Matrices en determinanten werden ontdekt in de achttiende en negentiende eeuw. Aanvankelijk betrof hun ontwikkeling de transformatie van geometrische objecten en het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Historisch gezien lag de nadruk in het begin op de determinant. In moderne lineaire algebra-verwerkingsmethoden worden eerst matrices beschouwd. Het is de moeite waard om even over deze vraag na te denken.
Antwoorden uit dit kennisgebied
Matrices bieden een theoretisch en praktisch bruikbare manier om veel problemen op te lossen, zoals:
- stelsels van lineaire vergelijkingen;
- evenwicht van vaste stoffen (in de natuurkunde);
- grafentheorie;
- Leontief's economisch model;
- bosbouw;
- computer graphics en tomografie;
- genetica;
- cryptografie;
- elektrische netwerken;
- fractal.
Matrixalgebra voor "dummies" heeft zelfs een vereenvoudigde definitie. Het wordt als volgt uitgedrukt: dit is een wetenschappelijk kennisgebied waarin:de waarden in kwestie worden bestudeerd, geanalyseerd en volledig verkend. In dit deel van de algebra worden verschillende bewerkingen op de bestudeerde matrices bestudeerd.
Hoe te werken met matrices
Deze waarden worden als gelijk beschouwd als ze dezelfde afmetingen hebben en elk element van het ene gelijk is aan het corresponderende element van het andere. Het is mogelijk om een matrix te vermenigvuldigen met elke constante. Dit gegeven wordt scalaire vermenigvuldiging genoemd. Voorbeeld: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matrices van dezelfde grootte kunnen worden opgeteld en afgetrokken door invoer, en waarden van compatibele formaten kunnen worden vermenigvuldigd. Voorbeeld: voeg twee A en B toe: A=[21−10]B=[1423]. Dit is mogelijk omdat A en B beide matrices zijn met twee rijen en hetzelfde aantal kolommen. Het is noodzakelijk om elk element in A op te tellen bij het corresponderende element in B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matrices worden in de algebra op dezelfde manier afgetrokken.
Matrix vermenigvuldiging werkt een beetje anders. Bovendien kunnen er veel gevallen en opties zijn, maar ook oplossingen. Als we de matrix Apq en Bmn vermenigvuldigen, dan is het product Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. De invoer in de g-de rij en de h-kolom van AB is de som van het product van de overeenkomstige vermeldingen in g A en h B. Het is alleen mogelijk om twee matrices te vermenigvuldigen als het aantal kolommen in de eerste en rijen in de tweede zijn gelijk. Voorbeeld: vervul de voorwaarde voor beschouwd A en B: A=[1−130]B=[2−11214]. Dit is mogelijk omdat de eerste matrix 2 kolommen bevat en de tweede 2 rijen. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Basisinformatie over matrices
De betreffende waarden organiseren informatie zoals variabelen en constanten en slaan deze op in rijen en kolommen, meestal C genoemd. Elke positie in de matrix wordt een element genoemd. Voorbeeld: C=[1234]. Bestaat uit twee rijen en twee kolommen. Element 4 staat in rij 2 en kolom 2. Meestal kun je een matrix noemen naar zijn afmetingen, die met de naam Cmk heeft m rijen en k kolommen.
Uitgebreide matrices
Overwegingen zijn ongelooflijk nuttige dingen die in veel verschillende toepassingsgebieden naar voren komen. Matrices waren oorspronkelijk gebaseerd op stelsels van lineaire vergelijkingen. Gezien de volgende structuur van ongelijkheden, moet rekening worden gehouden met de volgende aangevulde matrix:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Schrijf coëfficiënten en antwoordwaarden op, inclusief alle mintekens. Als het element een negatief getal heeft, is het gelijk aan "1". Dat wil zeggen, gegeven een stelsel van (lineaire) vergelijkingen, is het mogelijk om er een matrix (raster van getallen tussen haakjes) mee te associëren. Het is degene die alleen de coëfficiënten van het lineaire systeem bevat. Dit wordt de "uitgebreide matrix" genoemd. Het raster met de coëfficiënten aan de linkerkant van elke vergelijking is "opgevuld" met de antwoorden aan de rechterkant van elke vergelijking.
