Matrices: Gauss-methode. Gauss-matrixberekening: voorbeelden

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 05:37

Lineaire algebra, die aan universiteiten wordt onderwezen in verschillende specialismen, combineert veel complexe onderwerpen. Sommigen van hen zijn gerelateerd aan matrices, evenals aan de oplossing van stelsels van lineaire vergelijkingen door de methoden van Gauss en Gauss-Jordanië. Niet alle studenten slagen erin om deze onderwerpen, algoritmen voor het oplossen van verschillende problemen, te begrijpen. Laten we samen de matrices en methoden van Gauss en Gauss-Jordanië begrijpen.

Basisconcepten

Een matrix in lineaire algebra is een rechthoekige reeks elementen (tabel). Hieronder staan sets van elementen tussen haakjes. Dit zijn matrices. Uit het bovenstaande voorbeeld blijkt dat de elementen in rechthoekige arrays niet alleen getallen zijn. De matrix kan bestaan uit wiskundige functies, algebraïsche symbolen.

Laten we, om enkele concepten te begrijpen, een matrix A maken van de elementen a_ij. Indexen zijn niet zomaar letters: i is het nummer van de rij in de tabel, en j is het nummer van de kolom, in het gebied van het snijpunt waarvan het element zich bevindta_ij. We zien dus dat we een matrix van elementen hebben zoals a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ enz. De letter n geeft het aantal kolommen aan en de letter m geeft het aantal rijen aan. Het symbool m × n geeft de afmeting van de matrix aan. Dit is het concept dat het aantal rijen en kolommen definieert in een rechthoekige reeks elementen.

Optioneel moet de matrix meerdere kolommen en rijen hebben. Met een afmeting van 1 × n is de reeks elementen een rij en met een afmeting van m × 1, is het een reeks met één kolom. Wanneer het aantal rijen en het aantal kolommen gelijk zijn, wordt de matrix vierkant genoemd. Elke vierkante matrix heeft een determinant (det A). Deze term verwijst naar het nummer dat is toegewezen aan de matrix A.

Nog een paar belangrijke concepten om te onthouden om matrices met succes op te lossen, zijn de hoofd- en secundaire diagonalen. De hoofddiagonaal van een matrix is de diagonaal die vanuit de linkerbovenhoek naar de rechterhoek van de tafel gaat. De zijdiagonaal gaat vanaf de onderkant naar de rechterhoek omhoog vanuit de linkerhoek.

Getrapte matrixweergave

Kijk naar de afbeelding hieronder. Daarop zie je een matrix en een diagram. Laten we eerst de matrix behandelen. In lineaire algebra wordt een dergelijke matrix een stappenmatrix genoemd. Het heeft één eigenschap: als a_ij het eerste niet-nul element is in de i-de rij, dan zijn alle andere elementen uit de matrix eronder en links van a_ij , zijn null (d.w.z. al die elementen die de letteraanduiding a_kl kunnen krijgen, waarbij k>i enl<j).

Beschouw nu het diagram. Het weerspiegelt de getrapte vorm van de matrix. Het schema toont 3 soorten cellen. Elk type geeft bepaalde elementen aan:

• lege cellen - nul elementen van de matrix;
• gearceerde cellen zijn willekeurige elementen die zowel nul als niet-nul kunnen zijn;
• zwarte vierkanten zijn niet-nul-elementen, die hoekelementen, "stappen" worden genoemd (in de matrix die ernaast wordt getoond, zijn dergelijke elementen de getallen –1, 5, 3, 8).

Bij het oplossen van matrices is het resultaat soms dat de "lengte" van de stap groter is dan 1. Dit is toegestaan. Alleen de "hoogte" van de treden is van belang. In een stappenmatrix moet deze parameter altijd gelijk zijn aan één.

Matrixreductie naar stapvorm

Elke rechthoekige matrix kan worden omgezet in een getrapte vorm. Dit gebeurt door middel van elementaire transformaties. Ze omvatten:

• strings herschikken;
• Een andere regel aan een regel toevoegen, indien nodig vermenigvuldigd met een getal (u kunt ook een aftrekbewerking uitvoeren).

Laten we eens kijken naar elementaire transformaties bij het oplossen van een specifiek probleem. De onderstaande figuur toont de matrix A, die moet worden teruggebracht tot een getrapte vorm.

