De opkomst van het concept van de integraal was te wijten aan de noodzaak om de antiderivatieve functie te vinden door zijn afgeleide, evenals om de hoeveelheid werk, het gebied van complexe figuren, de afgelegde afstand, met parameters geschetst door curven beschreven door niet-lineaire formules.
Uit cursus
en de natuurkunde weet dat arbeid gelijk is aan het product van kracht en afstand. Als alle bewegingen met een constante snelheid plaatsvinden of als de afstand wordt overbrugd door dezelfde kracht uit te oefenen, dan is alles duidelijk, je hoeft ze alleen maar te vermenigvuldigen. Wat is een integraal van een constante? Dit is een lineaire functie van de vorm y=kx+c.
Maar de kracht tijdens het werk kan veranderen, en in een soort van natuurlijke afhankelijkheid. Dezelfde situatie doet zich voor bij de berekening van de afgelegde afstand als de snelheid niet constant is.
Dus het is duidelijk waar de integraal voor is. De definitie ervan als de som van de producten van functiewaarden door een oneindig kleine toename van het argument beschrijft volledig de hoofdbetekenis van dit concept als het gebied van een figuur dat van bovenaf wordt begrensd door de lijn van de functie, en op de randen door de grenzen van de definitie.
Jean Gaston Darboux, Franse wiskundige, in de tweede helft van de 19e eeuweeuw heel duidelijk uitgelegd wat een integraal is. Hij maakte het zo duidelijk dat het in het algemeen niet moeilijk zou zijn, zelfs voor een leerling van de middelbare school om deze kwestie te begrijpen.
Laten we zeggen dat er een functie is van elke complexe vorm. De y-as, waarop de waarden van het argument zijn uitgezet, is verdeeld in kleine intervallen, idealiter zijn ze oneindig klein, maar aangezien het concept van oneindigheid nogal abstract is, volstaat het om je alleen kleine segmenten voor te stellen, de waarde waarvan meestal wordt aangeduid met de Griekse letter Δ (delta).
De functie bleek in kleine blokjes te zijn "gesneden".
Elke argumentwaarde komt overeen met een punt op de y-as, waarop de bijbehorende functiewaarden zijn uitgezet. Maar aangezien het geselecteerde gebied twee randen heeft, zullen er ook twee waarden van de functie zijn, meer en minder.
De som van de producten van grotere waarden met de toename Δ wordt de grote Darboux-som genoemd en wordt aangeduid als S. Dienovereenkomstig zijn de kleinere waarden in een beperkt gebied, vermenigvuldigd met Δ, allemaal samen vormen een kleine Darboux-som s. De sectie zelf lijkt op een rechthoekig trapezium, omdat de kromming van de lijn van de functie met zijn oneindig kleine toename kan worden verwaarloosd. De eenvoudigste manier om het gebied van zo'n geometrische figuur te vinden, is door de producten van de grotere en kleinere waarde van de functie op te tellen met de Δ-verhoging en te delen door twee, dat wil zeggen, het te bepalen als het rekenkundig gemiddelde.
Dit is wat de Darboux-integraal is:
s=Σf(x) Δ is een kleine hoeveelheid;
S=Σf(x+Δ)Δ is een grote som.
Dus wat is een integraal? Het gebied begrensd door de functielijn en de definitiegrenzen zijn:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Dat wil zeggen, het rekenkundig gemiddelde van grote en kleine Darboux-sommen.c is een constante waarde die tijdens differentiatie op nul wordt gezet.
Op basis van de geometrische uitdrukking van dit concept wordt de fysieke betekenis van de integraal duidelijk. Het gebied van de figuur, geschetst door de snelheidsfunctie en beperkt door het tijdsinterval langs de as van de abscis, is de lengte van het afgelegde pad.
L=∫f(x)dx op het interval van t1 tot t2, Waar
f(x) – snelheidsfunctie, dat wil zeggen, de formule waarmee deze in de loop van de tijd verandert;
L – padlengte;
t1 – starttijd;
t2 – eindtijd van de reis.
Precies volgens hetzelfde principe wordt de hoeveelheid arbeid bepaald, alleen de afstand wordt langs de abscis uitgezet en de hoeveelheid kracht die op elk specifiek punt wordt uitgeoefend, wordt langs de ordinaat uitgezet.