Records, dat wil zeggende B-waarden van de matrix komen overeen met de x-, y- en z-waarden in het oorspronkelijke systeem. Als het goed geregeld is, controleer het dan eerst. Soms moet u de termen herschikken of nullen invoegen als tijdelijke aanduidingen in de matrix die wordt bestudeerd of bestudeerd.
Gegeven het volgende stelsel vergelijkingen, kunnen we onmiddellijk de bijbehorende augmented matrix schrijven:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Zorg er eerst voor dat u het systeem herschikt als:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Dan is het mogelijk om de bijbehorende matrix te schrijven als: [1100113-1012]. Bij het vormen van een verlengde is het de moeite waard om nul te gebruiken voor elk record waar de corresponderende plek in het stelsel van lineaire vergelijkingen leeg is.
Matrix Algebra: Eigenschappen van bewerkingen
Als het nodig is om alleen elementen te vormen uit coëfficiëntwaarden, dan ziet de beschouwde waarde er als volgt uit: [110011-101]. Dit wordt de "coëfficiëntenmatrix" genoemd.
Rekening houdend met de volgende uitgebreide matrixalgebra, is het noodzakelijk om deze te verbeteren en het bijbehorende lineaire systeem toe te voegen. Dat gezegd hebbende, is het belangrijk om te onthouden dat ze vereisen dat de variabelen overzichtelijk en netjes zijn. En meestal als er drie variabelen zijn, gebruik je x, y en z in die volgorde. Daarom moet het bijbehorende lineaire systeem zijn:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Matrixgrootte
De items in kwestie worden vaak aangeduid met hun prestaties. De grootte van een matrix in de algebra wordt gegeven alsafmetingen, aangezien de ruimte anders genoemd kan worden. Gemeten maten van waarden zijn rijen en kolommen, niet breedte en lengte. Bijvoorbeeld matrix A:
[1234]
[2345]
[3456].
Aangezien A drie rijen en vier kolommen heeft, is de grootte van A 3 × 4.
→
↓
Lijnen gaan zijwaarts. De kolommen gaan op en neer. "Rij" en "kolom" zijn specificaties en zijn niet uitwisselbaar. Matrixgroottes worden altijd gespecificeerd met het aantal rijen en vervolgens het aantal kolommen. Naar aanleiding van deze conventie, de volgende B:
[123]
[234] is 2 × 3. Als een matrix hetzelfde aantal rijen als kolommen heeft, wordt het een "vierkant" genoemd. Bijvoorbeeld coëfficiëntwaarden van bovenaf:
[110]
[011]
[-101] is een 3×3 vierkante matrix.
Matrixnotatie en opmaak
Opmaaknotitie: wanneer u bijvoorbeeld een matrix moet schrijven, is het belangrijk om haakjes te gebruiken. Absolute waardestaven || worden niet gebruikt omdat ze in deze context een andere richting hebben. Haakjes of accolades {} worden nooit gebruikt. Of een ander groeperingssymbool, of helemaal geen, omdat deze presentaties geen betekenis hebben. In de algebra staat een matrix altijd tussen vierkante haken. Alleen de juiste notatie moet worden gebruikt, anders kunnen antwoorden als onleesbaar worden beschouwd.
Zoals eerder vermeld, worden de waarden in een matrix records genoemd. Om welke reden dan ook, de elementen in kwestie zijn meestal geschrevenhoofdletters, zoals A of B, en vermeldingen worden gespecificeerd met de bijbehorende kleine letters, maar met subscripts. In matrix A worden de waarden meestal "ai, j" genoemd, waarbij i de rij van A is en j de kolom van A. Bijvoorbeeld a3, 2=8. De invoer voor a1, 3 is 3.
