Bij het bestuderen van het gedrag van gassen in de natuurkunde doen zich vaak problemen voor bij het bepalen van de energie die erin is opgeslagen, wat in theorie kan worden gebruikt om nuttig werk uit te voeren. In dit artikel gaan we in op de vraag welke formules kunnen worden gebruikt om de interne energie van een ideaal gas te berekenen.
Het concept van een ideaal gas
Een duidelijk begrip van het concept van een ideaal gas is belangrijk bij het oplossen van problemen met systemen in deze staat van aggregatie. Elk gas neemt de vorm en het volume aan van het vat waarin het wordt geplaatst, maar niet elk gas is ideaal. Lucht kan bijvoorbeeld worden beschouwd als een mengsel van ideale gassen, terwijl waterdamp dat niet is. Wat is het fundamentele verschil tussen echte gassen en hun ideale model?
Het antwoord op de vraag zal de volgende twee kenmerken zijn:
- de verhouding tussen de kinetische en potentiële energie van de moleculen en atomen waaruit het gas bestaat;
- verhouding tussen de lineaire deeltjesgroottegas en de gemiddelde afstand ertussen.
Een gas wordt alleen als ideaal beschouwd als de gemiddelde kinetische energie van zijn deeltjes onvergelijkelijk groter is dan de bindingsenergie tussen de deeltjes. Het verschil tussen deze energieën is zodanig dat we kunnen aannemen dat de interactie tussen deeltjes volledig afwezig is. Een ideaal gas wordt ook gekenmerkt door de afwezigheid van afmetingen van zijn deeltjes, of beter gezegd, deze afmetingen kunnen worden genegeerd, omdat ze veel kleiner zijn dan de gemiddelde afstanden tussen de deeltjes.
Goede empirische criteria voor het bepalen van de idealiteit van een gassysteem zijn de thermodynamische eigenschappen zoals temperatuur en druk. Als de eerste groter is dan 300 K en de tweede kleiner is dan 1 atmosfeer, dan kan elk gas als ideaal worden beschouwd.
Wat is de interne energie van een gas?
Voordat je de formule voor de interne energie van een ideaal gas opschrijft, moet je deze eigenschap beter leren kennen.
In de thermodynamica wordt interne energie meestal aangeduid met de Latijnse letter U. In het algemeen wordt deze bepaald door de volgende formule:
U=H - PV
Waar H de enthalpie van het systeem is, zijn P en V druk en volume.
In zijn fysieke betekenis bestaat interne energie uit twee componenten: kinetisch en potentieel. De eerste wordt geassocieerd met verschillende soorten beweging van de deeltjes van het systeem, en de tweede - met de krachtinteractie daartussen. Als we deze definitie toepassen op het concept van een ideaal gas, dat geen potentiële energie heeft, dan zal de waarde van U in elke toestand van het systeem exact gelijk zijn aan zijn kinetische energie, dat wil zeggen:
U=Ek.
Afleiding van de interne energieformule
Hierboven ontdekten we dat om het te bepalen voor een systeem met een ideaal gas, het nodig is om zijn kinetische energie te berekenen. Uit de algemene natuurkunde is bekend dat de energie van een deeltje met massa m, dat zich met een snelheid v in een bepaalde richting voortbeweegt, wordt bepaald door de formule:
Ek1=mv2/2.
Het kan ook worden toegepast op gasdeeltjes (atomen en moleculen), maar er moeten enkele opmerkingen worden gemaakt.
Ten eerste moet de snelheid v worden opgevat als een gemiddelde waarde. Het feit is dat gasdeeltjes met verschillende snelheden bewegen volgens de Maxwell-Boltzmann-verdeling. Dit laatste maakt het mogelijk om de gemiddelde snelheid te bepalen, die niet verandert in de tijd als er geen externe invloeden op het systeem zijn.
