De paradox van de openbare-keuzetheorie werd voor het eerst beschreven door de markies Condorcet in 1785, die in de jaren 50 van de vorige eeuw met succes werd veralgemeend door de Amerikaanse econoom K. Arrow. De stelling van Arrow beantwoordt een heel eenvoudige vraag in de theorie van collectieve beslissingen. Laten we zeggen dat er meerdere keuzes zijn in politiek, openbare projecten of inkomensverdeling, en dat er mensen zijn wiens voorkeuren die keuzes bepalen.
De vraag is welke procedures er zijn om de keuze kwalitatief te bepalen. En hoe te leren over voorkeuren, over de collectieve of sociale ordening van alternatieven, van goed naar slecht. Het antwoord van Arrow op deze vraag verraste velen.
De stelling van Arrow zegt dat dergelijke procedures helemaal niet bestaan - ze komen in ieder geval niet overeen met bepaalde en redelijk redelijke voorkeuren van mensen. Het technische kader van Arrow, waarin hij een duidelijke betekenis gaf aan het probleem van sociale contractering, en zijn rigoureuze reactie worden nu op grote schaal gebruikt om problemen in de sociale economie te bestuderen. De stelling zelf vormde de basis van de moderne publieke keuzetheorie.
Public Choice Theory
De stelling van Arrow laat zien dat als kiezers ten minste drie alternatieven hebben, er geen kiessysteem is dat de keuze van individuen kan veranderen in de publieke opinie.
De schokkende uitspraak kwam van econoom en Nobelprijswinnaar Kenneth Joseph Arrow, die deze paradox aantoonde in zijn proefschrift en het populair maakte in zijn boek Social Choice and Individual Values uit 1951. De titel van het originele artikel is "Moeilijkheden in het concept van sociale zekerheid".
De stelling van Arrow stelt dat het onmogelijk is om een kiesstelsel met een orde te ontwerpen dat altijd aan eerlijke criteria zou voldoen:
- Als een kiezer het alternatief X boven Y kiest, dan zal de gemeenschap van kiezers X boven Y verkiezen. Als de keuzes van elk van de kiezers X en Y ongewijzigd blijven, dan zal de keuze van samenleving X en Y de hetzelfde, zelfs als kiezers andere paren van X en Z, Y en Z, of Z en W kiezen.
- Er is geen "keuzedictator" omdat één kiezer de keuze van een groep niet kan beïnvloeden.
- Bestaande kiesstelsels voldoen niet aan de vereiste vereisten omdat ze meer informatie bieden dan de rangorde.
Overheidssystemen voor sociaal beheer
Hoewel de Amerikaanse econoom Kenneth Arrow de Nobelprijs voor economie ontving, was het werk nuttiger voor de ontwikkeling van de sociale wetenschappen, aangezien de "onmogelijkheidsstelling" van Arrow het begin markeerde van een geheel nieuwe richting in de economie - sociale keuze. Deze industrie probeert de goedkeuring van gezamenlijke beslissingen wiskundig te analyseren, met name op het gebied van openbare sociale managementsystemen.
Keuze is democratie in actie. Mensen gaan naar de stembus en uiten hun voorkeuren, en uiteindelijk moeten de voorkeuren van veel mensen samenkomen om een gezamenlijke beslissing te nemen. Daarom is de keuze van de stemmethode erg belangrijk. Maar is er echt een perfecte stemming? Volgens de resultaten van de theorie van Arrow, verkregen in 1950, is het antwoord nee. Als "ideaal" een preferentiële stemmethode betekent die voldoet aan de criteria die zijn gedefinieerd door redelijke stemmethoden.
De voorkeursstemmethode is rangschikking, waarbij kiezers alle kandidaten beoordelen op basis van hun voorkeuren, en op basis van deze beoordelingen is het resultaat: nog een lijst van alle kandidaten die moet worden ingediend door de gemeenschappelijke wil van het volk. Volgens de onmogelijkheidsstelling van Arrow kan een redelijke stemmethode worden gespecificeerd:
- Geen dictators (ND) - het resultaat hoeft niet altijd overeen te komen met de beoordeling van een bepaalde persoon.
