hoef je niet verder te lezen.
Kolomtoevoeging is een methode waarmee u grote (meercijferige) getallen kunt optellen door alleen de resultaten van het optellen van cijfers te leren. Bij het toevoegen van een kolom worden de corresponderende decimale cijfers van twee getallen opeenvolgend toegevoegd (dat wil zeggen, eigenlijk twee cijfers), als het resultaat van het optellen van twee cijfers groter is dan 10, dan wordt alleen rekening gehouden met het laatste cijfer van deze som - eenheden van de getal, en 1.
wordt opgeteld bij de som van de volgende cijfers
Vermenigvuldigen
Wiskundigen groeperen graag soortgelijke acties om berekeningen gemakkelijker te maken. Dus de bewerking van vermenigvuldigen is een groepering van identieke acties - optelling van identieke getallen. Elk product N x M − is N bewerkingen van het optellen van getallen M. Dit is slechts een vorm van het optellen van identieke termen.
Om het product te berekenen, wordt dezelfde methode gebruikt - eerst wordt de tabel van vermenigvuldiging van cijfers tegen elkaar stom onthouden, en vervolgens wordt de bitsgewijze vermenigvuldigingsmethode toegepast, die "in een kolom" wordt genoemd.
Wat komt eerst, vermenigvuldigen of optellen?
Elke wiskundige uitdrukking is eigenlijk een verslag van de accountant "uit de velden" over de resultaten van eventuele acties. Laten we zeggen tomaten oogsten:
- 5 volwassen arbeiders plukten elk 500 tomaten en haalden het quotum.
- 2 schoolkinderen gingen niet naar wiskundelessen en hielpen volwassenen: ze plukten elk 50 tomaten, voldeden niet aan de norm, aten 30 tomaten, namen een hap ennog eens 60 tomaten verwend, 70 tomaten werden uit de zakken van assistenten gehaald. Waarom ze ze mee het veld in namen is onduidelijk.
Alle tomaten werden overhandigd aan de accountant, hij stapelde ze op stapels.
Schrijf het resultaat van "oogsten" als een uitdrukking:
- 500 + 500 + 500 + 500 + 500 zijn groepen volwassen arbeiders;
- 50 + 50 zijn bendes minderjarige arbeiders;
- 70 – uit de zakken van schoolkinderen gehaald (verwend en gebeten telt niet mee voor het resultaat).
Krijg een voorbeeld voor de school, een record van het prestatierecord:
500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70=?;
Hier kunt u groepering toepassen: 5 hopen van 500 tomaten - dit kan worden geschreven door de vermenigvuldigingsbewerking: 5 ∙ 500.
Twee stapels van 50 - dit kan ook door vermenigvuldiging worden geschreven.
En een tros van 70 tomaten.
5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70=?
En wat te doen in het voorbeeld eerst - vermenigvuldigen of optellen? Je kunt dus alleen tomaten toevoegen. Je kunt geen 500 tomaten en 2 stapels bij elkaar leggen. Ze stapelen niet. Daarom is het in het begin altijd nodig om alle records naar de basisoptelbewerkingen te brengen, dat wil zeggen, allereerst om alle groeperings-vermenigvuldigingsbewerkingen te berekenen. In zeer eenvoudige bewoordingen wordt eerst vermenigvuldigd en pas daarna opgeteld. Als je 5 stapels van elk 500 tomaten vermenigvuldigt, krijg je 2500 tomaten. En dan kunnen ze al gestapeld worden met tomaten van andere stapels.
2500 + 100 + 70=2 670
Als een kind wiskunde leert, moet het hem duidelijk maken dat dit een hulpmiddel is dat in het dagelijks leven wordt gebruikt. Wiskundige uitdrukkingen zijn in feite (in de eenvoudigste versie van de basisschool), magazijngegevens over de hoeveelheid goederen, geld (heel gemakkelijk waarneembaar door schoolkinderen) en andere items.
Daarom is elk werk de som van de inhoud van een bepaald aantal identieke containers, dozen, stapels met hetzelfde aantal items. En die eerste vermenigvuldiging, en dan optelling, dat wil zeggen, begon eerst het totale aantal items te berekenen en ze vervolgens bij elkaar op te tellen.