Om het probleem op te lossen, volgen we het algoritme:

• Het is handig om transformaties op een matrix uit te voeren methet eerste element in de linkerbovenhoek (d.w.z. het "leidende" element) is 1 of -1. In ons geval is het eerste element in de bovenste rij 2, dus laten we de eerste en tweede rij omwisselen.
• Laten we aftrekbewerkingen uitvoeren, die rijen 2, 3 en 4 beïnvloeden. We zouden nullen in de eerste kolom onder het "leidende" element moeten krijgen. Om dit resultaat te bereiken: trekken we van de elementen van regel nr. 2 achtereenvolgens de elementen van regel nr. 1 af, vermenigvuldigd met 2; van de elementen van regel nr. 3 trekken we achtereenvolgens de elementen van regel nr. 1 af, vermenigvuldigd met 4; van de elementen van regel nr. 4 trekken we achtereenvolgens de elementen van regel nr. 1 af.
• Vervolgens gaan we werken met een afgeknotte matrix (zonder kolom 1 en zonder rij 1). Het nieuwe "leidende" element, dat op de kruising van de tweede kolom en de tweede rij staat, is gelijk aan -1. Het is niet nodig om de regels opnieuw te rangschikken, dus herschrijven we de eerste kolom en de eerste en tweede rij zonder wijzigingen. Laten we aftrekbewerkingen uitvoeren om nullen in de tweede kolom onder het "leidende" element te krijgen: van de elementen van de derde regel trekken we achtereenvolgens de elementen van de tweede regel af, vermenigvuldigd met 3; trek de elementen van de tweede regel vermenigvuldigd met 2 af van de elementen van de vierde regel.
• Het blijft om de laatste regel te veranderen. Van zijn elementen trekken we achtereenvolgens de elementen van de derde rij af. Zo kregen we een getrapte matrix.

Reductie van matrices tot een stapvorm wordt gebruikt bij het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen (SLE) volgens de Gauss-methode. Laten we, voordat we naar deze methode kijken, enkele termen begrijpen die verband houden met SLN.

Matrices en stelsels van lineaire vergelijkingen

Matrices worden in verschillende wetenschappen gebruikt. Met behulp van tabellen met getallen kunt u bijvoorbeeld lineaire vergelijkingen oplossen die zijn gecombineerd in een systeem met behulp van de Gauss-methode. Laten we eerst kennis maken met een paar termen en hun definities, en ook kijken hoe een matrix wordt gevormd uit een systeem dat verschillende lineaire vergelijkingen combineert.

SLU – verschillende gecombineerde algebraïsche vergelijkingen met onbekenden van de eerste macht en geen producttermen.

SLE-oplossing – gevonden waarden van onbekenden, in de plaats daarvan worden de vergelijkingen in het systeem identiteiten.

Een gezamenlijke SLE is een stelsel van vergelijkingen dat ten minste één oplossing heeft.

Inconsistent SLE is een stelsel van vergelijkingen dat geen oplossingen heeft.

Hoe wordt een matrix gevormd op basis van een systeem dat lineaire vergelijkingen combineert? Er zijn concepten als de hoofdmatrices en de uitgebreide matrices van het systeem. Om de hoofdmatrix van het systeem te verkrijgen, is het noodzakelijk om alle coëfficiënten voor de onbekenden in de tabel te zetten. De uitgebreide matrix wordt verkregen door een kolom met vrije termen toe te voegen aan de hoofdmatrix (deze bevat bekende elementen waaraan elke vergelijking in het systeem is gelijkgesteld). U kunt dit hele proces begrijpen door de onderstaande afbeelding te bestuderen.

Het eerste dat we in de afbeelding zien, is een systeem dat lineaire vergelijkingen bevat. Zijn elementen: a_ij – numerieke coëfficiënten, x_j – onbekende waarden, b_i – constante termen (waarbij i=1, 2, …, m, en j=1, 2, …, n). Het tweede element in de afbeelding is de hoofdmatrix van coëfficiënten. Van elke vergelijking worden de coëfficiënten op een rij geschreven. Als gevolg hiervan zijn er net zoveel rijen in de matrix als er vergelijkingen in het systeem zijn. Het aantal kolommen is gelijk aan het grootste aantal coëfficiënten in een vergelijking. Het derde element in de afbeelding is een augmented matrix met een kolom met vrije termen.

Algemene informatie over de Gauss-methode

In lineaire algebra is de Gauss-methode de klassieke manier om SLE op te lossen. Het draagt de naam van Carl Friedrich Gauss, die leefde in de 18e-19e eeuw. Dit is een van de grootste wiskundigen aller tijden. De essentie van de Gauss-methode is het uitvoeren van elementaire transformaties op een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen. Met behulp van transformaties wordt de SLE teruggebracht tot een equivalent systeem van een driehoekige (getrapte) vorm, waaruit alle variabelen te vinden zijn.

Het is vermeldenswaard dat Carl Friedrich Gauss niet de ontdekker is van de klassieke methode voor het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen. De methode is veel eerder uitgevonden. De eerste beschrijving is te vinden in de encyclopedie van kennis van oude Chinese wiskundigen, genaamd "Wiskunde in 9 boeken".