- Pareto-efficiëntie (PE) - als elke kiezer kandidaat A verkiest boven kandidaat B, moet het resultaat aangevenkandidaat A boven kandidaat B.
- Onafhankelijkheid van incompatibele alternatieven (IIA) is de relatieve score van kandidaten A, B en zou niet moeten veranderen als kiezers de score van andere kandidaten veranderen, maar hun relatieve scores van A en B niet veranderen.
Volgens de stelling van Arrow blijkt dat er bij verkiezingen met drie of meer criteria geen sociale keuzefuncties zijn die tegelijkertijd geschikt zouden zijn voor ND, PE en IIA.
Rationeel selectiesysteem
De behoefte aan samenvoeging van voorkeuren manifesteert zich op veel gebieden van het menselijk leven:
- Welzijnseconomie gebruikt micro-economische methoden om welvaart te meten op geaggregeerd economisch niveau. Een typische methodologie begint met het afleiden of afleiden van een welvaartsfunctie, die vervolgens kan worden gebruikt om economisch verantwoorde toewijzingen van middelen te rangschikken in termen van welvaart. In dit geval proberen staten een economisch haalbare en duurzame uitkomst te vinden.
- In de beslissingstheorie, wanneer een persoon een rationele keuze moet maken op basis van verschillende criteria.
- In kiessystemen, dit zijn mechanismen om een enkele oplossing te vinden op basis van de voorkeuren van veel kiezers.
Onder de voorwaarden van de stelling van Arrow wordt de volgorde van voorkeuren voor een gegeven set parameters (resultaten) onderscheiden. Elke eenheid in de samenleving, of elk beslissingscriterium, kent een bepaalde voorkeursvolgorde toe met betrekking tot een reeks uitkomsten. De samenleving is op zoek naar een systeemstemmen op basis van rangschikking, de welzijnsfunctie genoemd.
Deze regel voor het aggregeren van voorkeuren zet een voorkeursprofiel om in één wereldwijde openbare orde. In de verklaring van Arrow staat dat als een bestuursorgaan minimaal twee kiezers en drie selectiecriteria heeft, het onmogelijk is om een welzijnsfunctie te creëren die aan al deze voorwaarden tegelijk voldoet.
Voor elke reeks individuele kiezersvoorkeuren moet de welzijnsfunctie een unieke en uitgebreide openbare selectiebeoordeling uitvoeren:
- Dit moet zo gebeuren dat het resultaat een volledige beoordeling is van de voorkeuren van het publiek.
- Moet deterministisch dezelfde score geven als de voorkeuren van kiezers hetzelfde lijken te zijn.
Onafhankelijkheid van irrelevante alternatieven (IIA)
De keuze tussen X en Y hangt uitsluitend samen met de voorkeuren van het individu tussen X en Y - dit is onafhankelijkheid in paren (paarsgewijze onafhankelijkheid), volgens de "Onmogelijkheid van Democratie"-stelling van Arrow. Tegelijkertijd heeft een verandering in iemands beoordeling van irrelevante alternatieven die zich buiten dergelijke groepen bevinden, geen invloed op de sociale beoordeling van deze subgroep. Het indienen van een derde kandidaat bij een verkiezing met twee kandidaten heeft bijvoorbeeld geen invloed op de uitslag van de verkiezing, tenzij de derde kandidaat wint.
De samenleving wordt gekenmerkt door eentonigheid en een positieve combinatie van sociale en individuele waarden. Als een persoon zijn voorkeursvolgorde verandert door een bepaalde optie te promoten, dan is de volgordede voorkeuren van de samenleving moeten zonder verandering overeenkomen met dezelfde optie. Een persoon mag een optie niet schaden door deze hoger te prijzen.
In de onmogelijkheidsstelling worden efficiëntie en rechtvaardigheid in de samenleving verzekerd door de soevereiniteit van de burger. Elke mogelijke sociale voorkeursvolgorde moet haalbaar zijn met een aantal individuele voorkeursvolgorden. Dit betekent dat de welzijnsfunctie surjectief is - het heeft een onbeperkte doelruimte. Een latere (1963) versie van de stelling van Arrow verving de eentonigheid en niet-overlappende criteria.
