Kansrekening is een speciale tak van wiskunde, die alleen wordt bestudeerd door studenten van instellingen voor hoger onderwijs. Houd je van berekeningen en formules? Ben je niet bang voor de vooruitzichten van kennismaking met de normale verdeling, de entropie van het ensemble, de wiskundige verwachting en de variantie van een discrete willekeurige variabele? Dan zal dit onderwerp je erg interesseren. Laten we kennis maken met enkele van de belangrijkste basisconcepten van dit deel van de wetenschap.
Herinner de basis
Zelfs als je je de eenvoudigste concepten van de kansrekening herinnert, verwaarloos dan de eerste alinea's van het artikel niet. Het is een feit dat u zonder een duidelijk begrip van de basisprincipes niet met de hieronder besproken formules kunt werken.
Dus er is een willekeurige gebeurtenis, een experiment. Als resultaat van de uitgevoerde acties kunnen we verschillende resultaten krijgen - sommige komen vaker voor, andere komen minder vaak voor. De waarschijnlijkheid van een gebeurtenis is de verhouding van het aantal werkelijk ontvangen uitkomsten van één type tot het totale aantal mogelijke. Alleen als je de klassieke definitie van dit concept kent, kun je beginnen met het bestuderen van de wiskundige verwachting en variantie van continuwillekeurige variabelen.
Rekenkundig gemiddelde
Zelfs op school, in wiskundelessen, begon je met het rekenkundig gemiddelde te werken. Dit concept wordt veel gebruikt in de kansrekening en kan daarom niet worden genegeerd. Het belangrijkste voor ons op dit moment is dat we het zullen tegenkomen in de formules voor de wiskundige verwachting en variantie van een willekeurige variabele.
We hebben een reeks getallen en willen het rekenkundig gemiddelde vinden. Het enige dat van ons wordt gevraagd, is alles wat beschikbaar is optellen en delen door het aantal elementen in de reeks. Laten we getallen hebben van 1 tot 9. De som van de elementen wordt 45, en we delen deze waarde door 9. Antwoord: - 5.
Verspreiding
Wetenschappelijk gezien is variantie het gemiddelde kwadraat van de afwijkingen van de verkregen kenmerkwaarden van het rekenkundig gemiddelde. Een daarvan wordt aangegeven met een Latijnse hoofdletter D. Wat is er nodig om het te berekenen? Voor elk element van de rij berekenen we het verschil tussen het beschikbare getal en het rekenkundig gemiddelde en kwadrateren we dit. Er zullen precies zoveel waarden zijn als er uitkomsten kunnen zijn voor het evenement dat we overwegen. Vervolgens vatten we alles samen dat we hebben ontvangen en delen dit door het aantal elementen in de reeks. Als we vijf mogelijke uitkomsten hebben, deel dan door vijf.
Dispersion heeft ook eigenschappen die je moet onthouden om het toe te passen bij het oplossen van problemen. Als de willekeurige variabele bijvoorbeeld met X keer wordt verhoogd, neemt de variantie toe met X keer het kwadraat (d.w.z. XX). Het is nooit minder dan nul en is niet afhankelijk vanwaarden met een gelijke waarde omhoog of omlaag verschuiven. Ook voor onafhankelijke proeven is de variantie van de som gelijk aan de som van de varianties.
Nu moeten we zeker kijken naar voorbeelden van de variantie van een discrete willekeurige variabele en de wiskundige verwachting.
Stel dat we 21 experimenten hebben uitgevoerd en 7 verschillende resultaten hebben gekregen. We observeerden elk van hen respectievelijk 1, 2, 2, 3, 4, 4 en 5 keer. Wat zal de afwijking zijn?
Laten we eerst het rekenkundig gemiddelde berekenen: de som van de elementen is natuurlijk 21. Deel het door 7, je krijgt 3. Trek nu 3 af van elk getal in de originele reeks, kwadratisch elke waarde en voeg toe de resultaten samen. Het worden er 12. Nu rest ons nog om het getal te delen door het aantal elementen, en het lijkt erop dat dat alles is. Maar er is een addertje onder het gras! Laten we het bespreken.
Afhankelijkheid van het aantal experimenten
Het blijkt dat bij het berekenen van de variantie de noemer een van twee getallen kan zijn: N of N-1. Hier is N het aantal uitgevoerde experimenten of het aantal elementen in de reeks (wat in feite hetzelfde is). Waar hangt het van af?
Als het aantal tests in honderden wordt gemeten, dan moeten we N in de noemer zetten. Indien in eenheden, dan N-1. De wetenschappers besloten de grens vrij symbolisch te tekenen: vandaag loopt deze langs het getal 30. Als we minder dan 30 experimenten hebben uitgevoerd, delen we de hoeveelheid door N-1, en als er meer zijn, dan door N.
Taak
Laten we teruggaan naar ons voorbeeld van het oplossen van het variantie- en verwachtingsprobleem. Wijkreeg een tussencijfer van 12, dat moest worden gedeeld door N of N-1. Aangezien we 21 experimenten hebben uitgevoerd, wat minder is dan 30, zullen we de tweede optie kiezen. Het antwoord is dus: de variantie is 12 / 2=2.
Verwachting
Laten we verder gaan met het tweede concept, dat we in dit artikel moeten bespreken. De wiskundige verwachting is het resultaat van het optellen van alle mogelijke uitkomsten vermenigvuldigd met de bijbehorende kansen. Het is belangrijk om te begrijpen dat de resulterende waarde, evenals het resultaat van het berekenen van de variantie, slechts één keer wordt verkregen voor de hele taak, ongeacht het aantal uitkomsten dat wordt beschouwd.
