Kansrekening werkt met willekeurige variabelen. Voor willekeurige variabelen zijn er zogenaamde distributiewetten. Zo'n wet beschrijft zijn willekeurige variabele met absolute volledigheid. Bij het werken met echte verzamelingen willekeurige variabelen is het echter vaak erg moeilijk om de wet van hun verdeling onmiddellijk vast te stellen en is het beperkt tot een bepaalde reeks numerieke kenmerken. Het berekenen van het gemiddelde en de variantie van een willekeurige variabele is bijvoorbeeld vaak erg handig.
Waarom is het nodig
Als de essentie van de wiskundige verwachting dicht bij de gemiddelde waarde van de hoeveelheid ligt, dan vertelt de spreiding in dit geval hoe de waarden van onze hoeveelheid rond deze wiskundige verwachting zijn verspreid. Als we bijvoorbeeld het IQ van een groep mensen hebben gemeten en de meetresultaten (steekproef) willen onderzoeken, zal de wiskundige verwachting de geschatte gemiddelde waarde van het intelligentiequotiënt voor deze groep mensen tonen, en als we de steekproefvariantie berekenen, zullen we ontdekken hoe de resultaten zijn gegroepeerd rond de wiskundige verwachting: een bos er dichtbij (kleine variatie in IQ) of meer gelijkmatig over het hele bereik van minimum tot maximaal resultaat (grote variatie, en ergens in het midden - wiskundige verwachting).
Om de variantie te berekenen, heb je een nieuwe eigenschap van een willekeurige variabele nodig - de afwijking van de waarde van de wiskundigewachten.
Afwijking
Om te begrijpen hoe u de variantie kunt berekenen, moet u eerst de afwijking begrijpen. De definitie ervan is het verschil tussen de waarde die een willekeurige variabele aanneemt en zijn wiskundige verwachting. Om te begrijpen hoe een waarde wordt "verstrooid", moet u grofweg kijken hoe de afwijking wordt verdeeld. Dat wil zeggen, we vervangen de waarde van de waarde door de waarde van de afwijking van de mat. verwachtingen en verken de distributiewet.
De distributiewet van een discrete, dat wil zeggen een willekeurige variabele die individuele waarden aanneemt, wordt geschreven in de vorm van een tabel, waarbij de waarde van de waarde gecorreleerd is met de waarschijnlijkheid van het voorkomen ervan. Vervolgens wordt in de afwijkingsverdelingswet de willekeurige variabele vervangen door zijn formule, waarin er een waarde is (die zijn waarschijnlijkheid heeft behouden) en zijn eigen mat. wachten.
Eigenschappen van de verdelingswet van de afwijking van een willekeurige variabele
We hebben de verdelingswet opgeschreven voor de afwijking van een willekeurige variabele. Hieruit kunnen we tot nu toe alleen een kenmerk als de wiskundige verwachting extraheren. Voor het gemak is het beter om een numeriek voorbeeld te nemen.
Laat er een verdelingswet zijn van een willekeurige variabele: X - waarde, p - waarschijnlijkheid.
We berekenen de wiskundige verwachting met behulp van de formule en onmiddellijk de afwijking.
Een nieuwe afwijkingsverdelingstabel tekenen.
We berekenen hier ook de verwachting.
Het blijkt nul te zijn. Er is slechts één voorbeeld, maar het zal altijd zo zijn: het is niet moeilijk om dit in het algemene geval te bewijzen. De formule voor de wiskundige verwachting van de afwijking kan worden ontleed in het verschil tussen de wiskundige verwachting van een willekeurige variabele en, hoe krom het ook klinkt, de wiskundige verwachting van de mat. verwachtingen (recursie echter), die hetzelfde zijn, vandaar dat hun verschil nul zal zijn.
Dit is te verwachten: afwijkingen in teken kunnen immers zowel positief als negatief zijn, daarom zouden ze gemiddeld nul moeten geven.
Hoe de variantie van een afzonderlijk geval te berekenen. hoeveelheden
Als mat. het heeft geen zin om de afwijkingsverwachting te berekenen, je moet op zoek naar iets anders. Je kunt gewoon de absolute waarden van de afwijkingen nemen (modulo); maar met modules is alles niet zo eenvoudig, dus de afwijkingen worden gekwadrateerd en vervolgens wordt hun wiskundige verwachting berekend. Dit wordt eigenlijk bedoeld als ze praten over het berekenen van de variantie.
Dat wil zeggen, we nemen de afwijkingen, kwadrateren ze en maken een tabel met gekwadrateerde afwijkingen en kansen die overeenkomen met willekeurige variabelen. Dit is een nieuwe distributiewet. Om de wiskundige verwachting te berekenen, moet je de producten van het kwadraat van de afwijking en de kans optellen.
Eenvoudige formule
Het artikel begon echter met het feit dat de verdelingswet van de initiële willekeurige variabele vaak onbekend is. Er is dus iets lichters nodig. Er is inderdaad een andere formule waarmee u de steekproefvariantie kunt berekenen met alleen de mat.wachten:
Dispersie - het verschil tussen de mat. verwachting van het kwadraat van een willekeurige variabele en, omgekeerd, het kwadraat van zijn mat. wachten.
Er is een bewijs hiervoor, maar het heeft geen zin om het hier te presenteren, omdat het geen praktische waarde heeft (en we hoeven alleen de variantie te berekenen).
Hoe de variantie van een willekeurige variabele in variatiereeksen te berekenen
In echte statistieken is het onmogelijk om alle willekeurige variabelen weer te geven (omdat er in de regel een oneindig aantal is). Wat in het onderzoek komt, is daarom de zogenaamde representatieve steekproef van een algemene algemene populatie. En aangezien de numerieke kenmerken van een willekeurige variabele uit een dergelijke algemene populatie worden berekend uit de steekproef, worden ze steekproef genoemd: steekproefgemiddelde, respectievelijk steekproefvariantie. Je kunt het op dezelfde manier berekenen als de gebruikelijke (via de gekwadrateerde afwijkingen).
Een dergelijke spreiding wordt echter bevooroordeeld genoemd. De onbevooroordeelde variantieformule ziet er een beetje anders uit. Het is meestal nodig om het te berekenen.
Kleine toevoeging
Nog een numeriek kenmerk houdt verband met spreiding. Het dient ook om te evalueren hoe de willekeurige variabele rond zijn mat wordt verspreid. verwachtingen. Er is niet veel verschil in het berekenen van de variantie en standaarddeviatie: de laatste is de vierkantswortel van de eerste.