Pareto. Efficiëntie of unanimiteit?
Als elke persoon een bepaalde optie verkiest boven een andere, dan zou de volgorde van sociale voorkeur dat ook moeten doen. Essentieel is dat de welzijnsfunctie minimaal gevoelig is voor het voorkeursprofiel. Deze latere versie is algemener en heeft wat zwakkere voorwaarden. De axioma's van uniformiteit, geen overlap, samen met IIA, duiden Pareto-efficiëntie aan. Tegelijkertijd impliceert het geen overlap van IIA en geen monotoniciteit.
IIA heeft drie doelen:
- Standaard. Irrelevante alternatieven zouden er niet toe moeten doen.
- Praktisch. Gebruik van minimale informatie.
- Strategisch. De juiste prikkels bieden om individuele voorkeuren echt te identificeren. Hoewel Strategische Doelstelling conceptueel verschilt van IIA, zijn ze nauw verwant.
Pareto-efficiëntie, genoemd naar de Italiaanse econoom en politicoloog Vilfredo Pareto (1848-1923), wordt in de neoklassieke economie samen met het theoretische concept van perfecte concurrentie gebruikt als maatstaf voor het evalueren van de efficiëntie van echte markten. Opgemerkt moet worden dat geen van de resultaten buiten de economische theorie wordt bereikt. Hypothetisch gezien, als perfecte concurrentie zou bestaan en middelen zo efficiënt mogelijk zouden worden gebruikt, zou iedereen de hoogste levensstandaard of Pareto-efficiëntie hebben.
In de praktijk is het onmogelijk om enige sociale actie te ondernemen, zoals een verandering in het economisch beleid, zonder de situatie van ten minste één persoon te verslechteren, dus het concept van Pareto-verbetering heeft een bredere toepassing gevonden in de economie. Een Pareto-verbetering treedt op wanneer een verandering in distributie niemand schaadt en ten minste één persoon helpt, gegeven de initiële distributie van goederen aan een groep mensen. De theorie suggereert dat Pareto-verbeteringen waarde zullen blijven toevoegen aan de economie totdat een Pareto-evenwicht is bereikt, wanneer er geen verbeteringen meer kunnen worden aangebracht.
Formele verklaring van de stelling
Laat A de resultatenset zijn, N het aantal kiezers of beslissingscriteria. Geef de verzameling van alle volledige lineaire ordeningen van A tot L (A). De strikte socialezekerheidsfunctie (voorkeursaggregatieregel) is een functie die de voorkeuren van kiezers samenvoegt in een eenmalige voorkeursvolgorde doorA.
N - een tupel (R 1, …, R N) ∈ L (A) N van de voorkeuren van kiezers wordt een voorkeursprofiel genoemd. In zijn sterkste en eenvoudigste vorm stelt de onmogelijkheidsstelling van Arrow dat wanneer de verzameling van mogelijke alternatieven A meer dan 2 elementen heeft, de volgende drie voorwaarden inconsistent worden:
- Eenstemmigheid of zwakke Pareto-efficiëntie. Als alternatief A strikt boven B staat voor alle orders R 1, …, R N, dan scoort A strikt boven B op F (R 1, R 2, …, R N). Tegelijkertijd impliceert unanimiteit de afwezigheid van oplegging.
- Niet-dictatuur. Er is geen individueel 'ik' wiens strikte voorkeuren altijd prevaleren. Dat wil zeggen, er is geen I ∈ {1, …, N }, die voor alle (R 1, …, R N) ∈ L (A) N strikt hoger scoort dan B uit R. "I" scoort strikt hoger dan B boven F (R 1, R 2, …, R N), voor alle A en B.
- Onafhankelijkheid van irrelevante alternatieven. Voor twee voorkeursprofielen (R 1, …, R N) en (S 1, …, S N) zodat voor alle individuen I, alternatieven A en B dezelfde volgorde in R i hebben als in S i, hebben alternatieven A en B de dezelfde volgorde in F (R 1, R 2, …, R N) als in F (S 1, S2, …, S N).