Een voorbeeld van het oplossen van de SLE met de Gauss-methode

Laten we eens kijken naar de oplossing van systemen volgens de Gauss-methode op een specifiek voorbeeld. We zullen werken met de SLU die in de afbeelding wordt getoond.

Oplossend algoritme:

1. We zullen het systeem terugbrengen tot een stapvorm door de directe verplaatsing van de Gauss-methode, maar eerstwe zullen een uitgebreide matrix van numerieke coëfficiënten en gratis leden samenstellen.
2. Om de matrix op te lossen met behulp van de Gauss-methode (d.w.z. breng het naar een getrapte vorm), trekken we de elementen van de eerste rij achtereenvolgens af van de elementen van de tweede en derde rij. We krijgen nullen in de eerste kolom onder het "leidende" element. Vervolgens zullen we voor het gemak de tweede en derde regel op sommige plaatsen wijzigen. Voeg bij de elementen van de laatste rij achtereenvolgens de elementen van de tweede rij toe, vermenigvuldigd met 3.
3. Als resultaat van de berekening van de matrix met de Gauss-methode, kregen we een getrapte reeks elementen. Op basis hiervan zullen we een nieuw stelsel lineaire vergelijkingen samenstellen. Door de omgekeerde loop van de Gauss-methode vinden we de waarden van de onbekende termen. Uit de laatste lineaire vergelijking blijkt dat x₃ gelijk is aan 1. We vervangen deze waarde in de tweede regel van het systeem. Je krijgt de vergelijking x₂ – 4=–4. Hieruit volgt dat x₂ gelijk is aan 0. Vervang x₂ en x₃ in de eerste vergelijking van het systeem: x1 _{+ 0 +3=2. De onbekende term is -1.}

Antwoord: met behulp van de matrix, de Gauss-methode, hebben we de waarden van de onbekenden gevonden; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordanische methode

In lineaire algebra bestaat ook zoiets als de Gauss-Jordan-methode. Het wordt beschouwd als een wijziging van de Gauss-methode en wordt gebruikt om de inverse matrix te vinden, onbekende termen van vierkante systemen van algebraïsche lineaire vergelijkingen te berekenen. De Gauss-Jordan-methode is handig omdat het de SLE in één stap oplost (zonder het gebruik van directe en inversebeweegt).

Laten we beginnen met de term "inverse matrix". Stel dat we een matrix A hebben. De inverse daarvoor is de matrix A^-1, terwijl de voorwaarde noodzakelijkerwijs is vervuld: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, d.w.z. het product van deze matrices is gelijk aan de identiteitsmatrix (de elementen van de hoofddiagonaal van de identiteitsmatrix zijn enen, en de overige elementen zijn nul).}

Een belangrijke nuance: in lineaire algebra is er een stelling over het bestaan van een inverse matrix. Een voldoende en noodzakelijke voorwaarde voor het bestaan van de matrix A^-1 is dat de matrix A niet-singulier is.

Basisstappen waarop de Gauss-Jordan-methode is gebaseerd:

1. Kijk naar de eerste rij van een bepaalde matrix. De Gauss-Jordan-methode kan worden gestart als de eerste waarde niet gelijk is aan nul. Als de eerste plaats 0 is, verwissel dan de rijen zodat het eerste element een waarde heeft die niet nul is (het is wenselijk dat het getal dichter bij één ligt).
2. Verdeel alle elementen van de eerste rij door het eerste getal. Je krijgt een string die begint met één.
3. Trek van de tweede regel de eerste regel af vermenigvuldigd met het eerste element van de tweede regel, d.w.z. dat u uiteindelijk een regel krijgt die bij nul begint. Doe hetzelfde voor de rest van de lijnen. Deel elke lijn door zijn eerste niet-nul element om diagonaal 1's te krijgen.
4. Als resultaat krijgt u de bovenste driehoekige matrix met behulp van de Gauss - Jordan-methode. Daarin wordt de hoofddiagonaal weergegeven door eenheden. De onderste hoek is gevuld met nullen, enbovenhoek - verschillende waarden.
5. Trek van de voorlaatste regel de laatste regel af vermenigvuldigd met de vereiste coëfficiënt. Je zou een string moeten krijgen met nullen en één. Herhaal dezelfde actie voor de rest van de regels. Na alle transformaties wordt de identiteitsmatrix verkregen.

Een voorbeeld van het vinden van de inverse matrix met behulp van de Gauss-Jordan-methode

Om de inverse matrix te berekenen, moet je de augmented matrix A|E schrijven en de nodige transformaties uitvoeren. Laten we een eenvoudig voorbeeld bekijken. Onderstaande figuur toont de matrix A.