Voor kleinere matrices, die met minder dan tien rijen en kolommen, wordt de subscript-komma soms weggelaten. "a1, 3=3" kan bijvoorbeeld worden geschreven als "a13=3". Uiteraard zal dit niet werken voor grote matrices, aangezien a213 obscuur zal zijn.
Matrixtypen
Soms geclassificeerd volgens hun recordconfiguraties. Een dergelijke matrix die alle nul-ingangen heeft onder de diagonale "diagonaal" linksboven-rechtsonder, wordt bijvoorbeeld bovenste driehoek genoemd. Er kunnen onder andere andere soorten en typen zijn, maar die zijn niet erg handig. Over het algemeen meestal gezien als bovenste driehoekig. Waarden met exponenten die niet nul zijn, alleen horizontaal, worden diagonale waarden genoemd. Vergelijkbare typen hebben niet-nul-items waarin ze allemaal 1 zijn, dergelijke antwoorden worden identiek genoemd (om redenen die duidelijk zullen worden wanneer het wordt geleerd en begrepen hoe de betreffende waarden kunnen worden vermenigvuldigd). Er zijn veel vergelijkbare onderzoeksindicatoren. De identiteit van 3 × 3 wordt aangegeven met I3. Evenzo is de identiteit van 4 × 4 I4.
Matrixalgebra en lineaire ruimten
Merk op dat driehoekige matrices vierkant zijn. Maar de diagonalen zijn driehoekig. Met het oog hierop zijn zeplein. En identiteiten worden beschouwd als diagonalen en daarom driehoekig en vierkant. Wanneer het nodig is om een matrix te beschrijven, specificeert men gewoonlijk eenvoudig zijn eigen meest specifieke classificatie, aangezien dit alle andere impliceert. Classificeer de volgende onderzoeksopties:als 3 × 4. In dit geval zijn ze niet vierkant. Daarom kunnen de waarden niets anders zijn. De volgende classificatie:is mogelijk als 3 × 3. Maar het wordt als een vierkant beschouwd en er is niets bijzonders aan. Classificatie van de volgende gegevens:als 3 × 3 bovenste driehoek, maar het is niet diagonaal. Toegegeven, in de beschouwde waarden kunnen er extra nullen op of boven de gelokaliseerde en aangegeven ruimte staan. De classificatie die wordt bestudeerd is verder: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], waar het wordt weergegeven als een diagonaal en bovendien zijn de items allemaal 1. Dan is dit een 3 × 3 identiteit, I3.
Aangezien analoge matrices per definitie vierkant zijn, hoeft u slechts één enkele index te gebruiken om hun afmetingen te vinden. Willen twee matrices gelijk zijn, dan moeten ze dezelfde parameter hebben en dezelfde items op dezelfde plaatsen hebben. Stel bijvoorbeeld dat er twee elementen in aanmerking worden genomen: A=[1 3 0] [-2 0 0] en B=[1 3] [-2 0]. Deze waarden kunnen niet hetzelfde zijn omdat ze verschillend van grootte zijn.
Zelfs als A en B zijn: A=[3 6] [2 5] [1 4] en B=[1 2 3] [4 5 6] - ze zijn nog steeds niet hetzelfde hetzelfde. A en B hebben elkzes items en hebben ook dezelfde nummers, maar dit is niet genoeg voor matrices. A is 3 × 2. En B is een matrix van 2 × 3. A voor 3 × 2 is niet 2 × 3. Het maakt niet uit of A en B dezelfde hoeveelheid gegevens of zelfs dezelfde nummers hebben als de records. Als A en B niet dezelfde grootte en vorm hebben, maar identieke waarden hebben op vergelijkbare plaatsen, zijn ze niet gelijk.