Interpretatie van de stelling
Hoewel de onmogelijkheidsstelling wiskundig bewezen is, wordt deze vaak op een niet-wiskundige manier uitgedrukt met de stelling dat geen enkele stemmethode eerlijk is, elke gerangschikte stemmethode gebreken heeft, of de enige stemmethode die niet verkeerd is, is een dictatuur. Deze verklaringen zijn een vereenvoudigingArrow's resultaat, dat niet altijd als correct wordt beschouwd. De stelling van Arrow stelt dat een deterministisch preferentieel stemmechanisme, d.w.z. een waarbij de volgorde van voorkeur de enige informatie is bij het stemmen, en elke mogelijke reeks stemmen een uniek resultaat oplevert, niet tegelijkertijd aan alle bovenstaande voorwaarden kan voldoen.
Verschillende theoretici hebben voorgesteld het IIA-criterium te versoepelen als een uitweg uit de paradox. Voorstanders van beoordelingsmethoden stellen dat het IIA een onnodig sterk criterium is dat in de meest bruikbare kiesstelsels wordt geschonden. Voorstanders van dit standpunt wijzen erop dat het niet voldoen aan het standaard IIA-criterium triviaal wordt geïmpliceerd door de mogelijkheid van cyclische voorkeuren. Als kiezers zo stemmen:
- 1 stem voor A> B> C;
- 1 stem voor B> C> A;
- 1 stem voor C> A> B.
Dan is de meerderheid verdubbelt groepsvoorkeur dat A verslaat B, B verslaat C, en C verslaat A, en dit resulteert in een schaar-steen-schaar-voorkeur voor elke paarvergelijking.
In dit geval zal elke aggregatieregel die voldoet aan de basismeerderheidseis dat de kandidaat met de meeste stemmen de verkiezing moet winnen, niet voldoen aan het IIA-criterium als sociale voorkeuren transitief of acyclisch moeten zijn. Om dit te zien, wordt aangenomen dat een dergelijke regel voldoet aan het IIA. Aangezien de voorkeuren van de meerderheidworden waargenomen, geeft de samenleving de voorkeur aan A - B (twee stemmen voor A> B en één voor B> A), B - C en C - A. Zo ontstaat een cyclus die in tegenspraak is met de veronderstelling dat sociale voorkeuren transitief zijn.
De stelling van Arrow laat inderdaad zien dat elk kiessysteem met de meeste overwinningen een niet-triviaal spel is, en dat speltheorie moet worden gebruikt om de uitkomst van de meeste stemmechanismen te voorspellen. Dit kan als een ontmoedigend resultaat worden gezien, omdat het spel geen efficiënte evenwichten zou moeten hebben, bijvoorbeeld, stemmen zou kunnen leiden tot een alternatief dat niemand echt wilde, maar waar iedereen op stemde.
Sociale keuze in plaats van voorkeur
Een rationele collectieve keuze van het stemmechanisme volgens de stelling van Arrow is niet het doel van sociale besluitvorming. Vaak is het voldoende om een alternatief te vinden. De alternatieve keuzegerichte benadering verkent ofwel sociale keuzefuncties die elk voorkeursprofiel toewijzen, ofwel sociale keuzeregels, functies die elk voorkeursprofiel toewijzen aan een subset van alternatieven.
Wat sociale-keuzefuncties betreft, is de stelling van Gibbard-Satterthwaite bekend, die stelt dat als een sociale-keuzefunctie waarvan het bereik ten minste drie alternatieven bevat, strategisch stabiel is, deze dictatoriaal is. Gezien de regels van sociale keuze, geloven ze dat sociale voorkeuren erachter staan.
Dat wil zeggen, ze beschouwen de regel als een keuzemaximale elementen - de beste alternatieven voor elke sociale voorkeur. De set van maximale sociale voorkeurselementen wordt de kern genoemd. De voorwaarden voor het bestaan van een alternatief in de kern zijn op twee manieren onderzocht. De eerste benadering gaat ervan uit dat voorkeuren op zijn minst acyclisch zijn, wat noodzakelijk en voldoende is om ervoor te zorgen dat voorkeuren een maximaal element hebben in een eindige deelverzameling.
