Logaritmen: voorbeelden en oplossingen

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-02 17:53

Zoals je weet, bij het vermenigvuldigen van uitdrukkingen met machten, tellen hun exponenten altijd op (a^ba^c=a^{b+ c). Deze wiskundige wet is afgeleid door Archimedes en later, in de 8e eeuw, creëerde de wiskundige Virasen een tabel met integer-indicatoren. Zij waren het die dienden voor de verdere ontdekking van logaritmen. Voorbeelden van het gebruik van deze functie zijn bijna overal te vinden waar het nodig is om omslachtige vermenigvuldiging te vereenvoudigen tot eenvoudig optellen. Als je 10 minuten besteedt aan het lezen van dit artikel, leggen we je uit wat logaritmen zijn en hoe je ermee kunt werken. Eenvoudige en toegankelijke taal.}

Definitie in wiskunde

De logaritme is een uitdrukking van de volgende vorm: log_ab=c c" waarin je het grondtal "a" moet verhogen om uiteindelijk de waarde te krijgen " b". Laten we de logaritme analyseren aan de hand van voorbeelden, laten we zeggen dat er een expressie is log_{28. Hoe het antwoord te vinden? Het is heel eenvoudig, je moet zo'n graad vinden dat je van 2 tot de vereiste graad 8 krijgt. Na wat berekeningen in je hoofd te hebben gedaan, krijgen we het nummer 3! En het is waar, want2 verheven tot de macht van 3 geeft het antwoord 8.}

Rassen van logaritmen

Voor veel leerlingen en studenten lijkt dit onderwerp ingewikkeld en onbegrijpelijk, maar in feite zijn logaritmen niet zo eng, het belangrijkste is om hun algemene betekenis te begrijpen en hun eigenschappen en enkele regels te onthouden. Er zijn drie verschillende soorten logaritmische uitdrukkingen:

Natuurlijke logaritme ln a, waarbij het grondtal het Euler-getal is (e=2, 7).
Decimale logaritme lg a, waarbij het grondtal het getal 10 is.
Logaritme van een willekeurig getal b naar grondtal a>1.

Elk van hen wordt op een standaardmanier opgelost, inclusief vereenvoudiging, reductie en daaropvolgende reductie tot één logaritme met behulp van logaritmische stellingen. Om de juiste waarden van logaritmen te verkrijgen, moet men hun eigenschappen en de volgorde van acties onthouden bij het oplossen ervan.

Regels en enkele beperkingen

In de wiskunde zijn er verschillende regels-beperkingen die als een axioma worden geaccepteerd, dat wil zeggen dat ze niet onderhandelbaar zijn en waar zijn. Het is bijvoorbeeld onmogelijk om getallen door nul te delen, en het is ook onmogelijk om een even wortel te trekken uit negatieve getallen. Logaritmen hebben ook hun eigen regels, waardoor u gemakkelijk kunt leren werken, zelfs met lange en ruime logaritmische uitdrukkingen:

het grondtal van "a" moet altijd groter zijn dan nul, en tegelijkertijd niet gelijk zijn aan 1, anders verliest de uitdrukking zijn betekenis, omdat "1" en "0" in welke mate dan ook altijd zijn gelijk aan hun waarden;
if een > 0, dan eenb>0,het blijkt dat "c" ook groter moet zijn dan nul.

Hoe logaritmen op te lossen?

Gegeven bijvoorbeeld de taak om het antwoord op de vergelijking 10^x=100 te vinden. Het is heel gemakkelijk, je moet zo'n macht kiezen, het getal tien verhogen, we krijg 100. Dit, natuurlijk. Nou, kwadratische macht! 10^2=100.