Vergelijkbare operaties in het beschouwde gebied
Deze eigenschap van matrixgelijkheid kan worden omgezet in taken voor onafhankelijk onderzoek. Er worden bijvoorbeeld twee matrices gegeven en er wordt aangegeven dat ze gelijk zijn. In dit geval moet u deze gelijkheid gebruiken om de waarden van de variabelen te verkennen en antwoorden te krijgen.
Voorbeelden en oplossingen van matrices in de algebra kunnen worden gevarieerd, vooral als het gaat om gelijkheden. Aangezien de volgende matrices worden beschouwd, is het noodzakelijk om de x- en y-waarden te vinden. Om A en B gelijk te laten zijn, moeten ze dezelfde grootte en vorm hebben. In feite zijn ze zo, omdat elk van hen 2 × 2 matrices is. En ze zouden dezelfde waarden op dezelfde plaatsen moeten hebben. Dan moet a1, 1 gelijk zijn aan b1, 1, a1, 2 moet gelijk zijn aan b1, 2, enzovoort. Maar a1, 1=1 is natuurlijk niet gelijk aan b1, 1=x. Om A identiek te laten zijn aan B, moet de invoer a1, 1=b1, 1 hebben, dus het kan 1=x zijn. Evenzo zijn de indices a2, 2=b2, 2, dus 4=y. Dan is de oplossing: x=1, y=4. Gegeven het volgende:matrices gelijk zijn, moet u de waarden van x, y en z vinden. Om A=B te hebben, moeten de coëfficiënten alle ingangen gelijk hebben. Dat wil zeggen, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 enzovoort. Moet in het bijzonder:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Zoals je kunt zien aan de geselecteerde matrices: met 1, 1-, 2, 2- en 3, 1-elementen. Als we deze drie vergelijkingen oplossen, krijgen we het antwoord: x=4, y=-6 en z=9. Matrixalgebra en matrixbewerkingen zijn anders dan wat iedereen gewend is, maar ze zijn niet reproduceerbaar.
Aanvullende informatie op dit gebied
Lineaire matrixalgebra is de studie van vergelijkbare reeksen vergelijkingen en hun transformatie-eigenschappen. Dit kennisgebied stelt je in staat om rotaties in de ruimte te analyseren, de kleinste kwadraten te benaderen, bijbehorende differentiaalvergelijkingen op te lossen, een cirkel te bepalen die door drie gegeven punten gaat en vele andere problemen op het gebied van wiskunde, natuurkunde en technologie op te lossen. De lineaire algebra van een matrix is niet echt de technische betekenis van het gebruikte woord, namelijk een vectorruimte v over een veld f, etc.
Matrix en determinant zijn uiterst nuttige hulpmiddelen voor lineaire algebra. Een van de centrale taken is het oplossen van de matrixvergelijking Ax=b, voor x. Hoewel dit theoretisch zou kunnen worden opgelost met behulp van de inverse x=A-1 b. Andere methoden, zoals Gauss-eliminatie, zijn numeriek betrouwbaarder.
Naast dat het wordt gebruikt om de studie van lineaire reeksen vergelijkingen te beschrijven, is het gespecificeerdede bovenstaande term wordt ook gebruikt om een bepaald type algebra te beschrijven. In het bijzonder heeft L over een veld F de structuur van een ring met alle gebruikelijke axioma's voor interne optelling en vermenigvuldiging, samen met distributieve wetten. Daarom geeft het meer structuur dan een ring. Lineaire matrixalgebra laat ook een uiterlijke bewerking toe van vermenigvuldiging met scalaire waarden die elementen zijn van het onderliggende veld F. Bijvoorbeeld, de verzameling van alle beschouwde transformaties van een vectorruimte V naar zichzelf over een veld F wordt gevormd over F. Een ander voorbeeld van lineaire algebra is de verzameling van alle reële vierkante matrices over een veld R reële getallen.
