In de cursus meetkunde op school wordt enorm veel tijd besteed aan de studie van driehoeken. De leerlingen berekenen hoeken, bouwen bissectrices en hoogten, ontdekken hoe vormen van elkaar verschillen en de gemakkelijkste manier om hun gebied en omtrek te vinden. Het lijkt erop dat dit op geen enkele manier nuttig is in het leven, maar soms is het toch nuttig om bijvoorbeeld te weten hoe je kunt bepalen of een driehoek gelijkzijdig of stomp is. Hoe het te doen?
Soorten driehoeken
Drie punten die niet op dezelfde rechte lijn liggen, en de segmenten die ze verbinden. Het lijkt erop dat dit cijfer het eenvoudigst is. Hoe kunnen driehoeken eruitzien als ze maar drie zijden hebben? In feite zijn er een vrij groot aantal opties, en sommige krijgen speciale aandacht als onderdeel van de cursus geometrie op school. Een gelijkzijdige driehoek is gelijkzijdig, dat wil zeggen dat alle hoeken en zijden gelijk zijn. Het heeft een aantal opmerkelijke eigenschappen, die later zullen worden besproken.
De gelijkbenige heeft slechts twee gelijke zijden, en het is ook best interessant. In rechthoekige en stomphoekige driehoeken is, zoals je zou kunnen raden, respectievelijk een van de hoeken recht of stomp. Bijdit kunnen ook gelijkbenig zijn.
Er is ook een speciaal soort driehoek genaamd Egyptisch. De zijkanten zijn 3, 4 en 5 eenheden. Het is echter rechthoekig. Er wordt aangenomen dat een dergelijke driehoek actief werd gebruikt door Egyptische landmeters en architecten om rechte hoeken te bouwen. Er wordt aangenomen dat de beroemde piramides met zijn hulp werden gebouwd.
En toch kunnen alle hoekpunten van een driehoek op één rechte lijn liggen. In dit geval wordt het gedegenereerd genoemd, terwijl alle andere niet-gedegenereerd worden genoemd. Ze zijn een van de onderwerpen van de studie van geometrie.
Gelijkzijdige driehoek
Natuurlijk zijn correcte cijfers altijd het interessantst. Ze lijken volmaakter, sierlijker. De formules voor het berekenen van hun kenmerken zijn vaak eenvoudiger en korter dan voor gewone cijfers. Dit geldt ook voor driehoeken. Het is niet verwonderlijk dat er veel aandacht aan hen wordt besteed bij het bestuderen van geometrie: schoolkinderen wordt geleerd om regelmatige figuren van de rest te onderscheiden en ook om enkele van hun interessante kenmerken te vertellen.
Tekens en eigenschappen
Zoals je uit de naam zou kunnen raden, is elke zijde van een gelijkzijdige driehoek gelijk aan de andere twee. Bovendien heeft het een aantal functies, waardoor het mogelijk is om te bepalen of het cijfer correct is of niet.
- alle hoeken zijn gelijk, hun waarde is 60 graden;
- bissectrices, hoogten en medianen getrokken vanuit elk hoekpunt zijn hetzelfde;
- regelmatige driehoek heeft 3 symmetrieassen, hetverandert niet wanneer 120 graden gedraaid.
- het middelpunt van de ingeschreven cirkel is ook het middelpunt van de omgeschreven cirkel en het snijpunt van de middellijnen, bissectrices, hoogten en middelloodlijnen.
Als ten minste één van de bovenstaande tekens wordt waargenomen, is de driehoek gelijkzijdig. Voor een normaal cijfer zijn alle bovenstaande beweringen waar.
Alle driehoeken hebben een aantal opmerkelijke eigenschappen. Ten eerste is de middelste lijn, dat wil zeggen het segment dat de twee zijden in tweeën deelt en evenwijdig aan de derde, gelijk aan de helft van de basis. Ten tweede is de som van alle hoeken van deze figuur altijd gelijk aan 180 graden. Daarnaast is er nog een interessante relatie in driehoeken. Dus tegenover de grotere zijde ligt een grotere hoek en vice versa. Maar dit heeft natuurlijk niets te maken met een gelijkzijdige driehoek, omdat alle hoeken gelijk zijn.
Ingeschreven en omgeschreven cirkels
Het is niet ongebruikelijk dat studenten in een meetkundecursus ook leren hoe vormen met elkaar kunnen interageren. In het bijzonder worden cirkels bestudeerd die zijn ingeschreven in veelhoeken of eromheen zijn beschreven. Waar gaat het over?
Een ingeschreven cirkel is een cirkel waaraan alle zijden van de veelhoek raken. Beschreven - degene die contactpunten heeft met alle hoeken. Voor elke driehoek is het altijd mogelijk om zowel de eerste als de tweede cirkel te construeren, maar slechts één van elk type. Bewijs voor deze twee
stellingen worden gegeven incursus geometrie op school.
Naast het berekenen van de parameters van de driehoeken zelf, omvatten sommige taken ook het berekenen van de stralen van deze cirkels. En de formules voor de gelijkzijdige driehoek zien er als volgt uit:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
waar r de straal van de ingeschreven cirkel is, R de straal van de omgeschreven cirkel is, a de lengte van de zijde van de driehoek.
Hoogte, omtrek en oppervlakte berekenen
De belangrijkste parameters, die door schoolkinderen worden berekend tijdens het bestuderen van geometrie, blijven voor bijna elk cijfer ongewijzigd. Dit zijn de omtrek, oppervlakte en hoogte. Om de berekening te vergemakkelijken, zijn er verschillende formules.
Dus de omtrek, dat wil zeggen de lengte van alle zijden, wordt op de volgende manieren berekend:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, waarbij a de zijde van een regelmatige driehoek is, R de straal van de omgeschreven cirkel, r de ingeschreven cirkel.
Hoogte:
h=(√ ̅3/2)a, waarbij a de lengte van de zijde is.
Ten slotte is de formule voor de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek afgeleid van de standaardformule, dat wil zeggen, het product van de helft van de basis en de hoogte ervan.
S=(√ ̅3/4)a2, waarbij a de lengte van de zijde is.
Deze waarde kan ook worden berekend via de parameters van de omgeschreven of ingeschreven cirkel. Hier zijn ook speciale formules voor:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, waarbij r en R respectievelijk de radii ingeschreven en omgeschreven cirkels.
Gebouw
Nog eenEen interessant type taak, inclusief driehoeken, houdt verband met de noodzaak om een of ander figuur te tekenen met behulp van de minimale set
tools: een kompas en een liniaal zonder delen.
Er zijn een paar stappen nodig om een goede driehoek te bouwen met alleen deze hulpmiddelen.
- Je moet een cirkel tekenen met een willekeurige straal en gecentreerd op een willekeurig punt A. Het moet worden gemarkeerd.
- Vervolgens moet je een rechte lijn door dit punt trekken.
- Intersecties van een cirkel en een rechte lijn moeten worden aangeduid als B en C. Alle constructies moeten met de grootst mogelijke nauwkeurigheid worden uitgevoerd.
- Vervolgens moet je een andere cirkel bouwen met dezelfde straal en hetzelfde middelpunt op punt C of een boog met de juiste parameters. Kruispunten worden gemarkeerd als D en F.
- Punten B, F, D moeten worden verbonden door segmenten. Er wordt een gelijkzijdige driehoek geconstrueerd.
Het oplossen van dergelijke problemen is meestal een probleem voor schoolkinderen, maar deze vaardigheid kan nuttig zijn in het dagelijks leven.
