Prisma is een veelvlak of veelvlak, dat wordt bestudeerd in de schoolcursus vaste meetkunde. Een van de belangrijke eigenschappen van dit veelvlak is het volume. Laten we in het artikel bekijken hoe deze waarde kan worden berekend, en ook de formules geven voor het volume van prisma's - regelmatig vierhoekig en zeshoekig.
Prisma in stereometrie
Deze figuur wordt opgevat als een veelvlak, dat bestaat uit twee identieke veelhoeken in parallelle vlakken, en uit verschillende parallellogrammen. Voor bepaalde soorten prisma's kunnen parallellogrammen rechthoekige vierhoeken of vierkanten vertegenwoordigen. Hieronder ziet u een voorbeeld van een zogenaamd vijfhoekig prisma.
Om een figuur te bouwen zoals in de bovenstaande figuur, moet je een vijfhoek nemen en de parallelle overdracht ervan tot een bepaalde afstand in de ruimte uitvoeren. Door de zijden van twee vijfhoeken te verbinden met behulp van parallellogrammen, krijgen we het gewenste prisma.
Elk prisma bestaat uit vlakken, hoekpunten en randen. De hoekpunten van het prismain tegenstelling tot de piramide, gelijk zijn, verwijst elk van hen naar een van de twee basen. Er zijn twee soorten vlakken en randen: zij die bij de basis horen en zij die bij de zijkanten horen.
Prisma's zijn van verschillende typen (correct, schuin, convex, recht, concaaf). Laten we later in het artikel bekijken met welke formule het volume van een prisma wordt berekend, rekening houdend met de vorm van de figuur.
Algemene uitdrukking voor het bepalen van het volume van een prisma
Ongeacht tot welk type het bestudeerde figuur behoort, of het nu recht of schuin, regelmatig of onregelmatig is, er is een universele uitdrukking waarmee je het volume kunt bepalen. Het volume van een ruimtelijke figuur is het gebied van de ruimte dat is ingesloten tussen zijn vlakken. De algemene formule voor het volume van een prisma is:
V=So × h.
Hier vertegenwoordigt So het gebied van de basis. Er moet aan worden herinnerd dat we het over één basis hebben en niet over twee. De h-waarde is de hoogte. De hoogte van de figuur die wordt bestudeerd, wordt opgevat als de afstand tussen de identieke basissen. Als deze afstand samenv alt met de lengtes van de zijribben, dan is er sprake van een recht prisma. In een rechte figuur zijn alle zijden rechthoeken.
Dus, als een prisma schuin is en een onregelmatige basispolygoon heeft, wordt het berekenen van het volume ingewikkelder. Als de figuur recht is, wordt de berekening van het volume alleen beperkt tot het bepalen van het gebied van de basis So.
Het volume van een normaal figuur bepalen
Normaal is elk prisma dat recht is en een veelhoekige basis heeft met zijden en hoeken die gelijk zijn aan elkaar. Dergelijke regelmatige veelhoeken zijn bijvoorbeeld een vierkant en een gelijkzijdige driehoek. Tegelijkertijd is een ruit geen regelmatige figuur, omdat niet alle hoeken gelijk zijn.
De formule voor het volume van een regulier prisma volgt ondubbelzinnig uit de algemene uitdrukking voor V, die in de vorige paragraaf van het artikel is geschreven. Voordat u doorgaat met het schrijven van de bijbehorende formule, moet u het gebied van de juiste basis bepalen. Zonder op wiskundige details in te gaan, presenteren we de formule voor het bepalen van het aangegeven gebied. Het is universeel voor elke reguliere n-gon en heeft de volgende vorm:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Zoals je aan de uitdrukking kunt zien, is het gebied Sn een functie van twee parameters. Een geheel getal n kan waarden aannemen van 3 tot oneindig. De waarde a is de lengte van de zijde van de n-gon.
Om het volume van een figuur te berekenen, is het alleen nodig om de oppervlakte S te vermenigvuldigen met de hoogte h of met de lengte van de zijrand b (h=b). Hierdoor komen we tot de volgende werkformule:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Merk op dat om het volume van een willekeurig prisma te bepalen, je verschillende grootheden moet weten (lengtes van de zijden van de basis, hoogte, tweevlakshoeken van de figuur), maar om de waarde V van een regulier prisma, hoeven we slechts twee lineaire parameters te kennen, bijvoorbeeld a en h.
Het volume van een vierhoekig regelmatig prisma
Een vierhoekig prisma wordt een parallellepipedum genoemd. Als alle vlakken gelijk zijn en vierkanten zijn, dan is zo'n figuur een kubus. Elke student weet dat het volume van een rechthoekig parallellepipedum of kubus wordt bepaald door de drie verschillende zijden (lengte, hoogte en breedte) te vermenigvuldigen. Dit feit volgt uit de geschreven algemene volume-uitdrukking voor een regelmatig cijfer:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Hier is de cotangens van 45° gelijk aan 1. Merk op dat de gelijkheid van de hoogte h en de lengte van de zijde van de basis a automatisch leidt tot de formule voor het volume van een kubus.
Volume van zeshoekig regelmatig prisma
Pas nu de bovenstaande theorie toe om het volume te bepalen van een figuur met een zeshoekige basis. Om dit te doen, hoeft u alleen de waarde n=6 in de formule te vervangen:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
De geschreven uitdrukking kan onafhankelijk worden verkregen zonder de universele formule voor S te gebruiken. Om dit te doen, moet je de regelmatige zeshoek verdelen in zes gelijkzijdige driehoeken. De zijde van elk van hen zal gelijk zijn aan a. De oppervlakte van een driehoek komt overeen met:
S3=√3/4 × a2.
Door deze waarde te vermenigvuldigen met het aantal driehoeken (6) en de hoogte, krijgen we de bovenstaande formule voor het volume.
