Parallisme van vlakken is een concept dat meer dan tweeduizend jaar geleden voor het eerst verscheen in de Euclidische meetkunde.
Belangrijkste kenmerken van klassieke meetkunde
De geboorte van deze wetenschappelijke discipline wordt geassocieerd met het beroemde werk van de oude Griekse denker Euclid, die het pamflet "Beginnings" schreef in de derde eeuw voor Christus. De Elementen, verdeeld in dertien boeken, waren de hoogste prestatie van alle oude wiskunde en zetten de fundamentele postulaten uiteen die verband houden met de eigenschappen van vlakke figuren.
De klassieke voorwaarde voor het parallellisme van vlakken werd als volgt geformuleerd: twee vlakken kunnen parallel worden genoemd als ze geen gemeenschappelijke punten met elkaar hebben. Dit was het vijfde postulaat van Euclidische arbeid.
Eigenschappen van parallelle vlakken
In de Euclidische meetkunde zijn er gewoonlijk vijf:
De eerste eigenschap (beschrijft het parallellisme van vlakken en hun uniciteit). Door één punt dat buiten een bepaald vlak ligt, kunnen we één en slechts één vlak evenwijdig daaraan trekken
- Tweede eigenschap (ook wel de eigenschap van drie parallellen genoemd). Wanneer twee vliegtuigen zijnparallel aan de derde, zijn ze ook evenwijdig aan elkaar.
De derde eigenschap (met andere woorden, het wordt de eigenschap genoemd van een rechte lijn die het parallellisme van de vlakken snijdt). Als een enkele rechte lijn een van deze evenwijdige vlakken snijdt, dan zal deze de andere snijden
Vierde eigenschap (eigenschap van rechte lijnen gesneden op vlakken evenwijdig aan elkaar). Wanneer twee evenwijdige vlakken een derde snijden (onder een willekeurige hoek), zijn hun snijlijnen ook evenwijdig
Vijfde eigenschap (een eigenschap die segmenten van verschillende parallelle lijnen beschrijft die zijn ingesloten tussen vlakken die evenwijdig aan elkaar zijn). De segmenten van die evenwijdige lijnen die tussen twee evenwijdige vlakken ingesloten zijn, zijn noodzakelijkerwijs gelijk
Parallelisme van vlakken in niet-Euclidische geometrieën
Dergelijke benaderingen zijn in het bijzonder de geometrie van Lobachevsky en Riemann. Als de meetkunde van Euclides werd gerealiseerd op vlakke ruimten, dan werd de meetkunde van Lobachevsky gerealiseerd in negatief gekromde ruimten (eenvoudig gekromd), en in die van Riemann vindt het zijn realisatie in positief gekromde ruimten (met andere woorden, bollen). Er is een veel voorkomende stereotype mening dat Lobatsjevski's parallelle vlakken (en ook lijnen) elkaar kruisen.
Dit is echter niet correct. Inderdaad, de geboorte van hyperbolische meetkunde werd geassocieerd met het bewijs van het vijfde postulaat van Euclides en de veranderingMaar de definitie van evenwijdige vlakken en lijnen impliceert dat ze elkaar noch bij Lobatsjevski noch bij Riemann kunnen kruisen, ongeacht in welke ruimte ze worden gerealiseerd. En de verandering in opvattingen en formuleringen was als volgt. Het postulaat dat slechts één parallel vlak kan worden getrokken door een punt dat niet op een bepaald vlak ligt, is vervangen door een andere formulering: door een punt dat niet op een bepaald vlak ligt, twee, tenminste, lijnen die in hetzelfde vlak als het gegeven en snijd het niet.