De verwachtingsformule is vrij eenvoudig: we nemen een uitkomst, vermenigvuldigen deze met zijn waarschijnlijkheid, voegen hetzelfde toe voor het tweede, derde resultaat, enz. Alles wat met dit concept te maken heeft, is eenvoudig te berekenen. De som van wiskundige verwachtingen is bijvoorbeeld gelijk aan de wiskundige verwachting van de som. Hetzelfde geldt voor het werk. Niet elke grootheid in de kansrekening laat zulke eenvoudige bewerkingen toe. Laten we een taak uitvoeren en de waarde berekenen van twee concepten die we in één keer hebben bestudeerd. Bovendien werden we afgeleid door theorie - het is tijd om te oefenen.
Nog een voorbeeld
We hebben 50 proeven uitgevoerd en 10 soorten resultaten gekregen - getallen van 0 tot 9 - die in verschillende percentages verschijnen. Deze zijn respectievelijk: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Bedenk dat om de kansen te krijgen, je de procentuele waarden moet delen door 100. We krijgen dus 0,02; 0, 1, enz. Laten we representeren voor de variantie van een willekeurigewaarde en wiskundige verwachting voorbeeld van het oplossen van het probleem.
Bereken het rekenkundig gemiddelde met de formule die we ons van de basisschool herinneren: 50/10=5.
Laten we nu de kansen vertalen in het aantal uitkomsten "in stukjes" om het tellen gemakkelijker te maken. We krijgen 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 en 9. Trek het rekenkundig gemiddelde van elke verkregen waarde af, waarna we elk van de verkregen resultaten kwadrateren. Kijk hoe u dit doet met het eerste element als voorbeeld: 1 - 5=(-4). Verder: (-4)(-4)=16. Voer deze bewerkingen zelf uit voor andere waarden. Als je alles goed hebt gedaan, krijg je na het toevoegen van alle tussenresultaten 90.
Ga door met het berekenen van variantie en gemiddelde door 90 te delen door N. Waarom kiezen we N en niet N-1? Dat klopt, want het aantal uitgevoerde experimenten is meer dan 30. Dus: 90/10=9. We hebben de spreiding. Als je een ander nummer krijgt, wanhoop dan niet. Hoogstwaarschijnlijk heb je een banale fout gemaakt in de berekeningen. Controleer nogmaals wat je hebt geschreven en alles zal zeker op zijn plaats vallen.
Laten we ten slotte de verwachtingsformule onthouden. We zullen niet alle berekeningen geven, we zullen alleen het antwoord schrijven waarmee u kunt controleren na het voltooien van alle vereiste procedures. De verwachting zal gelijk zijn aan 5, 48. We herinneren ons alleen hoe bewerkingen moeten worden uitgevoerd, met behulp van het voorbeeld van de eerste elementen: 00, 02 + 10, 1… enzovoort. Zoals je kunt zien, vermenigvuldigen we de waarde van de uitkomst eenvoudig met de waarschijnlijkheid ervan.
Afwijking
Een ander concept dat nauw verband houdt met variantie en verwachte waarde isstandaardafwijking. Het wordt aangeduid met de Latijnse letters sd of met de Griekse kleine letter "sigma". Dit concept laat zien hoe waarden gemiddeld afwijken van het centrale kenmerk. Om de waarde ervan te vinden, moet je de vierkantswortel van de variantie berekenen.
Als je een grafiek van een normale verdeling maakt en de waarde van de standaarddeviatie er direct op wilt zien, kan dit in verschillende fasen. Neem de helft van de afbeelding links of rechts van de modus (centrale waarde), teken een loodlijn op de horizontale as zodat de oppervlakken van de resulterende figuren gelijk zijn. De waarde van het segment tussen het midden van de verdeling en de resulterende projectie op de horizontale as is de standaarddeviatie.
Software
Zoals je kunt zien in de beschrijvingen van de formules en de gepresenteerde voorbeelden, is het berekenen van de variantie en de wiskundige verwachting vanuit rekenkundig oogpunt niet de gemakkelijkste procedure. Om geen tijd te verspillen, is het logisch om het programma te gebruiken dat in het hoger onderwijs wordt gebruikt - het wordt "R" genoemd. Het heeft functies waarmee u waarden kunt berekenen voor veel concepten uit statistiek en kansrekening.
U definieert bijvoorbeeld een vector van waarden. Dit gaat als volgt: vector <-c(1, 5, 2…). Wanneer u nu enkele waarden voor deze vector moet berekenen, schrijft u een functie en geeft u deze als argument. Om de variantie te vinden, moet u de var gebruiken. Een voorbeeld van haargebruik: var(vector). Dan druk je gewoon op "enter" en krijg je het resultaat.
Tot slot
Variantie en wiskundige verwachting zijn de basisconcepten van de kansrekening, zonder welke het moeilijk is om in de toekomst iets te berekenen. In het hoofdgerecht van colleges aan universiteiten worden ze al in de eerste maanden van het bestuderen van het onderwerp overwogen. Juist vanwege het gebrek aan begrip van deze eenvoudige concepten en het onvermogen om ze te berekenen, beginnen veel studenten onmiddellijk achter te raken in het programma en krijgen ze later slechte cijfers aan het einde van de sessie, waardoor ze geen beurzen krijgen.
Oefen minimaal een week gedurende een half uur per dag, waarbij je problemen oplost die vergelijkbaar zijn met die in dit artikel. Dan zul je bij elke kanstheorie-test omgaan met voorbeelden zonder vreemde tips en spiekbriefjes.