Oplossing:

1. Laten we eerst de matrixdeterminant zoeken met behulp van de Gauss-methode (det A). Als deze parameter niet gelijk is aan nul, wordt de matrix als niet-singulier beschouwd. Hierdoor kunnen we concluderen dat A zeker A^-1 heeft. Om de determinant te berekenen, transformeren we de matrix naar een stapsgewijze vorm door elementaire transformaties. Laten we het getal K gelijk aan het aantal rijpermutaties tellen. We veranderden de lijnen slechts 1 keer. Laten we de determinant berekenen. De waarde is gelijk aan het product van de elementen van de hoofddiagonaal, vermenigvuldigd met (–1)^K. Berekeningsresultaat: det A=2.
2. Stel de uitgebreide matrix samen door de identiteitsmatrix toe te voegen aan de oorspronkelijke matrix. De resulterende reeks elementen zal worden gebruikt om de inverse matrix te vinden met de Gauss-Jordan-methode.
3. Het eerste element in de eerste rij is gelijk aan één. Dit past bij ons, omdat het niet nodig is om de regels opnieuw te rangschikken en de gegeven regel door een getal te delen. Laten we aan de slag gaanmet de tweede en derde regel. Om het eerste element in de tweede rij in 0 te veranderen, trekt u de eerste rij vermenigvuldigd met 3. Trek de eerste rij af van de derde rij (geen vermenigvuldiging vereist).
4. In de resulterende matrix is het tweede element van de tweede rij -4, en het tweede element van de derde rij is -1. Laten we voor het gemak de regels verwisselen. Trek van de derde rij de tweede rij af, vermenigvuldigd met 4. Deel de tweede rij door -1 en de derde rij door 2. We krijgen de bovenste driehoekige matrix.
5. Laten we de laatste regel vermenigvuldigd met 4 van de tweede regel aftrekken, en de laatste regel vermenigvuldigd met 5 van de eerste regel. Trek vervolgens de tweede regel vermenigvuldigd met 2 af van de eerste regel. Aan de linkerkant hebben we de identiteitsmatrix. Aan de rechterkant is de inverse matrix.

Een voorbeeld van het oplossen van SLE volgens de Gauss-Jordanische methode

De figuur toont een stelsel lineaire vergelijkingen. Het is vereist om de waarden van onbekende variabelen te vinden met behulp van een matrix, de Gauss-Jordan-methode.

Oplossing:

1. Laten we een augmented matrix maken. Om dit te doen, zullen we de coëfficiënten en vrije termen in de tabel plaatsen.
2. Los de matrix op met behulp van de Gauss-Jordan-methode. Van regel nr. 2 trekken we regel nr. 1 af. Van regel nr. 3 trekken we regel nr. 1 af, eerder vermenigvuldigd met 2.
3. Verwissel rij 2 en 3.
4. Van lijn 3 trek lijn 2 af vermenigvuldigd met 2. Deel de resulterende derde lijn door –1.
5. Trek regel 3 af van regel 2.
6. Trek lijn 1 af van lijn 12 keer -1. Aan de zijkant kregen we een kolom die bestaat uit de nummers 0, 1 en -1. Hieruit concluderen we dat x₁=0, x₂=1 en x₃ =–1.

Als je wilt, kun je de juistheid van de oplossing controleren door de berekende waarden in de vergelijkingen te plaatsen:

• 0 – 1=–1, de eerste identiteit van het systeem is correct;
• 0 + 1 + (–1)=0, de tweede identiteit van het systeem is correct;
• 0 – 1 + (–1)=–2, de derde identiteit van het systeem is correct.

Conclusie: met behulp van de Gauss-Jordan-methode hebben we de juiste oplossing gevonden voor een kwadratisch systeem dat lineaire algebraïsche vergelijkingen combineert.

Online rekenmachines

Het leven van de hedendaagse jeugd die aan universiteiten studeert en lineaire algebra bestudeert, is sterk vereenvoudigd. Een paar jaar geleden moesten we zelf oplossingen vinden voor systemen met behulp van de Gauss- en Gauss-Jordan-methode. Sommige leerlingen gingen met succes om met de taken, terwijl anderen verward raakten in de oplossing, fouten maakten, klasgenoten om hulp vroegen. Tegenwoordig kunt u online rekenmachines gebruiken bij het maken van huiswerk. Om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen, te zoeken naar inverse matrices, zijn er programma's geschreven die niet alleen de juiste antwoorden laten zien, maar ook de voortgang van het oplossen van een bepaald probleem laten zien.

Er zijn veel bronnen op internet met ingebouwde online rekenmachines. Gauss-matrices, stelsels van vergelijkingen worden door deze programma's in een paar seconden opgelost. Studenten hoeven alleen de vereiste parameters op te geven (bijvoorbeeld het aantal vergelijkingen,aantal variabelen).