Laten we deze uitdrukking nu weergeven als een logaritmische. We krijgen log_{10100=2. Bij het oplossen van logaritmen convergeren alle acties praktisch naar het vinden van de macht waarmee het grondtal van de logaritme moet worden ingevoerd om een bepaald getal te verkrijgen.}

Om de waarde van een onbekende graad nauwkeurig te bepalen, moet je leren werken met de graadtabel. Het ziet er zo uit:

Zoals je kunt zien, kunnen sommige exponenten intuïtief worden geraden als je een technische instelling hebt en kennis hebt van de tafel van vermenigvuldiging. Voor grotere waarden is echter een vermogenstabel vereist. Het kan zelfs worden gebruikt door mensen die helemaal niets begrijpen van complexe wiskundige onderwerpen. De linkerkolom bevat getallen (grondtal a), de bovenste rij getallen is de waarde van de macht c, waartoe het getal a wordt verheven. Op de kruising definiëren de cellen de waarden van de getallen die het antwoord zijn (ac=b). Laten we bijvoorbeeld de allereerste cel met het getal 10 nemen en deze kwadrateren, we krijgen de waarde 100, die wordt aangegeven op de kruising van onze twee cellen. Alles is zo eenvoudig en gemakkelijk dat zelfs de meest echte humanist het zal begrijpen!

Vergelijkingen en ongelijkheden

Het blijkt dat wanneerOnder bepaalde omstandigheden is de exponent de logaritme. Daarom kunnen alle wiskundige numerieke uitdrukkingen worden geschreven als een logaritmische vergelijking. 3⁴=81 kan bijvoorbeeld worden geschreven als de logaritme van 81 tot grondtal 3, wat vier is (log₃81=4). Voor negatieve graden zijn de regels hetzelfde: 2^-5=1/32 geschreven als een logaritme, we krijgen log_{2 (1/32)=-5. Een van de meest fascinerende onderdelen van de wiskunde is het onderwerp "logaritmen". We zullen voorbeelden en oplossingen van vergelijkingen iets lager beschouwen, onmiddellijk na het bestuderen van hun eigenschappen. Laten we voor nu eens kijken naar hoe ongelijkheden eruit zien en hoe we ze kunnen onderscheiden van vergelijkingen.}

De volgende uitdrukking wordt gegeven: log_{2(x-1) > 3 - het is een logaritmische ongelijkheid, aangezien de onbekende waarde "x" onder het teken staat van de logaritme. De uitdrukking vergelijkt ook twee waarden: de logaritme met grondtal twee van het gewenste getal is groter dan het getal drie.}

Het belangrijkste verschil tussen logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden is dat vergelijkingen met logaritmen (voorbeeld - logaritme₂x=√9) _{impliceren in het antwoord een of meer specifieke numerieke waarden, terwijl bij het oplossen van een ongelijkheid zowel het bereik van acceptabele waarden als de breekpunten van deze functie worden bepaald. Als gevolg hiervan is het antwoord niet een eenvoudige reeks individuele getallen, zoals in het antwoord van de vergelijking, maar een doorlopende reeks of reeks getallen.}

eigenschappen van logaritmen met voorbeelden

Basisstellingen over logaritmen

Bij het oplossen van primitieve taken om de waarden van de logaritme te vinden, weet u misschien niet de eigenschappen ervan. Als het echter gaat om logaritmische vergelijkingen of ongelijkheden, is het allereerst noodzakelijk om alle basiseigenschappen van logaritmen duidelijk te begrijpen en in de praktijk toe te passen. We zullen later kennis maken met de voorbeelden van vergelijkingen, laten we eerst elke eigenschap in meer detail analyseren.

De basisidentiteit ziet er als volgt uit: alogaB=B. Het is alleen van toepassing als a groter is dan 0, niet gelijk aan één, en B groter is dan nul.

De logaritme van het product kan worden weergegeven in de volgende formule: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{In dit geval is de verplichte voorwaarde: d, s}1 _{en s}2 _{> 0; a≠1. Je kunt deze formule van logaritmen bewijzen, met voorbeelden en een oplossing. Laat log}a_s1 _=f1 _{en log}a_s 2_=f2_{, dan a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{We snappen dat s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(graden eigenschappen), en verder per definitie: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{die moest worden bewezen.}

De logaritme van het quotiënt ziet er als volgt uit: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.

De stelling in de vorm van een formule heeft de volgende vorm: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Deze formule wordt de "eigenschap van de graad van de logaritme" genoemd. Het lijkt op de eigenschappen van gewone graden, en het is niet verwonderlijk, omdat alle wiskunde op reguliere postulaten berust. Laten we naar het bewijs kijken.