Divisie
De deling wordt niet apart beschouwd, het is het omgekeerde van vermenigvuldigen. Het is noodzakelijk om iets over de dozen te verdelen, zodat alle dozen hetzelfde aantal items hebben. De meest directe analogie in het leven is de verpakking.
Haakjes
Brackets zijn van groot belang bij het oplossen van voorbeelden. Haakjes in rekenkunde - een wiskundig teken dat wordt gebruikt om de volgorde van berekeningen in een uitdrukking (voorbeeld) te regelen.
Vermenigvuldigen en delen hebben voorrang op optellen en aftrekken. En haakjes hebben voorrang op vermenigvuldigen en delen.
Wat tussen haakjes staat, wordt eerst geëvalueerd. Als de haakjes genest zijn, wordt eerst de uitdrukking in de binnenste haakjes geëvalueerd. En dit is een onveranderlijke regel. Zodra de uitdrukking tussen de haakjes is geëvalueerd, verdwijnen de haakjes en komt er een nummer voor in de plaats. Opties voor het uitbreiden van haakjes met onbekenden worden hier niet overwogen. Dit wordt gedaan totdat ze allemaal uit de uitdrukking verdwijnen.
((25-5): 5 + 2): 3=?
- Het is als snoepdozen in een grote zak. Eerst moet je alle dozen openen en in een grote zak gieten: (25 - 5) u003d 20. Vijf snoepjes uit de doos werden onmiddellijk naar de uitstekende student Lyuda gestuurd, die ziek was en niet deelnam aan de vakantie. De rest van het snoep zit in de zak!
- Bind de snoepjes vervolgens in bundels van 5 stuks: 20: 5=4.
- Voeg dan nog 2 bosjes snoep toe aan de zak, zodat je hem zonder ruzie in drie kinderen kunt verdelen. De tekens van deling door 3 worden in dit artikel niet behandeld.
(20: 5 + 2): 3=(4 +2): 3=6: 3=2
Totaal: drie kinderen elk met twee snoepbundels (één bundel per hand), 5 snoepjes per bundel.
Als je de eerste haakjes in de uitdrukking berekent en alles opnieuw schrijft, wordt het voorbeeld korter. De methode is niet snel, met veel papierverbruik, maar verrassend effectief. Tegelijkertijd traint u mindfulness bij het herschrijven. Het voorbeeld wordt weergegeven wanneer er nog maar één vraag over is, de eerste vermenigvuldiging of optelling zonder haakjes. Dat wil zeggen, naar een dergelijke vorm, wanneer er geen haakjes meer zijn. Maar het antwoord op deze vraag is er al, en het heeft geen zin om te bespreken wat het eerst komt - vermenigvuldigen of optellen.
Kers op de taart
En tot slot. De regels van de Russische taal zijn niet van toepassing op een wiskundige uitdrukking - lees en voer ze uit van links naar rechts:
5 – 8 + 4=1;
Dit eenvoudige voorbeeld kan een kind tot hysterie brengen of de avond van zijn moeder bederven. Want ze zal aan de tweedeklasser moeten uitleggen dat er negatieve getallen zijn. Of vernietig de autoriteit van “MaryaVanovna”, die zei: “Je moet van links naar rechts en in volgorde gaan.”
Heel kers
Er circuleert een voorbeeld op het web dat problemen veroorzaakt voor volwassen ooms en tantes. Het gaat niet helemaal over het onderwerp, wat eerst komt - vermenigvuldigen of optellen. Het lijkt erop dat je eerst de actie tussen haakjes uitvoert.
De som verandert niet door de herschikking van de termen, noch door de herschikking van de factoren. Je hoeft de uitdrukking alleen zo te schrijven dat het later niet pijnlijk gênant is.
6: 2 ∙ (1+2)=6 ∙ ½ ∙ (1+2)=6 ∙ ½ ∙ 3=3 ∙ 3=9
Dat is nu alles zeker!