Ten tweede, de formule voor Ek1 gaat uit van energie per vrijheidsgraad. Gasdeeltjes kunnen in alle drie de richtingen bewegen en ook roteren afhankelijk van hun structuur. Om rekening te houden met de vrijheidsgraad z, moet deze worden vermenigvuldigd met Ek1, d.w.z.:
Ek1z=z/2mv2.
De kinetische energie van het hele systeem Ek is N keer groter dan Ek1z, waarbij N het totale aantal gasdeeltjes is. Dan krijgen we voor U:
U=z/2Nmv2.
Volgens deze formule is een verandering in de interne energie van een gas alleen mogelijk als het aantal deeltjes N verandert insysteem, of hun gemiddelde snelheid v.
Interne energie en temperatuur
Door de bepalingen van de moleculaire kinetische theorie van een ideaal gas toe te passen, kunnen we de volgende formule verkrijgen voor de relatie tussen de gemiddelde kinetische energie van één deeltje en de absolute temperatuur:
mv2/2=1/2kBT.
Hier is kB de Boltzmann-constante. Door deze gelijkheid in te vullen in de formule voor U die in de bovenstaande paragraaf is verkregen, komen we tot de volgende uitdrukking:
U=z/2NkBT.
Deze uitdrukking kan worden herschreven in termen van de hoeveelheid stof n en de gasconstante R in de volgende vorm:
U=z/2nR T.
Volgens deze formule is een verandering in de interne energie van een gas mogelijk als de temperatuur verandert. De waarden U en T zijn lineair van elkaar afhankelijk, dat wil zeggen dat de grafiek van de functie U(T) een rechte lijn is.
Hoe beïnvloedt de structuur van een gasdeeltje de interne energie van een systeem?
De structuur van een gasdeeltje (molecuul) verwijst naar het aantal atomen waaruit het bestaat. Het speelt een beslissende rol bij het vervangen van de overeenkomstige vrijheidsgraad z in de formule voor U. Als het gas monoatomisch is, wordt de formule voor de interne energie van het gas:
U=3/2nRT.
Waar komt de waarde z=3 vandaan? Zijn uiterlijk wordt geassocieerd met slechts drie vrijheidsgraden die een atoom heeft, aangezien het slechts in een van de drie ruimtelijke richtingen kan bewegen.
Als een diatomischegasmolecuul, dan moet de interne energie worden berekend met de volgende formule:
U=5/2nRT.
Zoals je kunt zien, heeft een diatomisch molecuul al 5 vrijheidsgraden, waarvan 3 translationeel en 2 roterend (in overeenstemming met de geometrie van het molecuul kan het rond twee onderling loodrechte assen roteren).
Ten slotte, als het gas drie of meer atoomatomen is, is de volgende uitdrukking voor U waar:
U=3nRT.
Complexe moleculen hebben 3 translatie- en 3 rotatievrijheidsgraden.
Voorbeeld probleem
Onder de zuiger bevindt zich een monoatomisch gas met een druk van 1 atmosfeer. Als gevolg van verwarming zette het gas uit zodat het volume toenam van 2 liter naar 3. Hoe veranderde de interne energie van het gassysteem als het expansieproces isobaar was.
Om dit probleem op te lossen, zijn de formules in het artikel niet voldoende. Het is noodzakelijk om de toestandsvergelijking voor een ideaal gas te herinneren. Het ziet er als volgt uit.
Omdat de zuiger de cilinder met gas afsluit, blijft de hoeveelheid stof n constant tijdens het expansieproces. Tijdens een isobaar proces verandert de temperatuur recht evenredig met het volume van het systeem (wet van Charles). Dit betekent dat de bovenstaande formule zou zijn:
PΔV=nRΔT.
Dan zal de uitdrukking voor de interne energie van een monoatomisch gas de vorm aannemen:
ΔU=3/2PΔV.
Door in deze vergelijking de waarden van druk- en volumeverandering in SI-eenheden in te vullen, krijgen we het antwoord: ΔU ≈ 152 J.