Laat log_ab=t, we krijgen a^t=b. Als je beide kanten verheft tot de macht m: a^tn=b^;

maar omdat a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, vandaar log}aq _bn=(nt)/t, dan log^a_q b_n=n/q log^ab. Stelling bewezen.

Voorbeelden van problemen en ongelijkheden

De meest voorkomende soorten logaritmeproblemen zijn voorbeelden van vergelijkingen en ongelijkheden. Ze zijn te vinden in bijna alle probleemboeken en zijn ook opgenomen in het verplichte deel van examens wiskunde. Om naar een universiteit te gaan of toelatingsexamens voor wiskunde te halen, moet je weten hoe je dergelijke problemen correct kunt oplossen.

Helaas is er geen enkel plan of schema voor het oplossen en bepalen van de onbekende waarde van de logaritme, maar bepaalde regels kunnen worden toegepast op elke wiskundige ongelijkheid of logaritmische vergelijking. Allereerst moet u uitzoeken of de uitdrukking kan worden vereenvoudigd of teruggebracht tot een algemene vorm. U kunt lange logaritmische uitdrukkingen vereenvoudigen als u hun eigenschappen correct gebruikt. Laten we ze snel leren kennen.

Bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen,het is noodzakelijk om te bepalen wat voor soort logaritme we voor ons hebben: een voorbeeld van een uitdrukking kan een natuurlijke logaritme of een decimale één bevatten.

Hier zijn voorbeelden van decimale logaritmen: ln100, ln1026. Hun oplossing komt erop neer dat je moet bepalen in welke mate het grondtal 10 respectievelijk gelijk zal zijn aan 100 en 1026. Voor oplossingen van natuurlijke logaritmen moet men logaritmische identiteiten of hun eigenschappen toepassen. Laten we eens kijken naar voorbeelden van het oplossen van verschillende soorten logaritmische problemen.

vergelijkingen met logaritmen voorbeelden

Logaritmeformules gebruiken: met voorbeelden en oplossingen

Laten we eens kijken naar voorbeelden van het gebruik van de belangrijkste stellingen over logaritmen.

De eigenschap van de logaritme van het product kan worden gebruikt in taken waarbij het nodig is om een grote waarde van het getal b te ontleden in eenvoudiger factoren. Bijvoorbeeld log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Het antwoord is 9.}

log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - zoals je kunt zien, zijn we erin geslaagd om op het eerste gezicht op te lossen door de vierde eigenschap van de graad van de logaritme toe te passen een complexe en onoplosbare uitdrukking. Het enige wat je hoeft te doen is de basis te ontbinden en dan de kracht uit het teken van de logaritme te halen.}

voorbeelden van natuurlijke logaritmen oplossingen

Opdrachten van het examen

Logaritmen komen vaak voor bij toelatingsexamens, vooral veel logaritmische problemen bij het Unified State Examination (staatsexamen voor alle afgestudeerden). Meestal zijn deze taken niet alleen aanwezig in deel A (de meestmakkelijke toets deel van het examen), maar ook in deel C (de moeilijkste en meest omvangrijke taken). Het examen vereist een nauwkeurige en perfecte kennis van het onderwerp "Natuurlijke logaritmen".

Voorbeelden en probleemoplossingen zijn overgenomen uit de officiële versies van het examen. Laten we eens kijken hoe dergelijke taken worden opgelost.

Gegeven log₂(2x-1)=4. Oplossing:

herschrijf de uitdrukking, vereenvoudig het een beetje log_2(2x-1)=22^{, volgens de definitie van de logaritme krijgen we dat 2x-1=2}4^{, dus 2x=17; x=8, 5.}

Volg een paar richtlijnen, waarmee u eenvoudig alle vergelijkingen kunt oplossen die uitdrukkingen bevatten die onder het teken van de logaritme staan.

Het is het beste om alle logaritmen tot hetzelfde grondtal te reduceren, zodat de oplossing niet omslachtig en verwarrend wordt.
Alle uitdrukkingen onder het logaritmeteken worden als positief aangegeven, dus bij vermenigvuldiging van de exponent van de uitdrukking die onder het logaritmeteken staat en als basis, moet de resterende uitdrukking onder het logaritme positief zijn.