Om deze reden is het nauw verwant aan ontspannende transitiviteit. De tweede benadering laat de veronderstelling van acyclische voorkeuren vallen. Kumabe en Mihara namen deze benadering over. Ze gingen ervan uit dat individuele voorkeuren er het meest toe doen.
Relatieve risicoaversie
Er zijn verschillende indicatoren van risicoaversie die worden uitgedrukt door de nutsfunctie in de stelling van Arrow Pratt. Absolute risicoaversie - hoe hoger de kromming u(c), hoe hoger de risicoaversie. Omdat de verwachte nutsfuncties echter niet uniek zijn gedefinieerd, blijft de benodigde maat constant met betrekking tot deze transformaties. Een dergelijke maatstaf is de Arrow-Pratt-maatstaf voor absolute risicoaversie (ARA), nadat economen Kenneth Arrow en John W. Pratt de absolute risicoaversieratio alshadden gedefinieerd.
A (c)=- {u '' (c)}/ {u '(c)}, waar: u '(c) en u '' (c) duiden de eerste en tweede afgeleiden aan met betrekking tot "c" van "u (c)".
Experimentele en empirische gegevens zijn over het algemeen consistent met een afname van de absolute risicoaversie. relatieve maatArrow Pratt Risk Aversion (ACR) of relatieve risicoaversieratio wordt gedefinieerd door:
R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).
Net als bij absolute risicoaversie, zijn de respectieve termen die worden gebruikt constante relatieve risicoaversie (CRRA) en afnemende/toenemende relatieve risicoaversie (DRRA/IRRA). Het voordeel van deze grootheid is dat het nog steeds een geldige maatstaf is voor risicoaversie, zelfs als de nutsfunctie verandert van risiconeiging, d.w.z. nut is niet strikt convex/concaaf over alle "c". Een constante RRA impliceert een verlaging van de ARA van de theorie van Arrow Pratt, maar het omgekeerde is niet altijd waar. Als een specifiek voorbeeld van constante relatieve risicoaversie, impliceert de nutsfunctie: u(c)=log(c), RRA=1.
Linker grafiek: de risicomijdende nutsfunctie is concaaf van onderen, en de risicomijdende nutsfunctie is convex. Middelste grafiek - in de ruimte van de verwachte standaarddeviatiewaarden lopen de risico-indifferentiecurven omhoog. Rechter plot - met vaste waarschijnlijkheden van de twee alternatieve toestanden 1 en 2, zijn de risicomijdende indifferentiecurven over toestandafhankelijke uitkomstparen convex.
Nominaal kiesstelsel
Aanvankelijk verwierp Arrow kardinaal nut als een belangrijk hulpmiddel om sociale welvaart uit te drukken, dus concentreerde hij zijn beweringen op rangschikkingsvoorkeuren, maar laterconcludeerde dat een kardinaal beoordelingssysteem met drie of vier klassen waarschijnlijk het beste is. Volgens de onmogelijkheidsstelling veronderstelt publieke keuze dat individuele en sociale voorkeuren geordend zijn, dat wil zeggen tevredenheid met volledigheid en transitiviteit in verschillende alternatieven. Dit betekent dat als voorkeuren worden weergegeven door een nutsfunctie, de waarde ervan nuttig is in de zin dat het zinvol is, aangezien een hogere waarde een beter alternatief betekent.
Praktische toepassingen van de stelling worden gebruikt om brede categorieën stemsystemen te evalueren. Het belangrijkste argument van Arrow is dat systemen voor het stemmen op volgorde altijd in strijd moeten zijn met ten minste één van de eerlijkheidscriteria die hij schetste. De praktische implicatie hiervan is dat stemsystemen die niet in orde zijn, bestudeerd moeten worden. Zo kunnen bijvoorbeeld rangschikkingsstemsystemen waarbij kiezers elke kandidaat punten geven, aan alle criteria van Arrow voldoen.
In feite was het stemmechanisme, de rationele collectieve keuze van Arrow en de daaropvolgende dialoog, ongelooflijk misleidend op het gebied van stemmen. Studenten en niet-specialisten geloven vaak dat geen enkel stemsysteem kan voldoen aan de eerlijkheidscriteria van Arrow, terwijl beoordelingssystemen in feite aan alle criteria van Arrow kunnen en zullen voldoen.
